再假设每只鸭子的成本为c=2元。
若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？
5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。
问：
这三个博弈的纳什均衡分别是什么？
这三对夫妻的感情状态究竟如何？
矩阵1：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
1,1
-1,0
死了
0,-1
0,0
矩阵2：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
0,0
1,0
死了
0,1
0,0
矩阵3：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
-b-1
1,0
死了
0,1
0,0
6、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度^€[0,1]（/=1,2）,成本为c（ej（i=1,2）,该项目的产出为/（勺灼）。
个体的努力程度不影响到项目的分配方法，项目的产出在2个体之间均分。
试回答以下问题：
1、如果f（el,e2）=3ele2fc（^）=^2（i=1,2）,试求此博弈的的均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。
2、如果f（el9e2）=4ele2fc（q）==1,2），试求此博弈的的
均衡。
第2次作业
1、企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。
如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。
（1）用扩展型表示这一博弈。
（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？
企业乙
企业甲
高档
低档
高档
500,500
1000,700
低档
700,1000
600,600
2、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是®=-（p_aq+c『+q，企业2的利润函数是兀2=—5_疔+p,其中p是企业1的价格，g是企业2的价格。
求:
（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；
（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；
（4）是否存在参数ci,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？
3、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：
企业1和企业2目前情况下的生产成本都是c=2o企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到c=l,该项技术需要投资/。
在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。
假设市场需求函数为p（q）=14—q,其中#是市场价格，q是两个企业的总产量。
问上述投资额/处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？
4、在市场进入模型中，市场逆需求函数为p=13,进入者和在位者生产的边际成本都为1,固定成本为0,潜在进入者的进入成本为4。
博弈时序为：
在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结朿，如果进入，则进入者选择产量水平。
求解以上博弈精炼纳什均衡。
5、在三寡头的市场屮，市场的逆需求函数
〃为三家产量之和,每家企业的不变边际成本为c,固定成
本为0。
如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。
第3次作业
1、两个人合作开发一项产品，能否成功及两个人的工作态
度有关，设成功概率如下:
B
A
努力
偷懒
努力
9/16
3/8
偷懒
3S
1/4
再假设成功时每人有4单位的利益，失败则双方都没有利
益，偷懒本身有1单位的利益。
问该博弈无限次重复博弈的均衡
是什么？
2、两寡头古诺产量竞争模型中厂商的利润函数为兀严q©-qj—⑺），心1,2。
若厶=1是两个厂商的共同知识,而『2则是厂商2的私人信息，厂商1只知道J=3/4或Z2=4/5,且『2取这两个值的概率相等。
若两个厂商同时选择产量，请找出该博弈的纯策略贝叶斯均衡。
3、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。
第1个厂商的成本函数为z，其中①为厂商1的产量。
第2个厂商的成本函数为c2=,其中心为厂商2的产量，c•为其常数边
际成本。
两个厂商的固定成本都为零。
厂商2的边际成本c是厂场需求函数为P+c—其屮P为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？
。
商2的“私人信息”，厂商1认为。
在
%
9
1-2
_一
上呈均匀分布。
设市
4、两个企业同时决定是否进入一个市场，企业i的进入成本e[0,co）是私人信息，e,是服从分布函数F（0）的随机变量以及分布密度/（G）严格大于零，并且q和&三两者独立。
如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数为丹-0；如果两个企业都进入，则企业i的利润函数为-e：
；如果没有企业进入，利润为零。
假定丹'和/是共同知识，且沪>/>0,试计算此博弈的贝叶斯均衡。
博弈论第1次作业答案
1、a.写出以上博弈的战略式描述
学生B
企业1
企业2
学生A
企业1
（丄W1•丄W2）
22
（WLW2）
企业2
（W2W1）
（丄W2丄W1）
22
b・求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）
存在两个纯战略纳什均衡：
分别为（企业1,企业2）,收益为（W1,W2）。
（企业2,企业1）,收益为（W2,W1）o
存在一个混合策略均衡：
令学生A选择企业1的概率为P，选择企业2的概率为1-卩；学生B选择企业1的概率为9,选择企业2的概率为1-q。
当学生A以（P4-P）的概率选择时，学生B选择企业1的期望收益应该及选择企业2的期望收益相等，即：
7?
.-Wl+（l-p）Wl=p.W2+（l-p）.-W2
解得：
2W\-W2,2W2-Wi
p=\—p=
W1+W2'W1+W2
同理求出：
q.-W\+（1—g）Wl=qW2+（1—q）丄W2
解得：
2WX-W22W2-W1
q=\_q=
W1+W2'WI+W2
所以，混合策略纳什均衡为：
学生A、B均以
企业2o
2W1-W22W2—W1、砧抽占叶収人II
丽市F丽而T）的概率选择企业1，
2、该模型的纳什均衡是什么？
当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？
各厂商的利润函数为：
n
坷二Pq-q二3—Q）q-cq二3_O_Qq二@一c—丫办）.幺
^=1
求解：
n
maxw.=max（a-c一工乞）.
.
4sk=i
对其求导，令导数为o,解得反应函数为：
Qi=~[a~c~（Q\+的+・・・+G-i+G+1+・・・+%）]
纳什均衡a，q；,…,q：
J,必是n条反应函数的交点
%=—[6/-c-（（72+q3+...+^n）
厶
§2=g[d_c_（q]+纟3+•••+§“）
Qi-—+纟2+…+幺-1+4+1+•••+§“）
厶
幺：
+q；+・・・+q；_i）
得到：
q；=q；=…二q：
二壮,且为唯一的纳什均衡。
H+1
当趋向于无穷大时博弈分析无效。
■*.ci—c
辄％=!
^7ZT=0，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。
3、问这两个厂商的边际成本各是多少？
各自的利润是多少？
设：
边际成本不变，为q,5。
计算得市场出清价格为：
P=F（Q）=100_Q=100_©+%）
两个厂商的利润函数为：
%]=P・q\—C\.q、=（P—C]）.®=[100—c】—（q】+§2）]・4
U2=P・§2-。
2・§2=（P_。
2）・勺2~[100~~C2~+%）】以2
求解：
max终=max[]00_q-©+^2）l^i
maxw9=max[100-c2-（^+^2）]^2
Qi的
对其求导，令导数为0,解得反应函数为：
Q\-尺（弘）=空（100-q—%）
%=人2（引1）~—（100-^2-qJ
纳什均衡（/，/）,艮卩（20,30）为两条反应函数的交点
20=-（100-^-30）
30=-（100-c2-20）
得到:
C]=30,c2=20o此时：
绚=400,如=900。
4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？
设居民Z选择的养鸭数目为®（21,2,3,4,5）,则总数为
5
N=o
7=1
假设二
N居民的得益函数为:
5
坷=V.rif-c.nf=（V-c）.nf=（48_工坷）・厲
z=i
计算:
5
maxuj=max（48-Vni）.nj
w©/=i
得到反应函数：
Hj—Rj=24_—+Al?
+••力了一1+®+]•••+斤5）
5、反应函数的交点（加"；"；,；"；）是博弈的纳什均衡。
将带入反应函数,得:
^1*
不金个不金C
®=兀2=®=4=比5=8。
此时：
u：
=64
/O
此时，2V=4O
然后讨论下帀
若帀>40,则N-N
若帀S40,则"=1药1
5、问：
这三个博弈的纳什均衡分别是什么？
这三对夫妻的
感情状态究竟如何?
矩阵1：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
1,1
-1,0
死了
0,-1
0,0
矩阵2：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
0,0
丄，0
死了
0,1
0,0
矩阵3：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
-1,-1
丄，0
死了
0,1
0,0
用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为:
矩阵1：
（活着，活着）（死了，死了）
可以看出这对夫妻间感情十分深厚。
这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。
如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。
矩阵2：
（活着，活着）（活着，死了）（死了，活着）
可以看岀这对夫妻间感情一般。
这对夫妻共同活着没有收
益，一个死了，对于另一个来说反而更好。
矩阵3：
（活着，死了）（死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情很槽糕。
这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。
一个死了，对于另一个来说反而更好。
6、⑴如果于（勺,勺）=3华2,*）=皆（心1，2）,试求此博弈的均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。
（2）如果/'（勺0）=4华2,cd（心1,2）,试求此博弈的均衡。
（1）收益为：
132
=—^1^2~e\
13
W2=（弓，幺2）—。
（幺2）=㊁"1*2—”2
得出反应函数为：
3
勺=KG）=才匂
3e2=/^2（el）=-el
纳什均衡2；，幺；）为两条反应函数的交点，代入得出:
ex=0,幺；=0
两个人都不会努力的
（2）收益为:
%]=—y（幺[，幺2）—c（ei）~2丘向—e\
W2=—C（«2）=2幺向~e2
分别求偏导：
此时，两个人的努力程度都及对方的努力程度有关
£=[°，g）时，博弈一方越努力，另一方就选择努力程度
为0,
此时纳什均衡为（0,0）
时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为
-）
弓=（£,1]时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1,
此时纳什均衡为（1,1）
第2次作业答案
（1）
用扩展型表示这一博弈
（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？
运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。
再由甲选睜，在（高档，低档），（低档，低档）之间选择。
甲选择绿色所示路径。
最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档），双方的收益为（1000,700）
2、
（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化
分别对各自利润求导，并令导数为0
=-2（p_aq+c）=0
竺=_2（g_b）=0
解得：
p=aq-cTC{—b
q=b，=ab—c
此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为（aq—c、b）
（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；
企业1先决策，则企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化
所以：
学=-2（q-b）=0
q=b
将q=b带入
兀\——Qp—aq+c）2+q=—（p_ab+c）2+b
d/Ty
=-2（p-db+c）=0
Op
p=ab-c
此时，
q=b
兀2=曲7，跟同时决策时的纳什均衡相同。
企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为
（ab-c」»
（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡;
企业2先决策，则企业1会在知道企业2的决策后，寻求
自身利润最大化所以：
詈=一2
（2）“
p=aq—c
将p=aq-c带入
7tr=—（q—by十p=—（q—by+uq—c
KTT
宁=_2（D=0q亠b
2此时，
p=-+ab-c
2
7i.=—+Z?
=—+ab—c
1224
企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为
（—+b,—+ab-c）
24
（4）是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？
企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策
企业1希望先决策：
C/2
ab—c>ab—c>0a4，
企业2希望先决策：
b>冬+b>0ovO,b>—|
2'2
亠、\a~-
结论：
2,c3、
（1）企业1没有引入新技术兀I=（P—c）<7]=（12-引一弘）017V2=（p-c）q2=（n-q[~q2）q2求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0
=12—2q】—§2=°
勿]
二~^=12—2彳>—4=°
叫~
得到：
4=4,$2=4耳=16,龙2=16
（2）企业1引入新技术
兀\=（p—c'）q—f=（13—f
兀2=S—C）§2=（12-4一弘）弘
求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0
=13-2®-的=°
两
訐—=0
得到:
此时,
1411
17
引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以
9
坷=16
得到
f二艺时，企业1会选择引进新技术。
4、
（1）企业1的产量如，企业2以产量的进入市场
#=13_%_弘
巧=（12-创一弘）4
乞=（12-创_的）§2_4
企业2后进入市场,则企业2会在知道企业1的决产量后,寻求自身利润最大化
所以：
=12-s-2弘=°
勿2
1
02=6_尹
将02=6-—带入7T[=（12_务_鱼）§1，得
勿I2
此时，4=6,%=3药=18,龙2=5
（2）企业1的产量⑦，企业2以产量①进入市场时利润为0,
觉得不进入市场
卩=13-4-％
坷=（12_引_鱼）4
兀2=（12-创_
2）弘_4
企业2后进入市场,则企业2会在知道企业1的决产量后,寻求自身利润最大化
所以：
f^=12—创一2色=0
勿2'
1
的=6_尹
彳各的=6-*切带入兀2=（12—印一鱼）鱼一4=0,得切=8或16（舍去）
羽=32,此时，企业2不进入市场。
5、三个企业的利润函数为：
兀i=（P~c）qi=（a-①一02一弘一0）4，（，=1,2,3）
企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量
兀2=（a—q、—如—q?
>—c）q2
兀3=03_%_彳2_%~C）^3
企业2和3均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的
反应函数：
-T^=a-q[-2q2-q3-c=0勿2
=ci-qx~q2~2殆_c=0
勿3
^2（^1）=—,将反应函数带入企业1的利润函
数，得
5=（a-q\-q?
-q、-c）q\=-q、一c乂h
对其求偏导，求解出企业1利润最大时的产量
得到5=丁,廿"纟
此时:
a+5c
6
第三次作业答案
1、两个人的得益矩阵如下:
B
A
努力
偷懒
努力
（22）
囂）
22
偷懒
（14）
22
（2,2）
-次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优
（努力，努力）。
无限次博弈时，对于A,第一阶段选择努力,
（1）若前1时刻选择均为努力，t时刻也选择努力
7Va=lim?
（1+5+护+...+S1）/Toe4
（2）t时刻选择偷懒，则前面的行为均为偷懒
f5SS
兀、==+lim2（5+F+…+$）=二+
“2f24-5
达到（努力，努力）这个均衡，使兀，即5>g,采取触发策略。
、均衡为（努力，努力），合作产生。
2、假设：
厂商2在心=3/4时，产量为』，利润为©；
厂商2在&=4/5时，产量为％"，利润为
对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润
''3'
”2=?
2（才_务_?
2）
““4“
兀2=%~^2）
对于厂商1来说，利润为
1,1“
E&=空91（1一4—02）+空91（1—4一6）
求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到
4“
—_<7i_2鼻=0
]，1〃
l_2q_齐2_—^2=0
4jazxii98"41"47
侍到：
^丽4=而,的=莎该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为彳严希，厂商2在d=3/4时，产量为盏；在0=4/5时，产量为J=盏。
3、考虑到c•在［,%上呈均匀分布，/（c）=l,E（c）=p/（cWc=l
对于厂商1,坷=pq】_q=（3_旺_彳2）创
对于厂商2,©=P^2~c2=（4_%_q2_E（c》q2
兀2=G—q、—%）%
对于厂商1,2的利润函数求一阶导数，并令其为零
得到4=%=1
该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1,2的产量均为1
4、假设：
此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的成本为（材，力）
企业1,2的收益矩阵如下图：
2
1
进入
不进入
进入
（宀q,o）
不进入
（0,於一&2）
（0,0）
对于企业1来说
当eg；,企业1选择进入；当q>q，企业1选择进入企业1进入的概率为『f（qMq=F（q）
不进入的概率为i-F（q）
企业2进入的期望收益为
以2=F（&］）.（7ld—&2）+（1—F（&】））•（兀_&2）
不进入的期望收益为w2=0
企业1进入的条件为绚>况2
所以&2*=F（q）.（7r"—N"）+N〃
因为该博弈是对称的
所以并=F（&2）•（疋一丹）+丹
此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率（F（O）F（&2））进入均衡的成本为
e；=F（q）.（疋一n“）+n",
&「=厂（&2）・（疋〃—+（（F（q）,Fd中为
a**
&］，2
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