二次函数专题全解教学讲义.docx

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二次函数专题全解教学讲义

二次函数专题全解教学讲义

第一讲：

二次函数基础知识讲解

知识网络

二次函数

考点解读

考点1：

二次函数的概念:

形如y=ax2＋bx+c（a≠０，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素，缺一不可:

①函数关系式是整数；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项的系数不为0.

考点2.抛物线y=ax2＋bx+c中系数a、b、c的作用

（1）a的作用：

a的符号决定抛物线的开口方向．a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下．a的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线开口越小．

（2）b与a共同决定对称轴的位置：

若a、b同号，则对称轴位于y轴左侧；若a、b异号，则对称轴位于y轴右侧；若b=0，则对称轴是y轴．（可简单记忆为“左同右异”，一定要自己推导一篇，不但要把对称轴的横坐标和0作比较，还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1，-1做比较）

（3）c的作用：

c的符号决定抛物线与y轴的交点位置．若c>0，则抛物线交y轴于正半轴；若c<0，则抛物线交y轴于负半轴；若c=0，则抛物线过原点．c的值就是抛物线与y轴交点的纵坐标．

（4）b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数

（5）a+b+c，a-b+c是分别横坐标为1，-1是y的取值.

考点3二次函数的解析式

1.二次函数的解析式的三种设法：

（1）一般式：

y=ax2＋bx+c（a≠０，a、b、c为常数）;

（2）顶点式：

y=a（x-h）2＋k（a≠０，a、h、k为常数）;

（3）两点式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠０，a、x1、x2为常数）．

2.二次函数解析式的求法

（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2＋bx+c;

（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式；

（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：

y=a（x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，０），（x2，０）．

考点4二次函数的图象和性质

关系式

一般式y=ax2＋bx+c（a≠０）

顶点式y=a（x-h）2＋k（a≠０）

图象形状

抛物线

开口方向

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下

顶点坐标

对称轴

直线x=-

直线x=h

增减性

a>0

对称轴左侧，即x<-

或x-

或x>h，y随x的增大而增大

a<0

对称轴左侧，即x<-

或x-

或x>h，y随x的增大而减小

最大值或最小值

a>0

当x=-

时，y最小＝

当x=h时，y最小＝k

a<0

当x=-

时，y最大＝

当x=h时，y最大＝k

考点5二次函数图象的画法

用描点法画抛物线y=ax2＋bx+c的步骤：

①把二次函数y=ax2＋bx+c（a≠0）化成y=a（x-h）2＋k（a≠0）的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．

考点6二次函数图象的平移:

“上加下减，左加右减”

（1）将y=ax2的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0，c）.形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．

（2）将y=ax2的图象向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位，即可得到y=a（x-h）2的图象．其顶点是（h,0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．（3）将y=ax2的图象向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位，即可得到y=a（x-h）2＋k的图象，其顶点是（h,k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

考点7二次函数与一元二次方程的关系

（1）一元二次方程ax2＋bx+c＝0就是二次函数y=ax2＋bx+c当函数y的值为0时的情况．

（2）当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0没有实数根．

考点8二次函数的应用

函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：

（1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；

（2）用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大（小）值．

课后测验

一、填空题

1、已知函数y=（m+2）xm（m+1）是二次函数,则m=______________.

2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________

3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.

4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.

5、抛物线y=-3（x+2）2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.

6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.

7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.

8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.

9、把抛物线y=2（x+1）2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.

10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________

11、已知二次函数y=kx2+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2（x1

（1）当x=-2时,y=1;

（2）当x>x2时,y>0;（3）方程kx2+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;（4）x1<-1,x2>-1;（5）x2-x1=

其中正确的结论有：

____（只需填写序号）

12、已知二次函数y=x2-2（m-1）x-1-m的图象与x轴交于A（x1,0）,B（x2,0）,x1<0

二.选择题

13.抛物线y=（x-1）2+1的顶点坐标是（）

（A）（1,1）（B）（-1,1）（C）（1,-1）（D）（-1,-1）

14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为（）

（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个

15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有（）

（A）b=3,c=7（B）b=-9,c=-15（C）b=3,c=3（D）b=-9,c=21

16.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2（x1≠x2）时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为（）

（A）a+c（B）a-c（C）-c（D）c

17.当a,b为实数，二次函数y=a（x-1）2+b的最小值为-1时有（）

（A）ab（D）a≥b

18.已知函数y=3x2-6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.85,y1），B（1.1,y2）,C（

y3）,则有（）

（A）y1y2>y3（C）y3>y1>y2（D）y1>y3>y2

19如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有（）

（A）a=2或-2（B）a=2b（C）a=-2b（D）a=2,b=-1,c=-1

20抛物线y=ax2+bx+c（a<0）经过点（-1,0），且满足4a+2b+c>0.以下结论

（1）a+b>0;

（2）a+c>0;（3）-a+b+c>0;（4）b2-2ac>5a2其中正确的个数有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

三解答题：

21．已知函数的图象经过点（3，2）

（1）求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。

22．已知抛物线y=x2-2x-8

（1）求证：

该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

23．抛物线y=ax2+bx+c经过A（1,4）、B（-1,0）、C（-2,5）三点

（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；

（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点。

试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标。

24．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市

后，公司经历了从亏损到盈利过程。

下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

25．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点。

（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1,求此抛物线的解析式；

（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；

（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90º，求此时a的值。

第二讲：

二次函数重难点与例题精讲

二次函数重难点

1．二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax2

y=（ax-h）2

y=a（x-h）2+k

y=ax2+bx+c

顶点坐标

（0，0）

（h，0）

（h，k）

（-

，

）

对称轴

x=0

x=h

x=h

x=-

当h>0时，y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动│h│个单位得到．当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）2+k的图象；当h>0，k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动│k│个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；当h<0，k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动│h│个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动│h│个，再向下移动│k│个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；因此，研究抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象；当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-

，顶点坐标是（-

，

）．

3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-

时，y随x的增大而减小；当x≥-

时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-

时，y随x的增大而增大；当x≥-

时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x1-x2│=

．

当△=0，图象与x轴只有一个交点；

当△<0，图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax2+bx+c（a≠0）．

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0）．

（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）．

6．二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目．因此，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出现．

例题精讲

例1（全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（）

（A）y=-2（x+3）2-2;（B）y=-2（x+3）2+2;

（C）y=-2（x-1）2-2;（D）y=-2（x-1）2+2

例2（2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（）

x

3.23

3.24

3.25

3.26

ax2+bx+c

-0.06

-0.02

0.03

0.07

（A）3

（C）3.24

例3（2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如右图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代数式的值中，正数有（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

例4一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）

（A）只有a（B）只有b（C）只有c（D）只有a和b

例5（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区）初赛试题）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一，则a的值是（）

（A）1（B）-1（C）

例6（2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是__________．

例7（2005年全国初中数学竞赛试题）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）

（A）h<1（B）h=1（C）12

例8（1993年江苏初中数学竞赛试题）已知

是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2．

（1）求证：

0

（2）求出所有这样的两位数

．

例9已知函数y=x2-│x│-12的图象与x轴交于相异两点A，B，另一抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c．

例10（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）已知二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1．

（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？

如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值．

例11（2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）通过实验研究，专家们发现：

初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．

例12（2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））已知A1、A2、A3是抛物线y=

x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．

（1）如图（a），若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；

（2）如图（b），若将抛物线y=

x2改为抛物线y=

x2-x+1，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；

（3）若将抛物线y=

x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

例13设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+（

+k）k，k为实数．

（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；

（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；

（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和

（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA

是否为一定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．

课后测验

一、选择题

1．直线y=

x-2与抛物线y=x2-

x的交点个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）互相重合的两个

2．关于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）

①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．

（A）①②③④（B）①②③（C）①②（D）①③④

3．若函数y=

的图象经过点（1，-2），那么抛物线y=ax2+（a-1）x+a+3的性质说得全对的是（）

（A）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交

（B）开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交

（C）开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交

（D）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交

4．函数y=ax2与y=

（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）

5．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（）

（A）b=5（B）b=-5（C）b=±5（C）b=4

（第5题）（第5题）

6．不论x为何值，函数y=ax+bx+c（a≠0）的永远小于0的条件是（）

（A）a>0，△>0（B）a>0，△<0（C）a<0，△>0（D）a<0，△<0

7．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（）

（A）有两个不相等的正实数根（B）有两个异号实数根

（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

8．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：

①a<-

；②-

0；④0

（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④

（第8题）（第12题）（第15题）

9．已知：

二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（-

），AB=│x1-x2│，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）

（A）b2-4c+1=0（B）b2-4c-1=0（C）b2-4c+4=0（D）b2-4c-4=0

10．若函数y=

（x2-100x+196+│x2-100x+196│），则当自变量x取1、2、3、…、10这100个自然数时，函数值的和是（）

A.540;B.390;C.194;D.97

11．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（）

（A）最小值0（B）最大值1（C）最大值2（D）有最小值

12．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）

（A）ac+1=b（B）ab+1=c（C）bc+1=a（D）以上都不是

13．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是（）

（A）01（C）1

14．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）

（A）8（B）14（C）8或14（D）-8或-14

15．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴，则有（）

（A）a+b+c=0（B）b>a+c（C）c>2b（D）abc<0

二、填空题

1．二次函数y=ax2+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是________．

2．已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=________，交点坐标为________．

3．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4）和B（8，2）（如图所示），则能使y1>y2成立的x的取值范围是________．

（第3题）（第6题）（第9题）

4．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：

对称轴是直线x=4；

乙：

与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：

与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

_______．

5．对于反