高中物理 第3章 动能的变化与机械功 321 研究功与功率一学案 沪科版必修2.docx

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高中物理第3章动能的变化与机械功321研究功与功率一学案沪科版必修2

3.2.1　研究功与功率

（一）

[学习目标]　1.理解功的概念，知道做功的两个因素.2.明确功是标量，会用功的公式进行计算.3.理解正功、负功的含义.4.会计算变力做功，会计算多个力的总功．

一、功

1．公式：

W＝Fscosα，其中F、s、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移方向的夹角．即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积．

2．单位：

国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J.

二、正功和负功

1．力对物体做正功和负功的条件

由W＝Fscosα可知

（1）当0≤α<

时，W>0，力对物体做正功；

（2）当

<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；

（3）当α＝

时，W＝0，力对物体不做功．

2．做功与动能变化的关系

力对物体做正功时，物体的动能增加；力对物体做负功时，物体的动能减少；力对物体做多少功，物体的动能就变化多少．

3．计算变力做功

如图1所示，F－s图像下方从s1到s2的面积，就是变力F在s＝s2－s1段内做的功．

图1

[即学即用]

1．判断下列说法的正误．

（1）公式W＝Fscosα中的s是物体运动的路程．（×）

（2）物体只要受力且运动，该力就一定做功．（×）

（3）功有正负之分，所以功是矢量．（×）

（4）一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．（√）

2.如图2所示，静止在光滑水平面上的物体，在与水平方向成60°角斜向上的力F作用下运动10m，已知F＝10N，则拉力F所做的功是________J.

图2

答案　50

一、对功的理解

[导学探究]

1．观察图3，分析图中的哪个人对物体做了功？

图3

答案　小川拉重物上升的过程，小川对重物做了功，其他三人都没有做功．

2．如图4所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下前进了s，则力F对物体做的功如何表示？

图4

答案　如图把力F沿水平方向和竖直方向进行正交分解，物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力Fcosα所做的功为Fscosα，所以力F对物体所做的功为Fscosα.

[知识深化]　对公式W＝Fscosα的理解

1．恒力F对物体做的功，只与F、s、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关．

2．计算力F的功时要特别注意，F与s必须具有同时性，即s必须是力F作用过程中物体发生的位移．

3．功是标量，没有方向，但是有正负．

4．公式W＝Fscosα适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用．

例1

　如图5所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平地面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的（　　）

图5

A．支持力做功为mgs

B．重力做功为mgs

C．拉力做功为Fscosθ

D．滑动摩擦力做功为－μmgs

答案　C

解析　支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力做功分别为W1＝Fscosθ，W2＝－μ（mg－Fsinθ）s，C正确，D错误．

二、正负功的判断

[导学探究]　某物体在力F作用下水平向右运动的位移为s，拉力的方向分别如图6甲、乙所示，分别求两种情况下拉力对物体做的功．

图6

答案　

Fs　－

Fs

[知识深化]

1．正、负功的意义

功是标量，只有正、负，没有方向，功的正负不表示大小，只表示能量转移或转化的方向，即：

动力对物体做正功，使物体获得能量，阻力对物体做负功（也可以说，物体克服该力做功），使物体失去能量．

2．判断力是否做功及做功正负的方法

（1）根据力F的方向与位移s的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形．

（2）根据力F的方向与速度v的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形．

若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功．

例2

　（多选）质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图7所示．物体相对斜面静止，则下列说法正确的是（　　）

图7

A．重力对物体m做正功

B．合力对物体m做功为零

C．摩擦力对物体m做负功

D．支持力对物体m做正功

答案　BCD

解析　物体的受力和位移如图所示．

支持力N与位移s的夹角α<90°，故支持力做正功，D选项正确；重力与位移垂直，故重力不做功，A选项错误；摩擦力f与位移s的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力不做功，故B选项正确．

三、总功的计算

当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和．故计算合力的功有以下两种方法．

（1）先由W＝Fscosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3……然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….

（2）先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合scosα计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角．

注意：

当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法

（1）．

例3

　如图8所示，一个质量为m＝2kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为s＝2m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10m/s2，求外力对物体所做的总功．（cos37°＝0.8，sin37°＝0.6）

图8

答案　7.6J

解析　物体受到的摩擦力为：

f＝μN＝μ（mg－Fsin37°）

＝0.3×（2×10－10×0.6）N＝4.2N

解法1：

先求各力的功，再求总功．

拉力F对物体所做的功为：

W1＝Fscos37°＝10×2×0.8J＝16J

摩擦力f对物体所做的功为：

W2＝fscos180°＝－4.2×2J＝－8.4J

由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7.6J.

解法2：

先求合力，再求总功．

物体受到的合力为：

F合＝Fcos37°－f＝3.8N，

所以W＝F合s＝3.8×2J＝7.6J.

四、变力做功问题分析

例4

　新中国成立前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图9所示，假设驴拉磨的平均作用力为F，运动的半径为R，那么怎样求驴拉磨转动一周所做的功？

图9

答案　2πRF

解析　把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似看成直线，从而拉力在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后各段累加起来，便可求得结果．如图所示，把圆周分成s1、s2、s3、…、sn微元段，拉力在每一段上为恒力，则在每一段上做的功W1＝Fs1，W2＝Fs2，W3＝Fs3，…，Wn＝Fsn，拉力在一个圆周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝F（s1＋s2＋s3＋…＋sn）＝F·2πR.所以驴拉磨转动一周，拉力做功为2πRF.

例5

　如图10所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力F缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功．

图10

答案　

kl2

解析　解法一　缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F＝ks.

因该力与位移成正比，故可用平均力

＝

求功．

当s＝l时，W＝

·l＝

kl2

解法二　画出力F随位移s的变化图像．

当位移为l时，F＝kl，由于力F做功的大小与图像中阴影的面积相等，

则W＝

（kl）·l＝

kl2

1．平均值法：

若力的方向不变，大小随位移均匀变化，则可用力的平均值乘以位移．

2．图像法：

如图11所示，变力做的功W可用F－s图线与s轴所围成的面积表示．s轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，s轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．

图11

3．分段法（或微元法）：

当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路．空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理．

4．等效替代法：

若某一变力做的功与某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力做的功来替代变力做的功．比如：

通过滑轮拉动物体时，可将人做的功转化为绳的拉力对物体做的功，或者将绳的拉力对物体所做的功转换为人的拉力对绳做的功.

1．（对功的理解）（多选）下列说法中正确的是（　　）

A．功是矢量，正负表示其方向

B．功是标量，正负表示的是外力对物体做功还是物体克服外力做功

C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系

D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量

答案　BCD

解析　功是标量，正负表示的是外力对物体做功还是物体克服外力做功，A错误，B正确；力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系，故C正确；有力作用在物体上，物体在力的方向上移动了距离，力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量，故D正确．

2．（正负功的判断）（多选）如图12所示，人站在台阶式自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法中正确的是（　　）

图12

A．重力对人做负功

B．摩擦力对人做正功

C．支持力对人做正功

D．合力对人做功为零

答案　ACD

解析　因为人匀速向上运动，所以只受重力和支持力，且二力平衡，不受摩擦力，B错误．重力方向和运动方向夹角大于90°，重力做负功，A正确．支持力方向和运动方向夹角小于90°，支持力做正功，C正确．合力为零，因此总功一定为零，D正确．

【考点】对功的正负的理解及判断

【题点】对正负功的判断

3．（变力做功的计算）如图13甲所示，静止在光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿s轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标s的变化关系如图乙所示，图线为半圆弧，则小物块运动到s0处拉力做的功为（　　）

图13

A．0B.

F0s0

C.

F0s0D.

F0s0

答案　D

解析　图线与位移轴（s轴）围成的面积即为F做的功，由图线可知，半圆的半径为R＝F0＝

，则W＝S＝

＝

·F0·

＝

F0s0，则D项正确，A、B、C项错误．

4．（总功的计算）如图14所示，平行于斜面向上的拉力F使质量为m的物体匀加速地沿着长为L、倾角为α的斜面的一端向上滑到另一端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.求作用在物体上的各力对物体所做的总功．

图14

答案　FL－mgLsinα－μmgLcosα

解析　选物体为研究对象，其受力如图所示：

解法一：

拉力F对物体所做的功为：

WF＝FL.

重力mg对物体所做的功为：

WG＝mgLcos（90°＋α）＝－mgLsinα.

摩擦力对物体所做的功为：

Wf＝fLcos180°＝－fL＝－μmgLcosα.

支持力N对物体所做的功为：

WN＝NLcos90°＝0.

故各力的总功为：

W＝WF＋WG＋Wf＋WN＝FL－mgLsinα－μmgLcosα

解法二：

物体受到的合力为：

F合＝F－mgsinα－f＝F－mgsinα－μmgcosα

所以合力做的功为：

W＝F合L＝FL－mgLsinα－μmgLcosα.

一、选择题

考点一　功的概念的理解及正负功的判断

1．下列选项所示的四幅图是小华提包回家的情景，其中小华提包的力不做功的是（　　）

答案　B

【考点】对功的理解及是否做功的判断

【题点】力是否做功的判断

2.如图1所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速送至高处，在此过程中，下列说法正确的是（　　）

图1

A．摩擦力对物体做正功

B．摩擦力对物体做负功

C．支持力对物体做正功

D．合外力对物体做正功

答案　A

解析　摩擦力方向平行皮带向上，与物体运动方向相同，故摩擦力对物体做正功，A对，B错；支持力始终垂直速度方向，不做功，C错；合力为零，不做功，D错．

【考点】对功的正负的理解及判断

【题点】对正负功的判断

3．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是（　　）

A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功

B．加速时做正功，匀速和减速时做负功

C．加速和匀速时做正功，减速时做负功

D．始终做正功

答案　D

解析　在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D正确．

【考点】对功的正负的理解及判断

【题点】对正负功的判断

考点二　功的计算

4．如图所示，力F大小相等，A、B、C、D选项中物体沿水平面运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少（　　）

答案　D

解析　A选项中，拉力做功W＝Fs；B选项中，拉力做功W＝Fscos30°＝

Fs；C选项中，拉力做功W＝Fscos30°＝

Fs；D选项中，拉力做功W＝Fscos60°＝

Fs，故D选项中拉力F做功最少．

【考点】恒力做功的计算

【题点】单个力做功的计算

5.如图2所示，质量为m的物体A静止在倾角为θ的斜面体B上，斜面体B的质量为M.现对该斜面体B施加一个水平向左的推力F，使物体A随斜面体B一起沿水平方向向左匀速运动，物体A与斜面体B始终保持相对静止，当移动的距离为s时，斜面体B对物体A所做的功为（　　）

图2

A．FsB．mgssinθ·cosθ

C．mgssinθD．0

答案　D

解析　对物体A进行受力分析，其受到重力mg、支持力N、静摩擦力f，如图所示，由于物体A做匀速运动，所以支持力N与静摩擦力f的合力即斜面体B对物体A的作用力，方向竖直向上，而位移方向水平向左，斜面体B对物体A的作用力的方向与位移方向垂直，斜面体B对物体A所做的功为0，D正确．

【考点】恒力做功的计算

【题点】合力做功或外力做功之和的计算

6．起重机以1m/s2的加速度将质量为1000kg的货物由静止匀加速向上提升，若g取10m/s2，则在第1s内起重机对货物所做的功是（　　）

A．500JB．4500J

C．6000JD．5500J

答案　D

解析　对货物受力分析，由于是匀加速上升，根据牛顿第二定律F－mg＝ma，可计算出起重机对货物的拉力F＝11000N，位移s＝

at2＝0.5m．则在第1s内起重机对货物所做的功W＝Fscosα＝11000×0.5×1J＝5500J，D正确．

【考点】恒力做功的计算

【题点】单个力做功的计算

7.如图3所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同．在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则（　　）

图3

A．WA>WBB．WA＝WB

C．WA

答案　B

解析　设斜面AD、BD与水平面CD所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得WA＝μmgcosα·lAD＝μmglCD，WB＝μmgcosβ·lBD＝μmglCD，所以B正确．

【考点】恒力做功的计算

【题点】单个力做功的计算

8.（多选）如图4所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将（物体始终未离开水平面）（　　）

图4

A．拉力变为2F

B．时间变为2t

C．物体质量变为

D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行

答案　ABD

解析　位移s＝

at2＝

t2，W＝Fscos60°＝

t2，当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W；当m′＝

m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错，A、B、D对．

【考点】恒力做功的计算

【题点】单个力做功的计算

9．（多选）一质量为m＝50kg的滑雪运动员由某一高度无初速度沿直线下滑，经测量可知出发点距离底端的高度差为h＝30m，斜坡的倾角大小为θ＝30°，该运动员在下滑的过程中所受的摩擦力大小为f＝200N，重力加速度取g＝10m/s2，装备质量不计．则（　　）

A．合外力对运动员所做的功为3000J

B．摩擦力对运动员所做的功为12000J

C．重力对运动员所做的功为15000J

D．支持力对运动员所做的功为15000

J

答案　AC

解析　由于滑雪运动员的高度下降了30m，则重力对滑雪运动员所做的功为WG＝mgh＝50×10×30J＝15000J，C正确；摩擦力对运动员所做的功为Wf＝－f·

＝－200×

J＝－12000J，B错误；由于支持力的方向与运动员的运动方向始终垂直，则支持力对运动员所做的功为0，D错误；合外力对运动员所做的功为W＝WG＋WN＋Wf＝15000J＋0J－12000J＝3000J，A正确．

【考点】恒力做功的计算

【题点】合力做功或外力做功之和的计算

考点三　变力做功的计算

10．（多选）如图5所示，质量为m的小球，由半径为R的半球面的上端A以初速度v0滑下，B为最低点，滑动过程中所受到的摩擦力大小恒为f.则（　　）

图5

A．从A到B过程，重力做功为

mgπR

B．从A到B过程，弹力做功为零

C．从A到B过程，摩擦力做功为－

πRf

D．从A滑到C后，又滑回到B，这一过程摩擦力做功为－

πRf

答案　BD

解析　从A到B过程，重力做功WG＝mgR，选项A错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B正确；摩擦力方向始终与速度方向相反，利用分段求和的方法可知摩擦力做功为：

W1＝－fsAB＝－f 

＝－

πRf，选项C错误；同理由A→C→B过程，摩擦力做功W2＝WAC＋WCB＝－f 

＋

＝－

πRf，选项D正确．

【考点】变力功的计算

【题点】摩擦力做功与微元法的应用

二、非选择题

11．（功的计算）

（1）用起重机把质量为200kg的物体匀速提高了5m，钢绳的拉力做了多少功？

重力做了多少功？

物体克服重力做了多少功？

这些力的总功是多少？

（取g＝10m/s2）

（2）若

（1）中物体匀加速上升，仍将物体提高了5m，加速度a＝2m/s2，绳的拉力做了多少功？

物体所受各力的总功是多少？

答案　

（1）1.0×104J　－1.0×104J　1.0×104J　0

（2）1.2×104J　2×103J

解析　

（1）物体匀速提升，由平衡条件：

F＝mg＝2.0×103N

钢绳的拉力做功：

WF＝Fh＝2.0×103×5J＝1.0×104J

重力做功：

WG＝－mgh＝－2.0×103×5J＝－1.0×104J

物体克服重力做功1.0×104J

这些力所做的总功是：

W总＝WF＋WG＝0

即这些力所做的总功是0.

（2）根据牛顿第二定律F′－mg＝ma

所以F′＝mg＋ma＝2400N

WF′＝F′h＝2400×5J＝1.2×104J

各力做的总功也等于合外力做的功W总′＝mah＝2.0×103J.

【考点】恒力做功的计算

【题点】合力做功或外力做功之和的计算

12.（功的计算）如图6所示，用沿斜面向上、大小为800N的力F，将质量为100kg的物体沿倾角为37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25.求这一过程中：

（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

图6

（1）物体的重力所做的功；

（2）摩擦力所做的功；

（3）物体所受各力的合力所做的功．

答案　

（1）－3000J　

（2）－1000J　（3）0

解析　物体受力情况如图所示

（1）WG＝－mgLsin37°＝－3000J

（2）f＝μN＝μmgcos37°

Wf＝－fL＝－μmgcos37°·L＝－1000J

（3）解法一　WF＝FL＝4000J

W＝WF＋WG＋Wf＝0

解法二　物体做匀速运动，F合＝0

故W＝0.