n次方程式Word文档下载推荐.docx
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如何找出解？
有没有解的问题:
一个实系数的n次方程式，不一定有实数解。
例如x2+仁0就没有实数解，
为此我们引进了复数，在复数系中，x2+仁0有两个复数根i及i。
但就一般
的n次方程式，在复数系中，是不是一定有根呢？
这个存在性的问题，在公元1799年时，德国数学家高斯（Gauss17771855）在他的博士论文中证明了在复数系中，n次方程式一定有根，它所讨论的方程式不限于实系数而是复数的系数，但实数亦可看作是复数，所以这个结果亦可用到实系数的n
次方程式。
我们将高斯的结果写成下列的定理：
代数基本定理：
每一个n次方程式，只要n1,就至少有一个复数根
有了代数基本定理之后，我们不用担心是否要为了找根而要一直扩展数系，因为它告诉我们，一个复系数的n次方程式，在复数系中，一定有复数根
所以我们只要将数系扩展到复数系，就解方程式而言就足够了。
有没有公式解:
另一个存在性的问题就是n次方程式有无求公式解（将系数加减乘除开根号）的
方法？
b
a
b\b24ac
x=
2a
先来看一看几个例子：
n=1时ax+b=0的解是x=
n=2时ax2+bx+c=0的解是
至于n=3或4的公式解，一度曾经是数学竞技斗智的焦点。
期间颇多戏剧化的情节发展。
结果三次方程式由卡丹（Carden）于1545年公布其解法于其著作
「ArsMagna」中，而据传说此解法是由Tartaglia教给Carden，并以保守此秘
密为条件，不料Carden竟然背信，将解法公布，并据为己有，可见Carden此
人为达目的不择手段。
至于四次方程式的公式解是由Carden的弟子斐拉利（Ferrari15221565）所提出的。
但是对于五次方程式的堡垒，却久攻不下，这个问题持续了两三百年，直到
1832年，一位法国青年Galois在其决斗前夕，在它的遗书中，这位伟大的青年数学家引进了「群」的理论，证明了：
五次及五次以上的方程式，不可能有公
式解。
从此数学家才解除了寻找公式解的恶梦。
解的个数：
一次方程式恰有一个根，二次方程式如果重根算是两个，那么二次方程式就恰有两个根。
一般而言，如果计算重根的个数，（重根算二个、三重根算三个，…）那么根
据代数基本定理以及因式定理，我们可推得以下定理：
定理：
n次方程式就恰有n个根
（丙）多项方程式解的性质:
例子：
x25x+6=0x=2或3
x2+x+1=0x=错误！
x3x2+4x4=0（x1）（x2+4）=0x=1,2i,2ix4+5x2+4=0（x2+1）（x2+4）=0x=i,i,2i,2i
［讨论］:
能否造出一个实系数的二次方程式以1i为它的一个虚根？
否造出一个只含一个虚根1i的实系数二次方程式？
（1）实系数n次方程式虚根成对：
定理一：
若f（x）=anxn+anixn1+^+aix+ao为一实系数n次多项式，z为一个复数,则f（z）f（z）。
引理1:
若Z1,Z2为二复数，则（a）乙Z2乙Z2（b）Z1Z2Z1z?
证明：
引理2:
zn（z）n，其中n为正整数。
证明：
［定理一证明］:
定理二：
设f（x）=anxn+an1xn1+・・・+a1x+ao=O为一实系数n次方程式,
若z为f（x）=O的一根，则共轭虚数z亦为f（x）=O的一根。
[证明]:
[讨论]:
（a）若f（x）=O为一个3次的实系数方程式，是否一定有实根呢？
（b）若f（x）=O为一个4次的实系数方程式，是否一定有实根呢？
一般的情形：
（a）若f（x）=O为一个奇数次的实系数方程式，一定有实根。
（b）若f（x）=O为一个偶数次的实系数方程式，一定有偶数个实根。
（可能没有实根）
（2）有理根成对：
先举一个例子：
设f（x）=x46x3+7x2+6x2
（a）验证2+3是有理系数f（x）=O的一个无理根。
（b）取g（x）=[x（2+.3）][x（2.3）]=x24x+1，请问f（x）是否能被g（x）整除?
（c）请问23是否为f（x）=O的另一个无理根。
般情形：
设f（x）为有理系数多项式，a,b为有理数，且b为无理数
若x=a+,b为f（x）=O之一根，则x=ab亦为其根［证明］:
［例題1］设f（x）=anxn+anixn1+・・・+aix+ao=O为一实系数n次方程式:
（1）若f（23i）=4+5i，求f（2+3i）=?
⑵若f（1+6i）=5,求f（16i）=？
Ans：
（1）45i
（2）5
［例題2］实系数方程式x45x32x2+14x20=0有一根1+i，贝U求方程式所有的根
Ans:
1+i,1i,2,5
［例題3］设a,b为实数，若2i1为x4+3x3+（a+1）x2+ax+b=0的一根，则求a,b之值
a=7，b=5
［例題4］若a,b为有理数，若12为x4+ax36x2+bx+1之一根求a,b之值，并解此方
程式。
Ans：
a=0,b=0;
1慣，1慣
（練習1）f（x）为实系数多项式，已知f（3+5i）=72i，贝Uf（35i）=?
Ans:
7+2i
（練習2）f（x）=x48x3+25x230x+8，试求f（2+i）=?
f（2i）=?
6i,6i
（練習3）已知2+i为f（x）=x44x3+8x212x+15的一根，求f（x）=O所有的根。
Ans:
2i，3i
（練習4）设f（x）为实系数三次多项式，且f（i）=O（i=错误），则函数y=f（x）的图形与
x轴有几个交点？
（A）0（B）1（C）2（D）3（E）因f（x）而异。
（B）
（練習5）设实系数多项式f（x）=2x3+3x2+mx+n，若f（i1）=0，则数对（m,n）=?
Ans:
（2,2）
（練習6）设a为有理数，若2+.3为x44x3+2x24x+a之一根，则a=?
a=1
（3）根与系数的关系：
［例題5］设三次方程式ax3+bx2+cx+d=0之三根为，，，试求根与系数之关系:
（1）++=
（2）++=⑶=。
bed
（1）a
（2）a（3）a
［例題6］设四次方程式ax4+bx3+cx2+dx+e=0之四根为，，，，试求根与系数的关系：
（1）四根之和，⑵任意相异两根乘积之和，⑶任意相异三根乘积之和，⑷四bc
根之积。
⑴-
（2）-⑶错误!
⑷错误！
aa
一般的n次方程式根与系数的关系:
（練習7）设方程式2x3+3x5=0的三根为、、，求下列各式的值：
（a）错误！
+错误！
（b）2+2+2
3
（a）5（b）3
（練習8）已知方程式x4x356x2+ax+b=0的根中，有二根的比为2：
3,而另二根
的差为1,求整数a,b之值。
a=36,b=720
（丁）解根的方法:
（1）整系数的n次方程式找有理根：
（a）一次因式检验定理：
设f（x）=anxn+an1xna1x+a。
为一个整系数n次多项式，若整系数一次式
axb是f（x）的因式，且a,b互质，则a|an且b|a。
（b）有理根检验定理：
设f（x）=anxn+an1xn1+^+a1x+a0=0为一个整系数n次方程式，
若xb为f（x）=0之一有理根，a,b为整数且互质，则a|an且b|a°
1
［例題1］解方程式2x4+x321x22x+6=0。
3,2,2+J2,2{2
［例題2］设f（x）=12x456x3+89x256x+12=0
⑴令x+g=t，将f（X）=0化为t的方程式。
513i23
（2）试解出t,再解出x。
（1）12t256t+65=0
（2）t=2，石，x=2,2,3,2
［例題3］设a,b,c为整数，且x4+ax3+bx2+cx+9=0之四根为相异之有理数，求a,b,c之值'
a=0,b=10,c=0
［例題4］证明：
32为无理数
（練習9）试求方程式f（x）=6x4+5x3+3x23x2=0之有理根。
3,错误!
（練習10）
解下列方程式：
（1）2x3+7x27x5=0
（2）3x4+x38x2+x+3=0
（3）（x+1）（x+3）（x+5）+（x+7）+15=0
（1）x=1或3229
（2）x=1,1,或丄于3
（3）x=2,6,4寸6［提示：
方程式可化为
（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）+15=0（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0，令y=x2+8x
（y+7）（y+15）+15=0，解y，再解x。
］
（練習11）设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根，则其最大根
为。
2
（練習12）设p,q为自然数，且f（x）=x52px4+x3qx2+x2有整系数一次因式，则求
p,q之值。
p=1,q=2
（練習13）证明：
35为无理数
（2）无理根的问题:
利用整系数一次因式检验定理，可解决有理根的问题，但是就一般的方程式而
言，要找出解，尤其是高次的方程式，通常不是一件容易的事情。
f（x）=x5+3x27x+2=0，由于它是整系数的5次多项式，所以一定有实根，
先考虑是否有理根，根据牛顿定理，x=1，2逐一代入多项函数f（x）中，去看
f（x）值的变化：
x
2
f（x）
4
11
32
可以看出，f（x）=0并无有理根，因为它一定有实根，所以它的实根必为无理根。
通常我们无法直接求出f（x）=O无理根的形式，只能求得它的近似值。
从
上面的资料我们可以掌握一些重要的讯息：
f（x）也从4「连续地」变化
0的情形发生，换句话说，
1与1之间会有一个数，1
当x从2「连续地」变化到1时，对应的函数值到11。
所以函数值f（x）在4与11之间一定会有等于在2与1之间一定有一个数，f（）=0;
同理，在与2之间会有一个数分别使得f（）=0，f（）=0。
推广这个概念可得以下的定理:
勘根定理：
设f（x）=O为实系数n次多项方程式，a,b是两个实数，
若f（a）f（b）<
0，则在a,b之间至少有一个f（x）=O的实根。
［定理的说明］:
注意：
从观察图形可知，当f（a）f（b）<
0时，贝Ua,b之间的根必有奇数个根。
从图形的观察，当f（a）f（b）>
0时，f（x）=O在a,b之间可能有根，也可能无根，但若有根一定是偶数个根。
［例題7］试问在那些连续整数之间，f（x）=12x38x223x+1仁0有实根？
2与1，0与1，1与2
［例題8］设f（x）=x3+2x5，g（x）=2x23，证明：
方程式f（x）g（x）=0在1与2之间至少存在一实根。
[例題9]设a是一个固定的正数，试证明：
方程式xn=a（n为自然数）恰有一正实根
（練習14）f（x）=12x38x223x+1仁0在0与1之间有一实根，试求其近似值到小数点以下第二位。
（第三位四舍五入）Ans:
0.47
（練習15）讨论方程式x3+x5=0是否有实根？
有多少个实根？
此方程式有一实根。
（練習16）f（x）=2x3+7x2+3x3试证：
在0与1之间，存在一定数k使得f（k）=5k+1[Hint:
令g（x）=f（x）（5x+1），证明g（x）=0在0与1之间有实根k]
综合练习
（1）解下列方程式：
（a）x2+|2x1|=0（b）2x3+3x2+11x+5=0（c）2x4x39«
+13乂5=0。
⑵已知方程式x45x32x2+14x20=0之一根为1+i，试解出此方程式其它的根。
⑶设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根，试求b,c的值。
⑷设a,b为实数，a0,若方程式ax3+x2+bx+仁0之一根为2+2i，试求a,b的值。
⑸已知方程式x4+ax3+ax2+11x+b=0有二根3，2，求a,b的值及其它两根。
（6）找出方程式x4x39x2+2x+12=0所有实根的位置是在那些连续整数之间。
（7）二次方程式ax2（a1）x6=0有一根介于1与2之间，另一根介于1与2之间,求实数a之范围。
（8）设f（x）与g（x）为实系数多项式，用x23x+2除f（x）得余式3x4,用x1除g（x）得余式5,且g
（2）=3。
（a）试求以x1除f（x）+g（x）的余式。
（b）试证明：
f（x）g（x）=0在1与2之间有实根。
（9）设a<
b<
c,若f（x）=（xa）（xb）+（xb）（xc）+（xc）（xa）=0有两实根,，且<
比较a,b,c,,的大小。
（10）设f（x）=x43x316x2+3x+35，试问y=f（x）的图形在下面那个范围中与x轴有交点？
（A）1<
x<
0（B）0<
1（C）1<
2（D）2<
3（E）3<
4。
（11）方程式2x33x2+19x60=0的根，符合下列那些情形？
（A）有一根介于3与4之间（B）有一根介于2与3之间（C）有3个实根（D）恰有一个有理根（E）有两个无理根。
（12）已知实系数四次多项函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e，若f（x）值之正负如下表：
且f（3+2i）=0。
小
于4
f（x）值
+
下面那些结论是正确的？
（A）3,2之间有实根（B）1,0之间恰有一个实根
（C）f（x）=0有四个实根（D）f（x）=0恰有一正根（E）32i为f（x）=0的根。
（13）y=f（x）为一多项函数，若f（0）>
0，f
（1）<
1，试证在0,1之间存在一实数c,使得f（c）=c2。
（14）已知方程式x44x334x2+ax+b=0之四根成等差数列，试求a,b的值及四个根。
（15）已知方程式x4+3x3+x25x12=0,其中有两根之乘积为4，试解此方程式。
进阶问题
（16）解下列方程式：
（a）x44x3+x2+4x+仁0（b）x2+++1+=2（c）2x26x5错误!
=5
（17）证明存在一正实数r，使得r4+2r+1=2。
（18）设二多项式f（x）与g（x），对于二相异实数a,b有下列关系f（a）<
g（a），f（b）>
g（b），证明：
在a,b之间存在一个实数c使得f（c）=g（c）。
abc2
（19）设a,b,c满足abbcca5，求以a,b,c为三根的三次方程式，并解出a,b,c
abc6
（20）令f（x）=x44x3+11x214x+10，并设，，，是方程式f（x）=0的四根。
（a）试求以1,1,1,1为四根的四次方程式g（x）=0。
（b）先求g（x）=0的四根，再求f（x）=0的四根。
综合练习解答
（1）（a）1+.5，13（b）错误!
，错误！
（c）1,1,1,错误！
（2）1i,5,2（3）b=11，c=3⑷a=错误!
，b=错误！
（5）a=3，b=6，1,1（6）3与2，2与1，1与2,
3与4⑺2<
a<
2（8）（a）4（b）证明f（x）=0或g（x）=0在1与2之间有实根即可。
（9）a<
<
c（10）（C）（11）（B）（D）（12）（B）（D）（E）（13）［提示：
考虑F（x）=f（x）x2］（14）a=76,b=105，4根为5,1,3,7（15）错误！
，1错误！
［提示：
可令方程式
会化为（/+ax4）（x2+bx+3）=0，展开之后，再比较系数］（16）（a）错误！
（b）0,8,1,3（c）5,2（17）［提示：
令方程式f（x）=x4+2x+12，证明f（x）=0有一
实根］（18）［提示：
考虑F（x）=f（x）g（x），证明F（x）=0在a,b之间有一实根］（19）x32x25x+6=0;
（a,b,c）=（1,3,2）（1,2,3）（3,1,2）（3,1,2）（3,2,1）,（2,1,3）（2,3,1）（20）（a）g（x）=x4+5x2+4（b）1i12i
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