Lx>h
指数分布x~E（a）
fM=
〃一巴x>0
<
0,x<0
F（x）=<
1-严，x>0
0,x<0
•
正态分布
/（*）=—e2/
y/27T（J
-oovxV+oo
.x-（if
F（x）=■,fe2adf
J2x（jJ-00
标准正态分布
X~/V（0,l）
i-
0（x）=—e>/2?
一00VXV+oc
①（x）=-zL=「e'Jt
4、随机变量函数Y=g（X）的分布离散型•P（Y=>'j）=近Pj.i=1,2,••-,
"I-.V,
连续型：
①分布函数法，②公式法./r（刃=fx（M37））-|//（.y）|（A-=力（y）单j周）
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律：
P（X=x「Y=x）=p/丿=1,2.…分布函数
F（X,Y）=ZZpjj
XjSy”Sy
边缘分布偉:
门=p（x=兀）=工几"订=卩（丫=〉\）=工心
条件分布律：
P（X=x”=兀）=生丿=12…
Pi
Pf小紗十…
2、连续型二维随机变量及其分布
1分布函数及性质
2边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数：
密度函数：
3条件概率密度
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立OF（x,y）=Fx（X）FY（y）,
离散型：
Pa=PiP.j>连续型：
f（x,y）=fx（x）fr（y）
4、二维随机变量和函数的分布
离散型:
P（Z=®）=XP（X=xi,Y=yJ）
连续型：
£（Z）=匚.f（x,z-x）dx=f（z-y,y）dy
四、随机变量的数宇特征
1、数学期望
1定义：
离散型E（X）=^xkPk,连续型F（X）=£2xf（x）dx
2性质：
E（C）=C,EJE（X）]=E（X）,E（CX）^CE（X）,E（X±Y）=E（X）±E（Y）
E（aX±b）=aE（X）±b,当X.Y相互独立时：
E（XY）=E（X）E（Y）
2、方差
1定义：
D（X）=E[（X-£（X））2]=E（X2）-£2（X）
2性质：
D（C）=0,D（aX±h）=a2D（X），
D（X±Y）=0（X）4-D（Y）±2Cvv（X,Y）
当X、Y相互独立时：
D（X±Y）=D（X）+D（Y）
3、协方差与相关系数
1协方差：
Cov（X.Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,当X、Y相互独立时：
S（X』）=0
2相关系数：
久=3讥门,当X、Y相互独立时：
Pxr=0（X,Y不相关）
3协方差和相关系数的性质：
C"（X,X）=D（X）,
Cov{X.Y）=Cov（Y.X）
4、随机变量分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布b（l,p）
P
p（l-p）
二项分布b（n,p）
np
np（l-p）
泊松分布卩（刃
2
均匀分布U（a.b）
a+b
2
（b-a）2
12
正态分布N
A
指数分布e（/l）
1
I
1
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若E（X）=“,D（X）=，,对于任意£>0有P{\X-E（X）\>£}<^4^-
2、大数定律：
①切比雪夫大数定律：
若X「・X”相互独立，
.it.n
=且于Sf,贝!
]:
—为乙一一工£（XJ,⑺too）flr-ln/-!
2伯努利大数定律：
设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，贝']Vf>0?
有：
limP—-P<£=1
fIn丿
3辛钦大数定律：
若知…,/独立同分布，且&匕）=“，则丄£匕•亠“
n苗T8
3、中心极限定理
1独立同分布的中心极限定理：
均值为“，方差为，>0的独立同分布时，
n
》Xk-刀“
当n充分大时有：
———^4n（oj）
y/na
2拉普拉斯定理：
随机变量X55则对任意X有：
3近似计算：
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本
总体X的分布函数F（x）样本（X„X2的联合分布为
F（xhx2-xw）=nF（xjt）
g
2、统计量
（1）样本均值：
x=l^x（-⑵样本方差：
n/=|
s'丄£（X|-f）2=丄于）
“11-1“1r-l
（3）样本标准差：
s召号xY）2⑷样本《阶距：
]川
Ak=Lyx^,k=\,2-
诒
（5）样本k阶中心距：
Bk=Mk=-^（Xi-X）k,k=2,3■-
n/-]
3、三大抽样分布
⑴於分布：
设随机变量xg…x“相互独立，且都服从
标准正态分布^（0.1）,则随机变量，=xf+x”-..x：
所服从的分布称为自由度为“的才分布，记为/~力2何
性质:
①£lZ2（«）]=n.D[z2（n）J=2/»②设X~于佃）#~才何且相互
独立,则X+Y~/2（,”+“）
⑵/分布:
设随机变量x~N（o.i）.y~z2（“），且X与Y独立,
则随机变量：
T亠所服从的分布称为自由度的“的fylYTn
分布，记为T-t（n）
性质：
①E（T）=0（/z>I）,D（T）=—（n>2）②limf（x）=（p（x）=丄J?
n_2fy/27T
（3）f分布:
设随机变量〃~亦）芒~才2（“2）,且U与V独立,则随机变量F（m，”2）=；-=所服从的分布称为自由度的,"2）
卩/”2
的F分布,
记为F~F（“"2）,性质：
设X~F（®,”2）,则!
~F（”2,4）
A
七、参数估计
1•参数估计
（1）定义：
用血.X2,…X”）估计总体参数称$（X「X2,…X”）为0的估计量,相应的站,勺,…，血）为总体&的估计值。
⑵当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值二未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法：
（总体矩二样本矩）
样本均值：
X=£（X）=-Yx；或X=£（%）=pW.W.Y
求法步骤：
设总体X的分布中包含有未知参数q,q，…，仇,它的前k阶原点矩M=E（Xi）Q=l,2,…,Q中包含了未知参数”2,…,即…,q）（2i，2,・・z）。
又设州宀，…，心为总体X的n个样本值，用样本矩
1ft
4=-£x；（21,2,…，灯代替灿，在所建立的方程组中解出
的k个未知参数即为参数心,…、％的矩估计量
AAA
q,&2,…禺
3.点估计中的极大似然估计
极大似然估计法：
X|,X2,…X"取自x的样本，设x-f（x.a）
或X~,
求法步骤：
nn
1似然函数：
厶（&）=口/（儿划或口叱）］
r-l1-1
2取对数：
lnE（&）=£ln/3，0）或lnU0）=fIn”"）
f-1J-!
3解方程：
警=0,…，警=0,解得：
q=g宀,…宀）
Ot/|
AA
・E=23宀,…宀）
4.估计量的评价标准
估计量的评价标准
无偏性
设&=&（心，尤2，…,X”）为未知参数0的估计量。
若E（&）=&,则称$为&的无偏估计量。
有效性
AAAA
设01=&l（Xi，X，2,…，x“）和&2=&2（h，X，2，…，X“）是未知
参数&的两个无偏估计量。
若D（e）vD（&2），则称N比^2有效。
一致性
设&“是0的一串估计量，如果对于任意的正数£,都有
limP（l久一&l>£）=0,则称On为0的一致估计量（或相合估n^oo
计量）。
5.单正态总体参数的置信区间
条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为1-0的程信区间
已知
•>b-
z-j
b/丽
mo
）
未知
g-i）
已知
z2（«）
£（兀-“）2£（X厂"）2
/-!
i-1
4（w）材％（"）
未知
2
X^2
*5-1）
（n-l）S2（n-l）S2
A.假设检验
1•假设检验的基本概念
基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
这里所说的小概率事件就是事件｛KeRa｝，其概率就是显著性水平a,
通常我们取a二0.05,有时也取0.01或O.lOo
基本步骤
1.提岀原假设H0：
2.选择统计量K：
3.对于a査表找分位数入；
4.由样本值山，£，…,心计算统计量之值K：
将K与几进行比较，作出判
断：
当IKI>/1（或K>/1）时拒绝H0,否则认为接受H0。
两类错误
第一类
错误
当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否泄H0.这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否左了真实的假设），称这种错误为"弃真错误"或第一类错误，记Q为犯此类错误的概率,即：
P｛拒绝HO|HO为真｝=a：
第二类
错误
当H1为真时，而样本值却落入了接受域，按照我们规左的检验法则，应当接受H0。
这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”
或第二类错误，记0为犯此类错误的概率，即：
P｛接受HO|H1为真｝=0。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的槪率同时都很小。
但是，当容量n—泄时，a变小，则0变大；相反地，0变小，则a变大。
取泄Q要想使0变小，则必须增加样本容量。
时间：
2021.03.09
创作：
欧阳法
2•单正态总体均值和方差的假设检验
条件
原假设
检验统计量
统计量
分布
拒绝域
已知
丹0：
“=“0
c/y/n
N（0,l）
lzl>珂
乙
乩）：
“n“o
ZV-Za
未知
7
Ho=
T_x_»q
5/Vn
/（”一1）
W>/呀（H-1）
H（）•“—“°
H（）：
“n“o
未知“
H（）:
a2=a2
j（"T）S，
z2（»-0
八仏欤—I）或才＞力2（"-1）
H"X—
q;
Z2>Za（«-D
Z2已知“
（少见）
H（）:
（j2=y2一->
*5）
或
才＞力玄（“）
A-2
5
Z2>Za（»）
Z2时间^2021.03.09创作：
欧阳法
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