40第四十章 等差数列.docx

40第四十章 等差数列.docx

《40第四十章 等差数列.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《40第四十章 等差数列.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

40第四十章等差数列

第四十章等差数列

概念

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列若干个数排成一列，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

引例

等差数列：

3、6、9、…、96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式：

（1）通项公式：

第几项=首项+（项数-1）×公差

（2）项数公式：

项数=（末项-首项）÷公差+1

（3）求和公式：

总和=（首项+末项）×项数÷2

注：

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差，求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

例题

1.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？

2.文丽学英语单词，第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？

3.李师傅做一批零件，第一天做了25个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？

4.小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?

5.建筑工地上堆着一些钢管（如图所示），求这堆钢管一共有多少根。

6.一些同样粗细的圆木，像如图所示一样均匀地堆放在一起，已知最下面一层有70根。

一共有多少根圆木？

7.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?

8.用相同的小立方体摆成如图所示的形状，如果共摆成10层，那么最下面有多少个小立方体?

9.有50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次?

10.有60把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多试多少次?

11.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了?

12.一辆公共汽车有66个座位，空车出发后，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依次类推，第几站后，车上坐满乘客?

13.四

（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？

14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？

16.一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。

如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？

17.求等差数列3，5，7，

的第10项，第100项，并求出前100项的和。

18.在

、

两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。

19.4个连续整数的和是94，求这4个数。

20.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中共学会了多少个单词？

21.1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99

22.（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）

23.求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。

24.有60个数，第一个数是7，从第二个数开始，后一个数总比前一个数我4。

求这60个数的和。

25.在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少?

26.把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少?

27.在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少?

28.盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。

29.下面的各算式是按规律排列的：

1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，……，那么其中第多少个算式的结果是1992?

30.已知两列数：

2、5、8、11、……、2+（200-1）×3;5、9、13、17、……、5+（200-1）×4。

它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对?

31.某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。

如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人?

32.小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了;第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页?

33.7个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种了多少棵?

34.将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少?

35.已知一列数：

2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。

36.有一列数是这样排列的:

2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。

37.有一串自然数2、5、8、11、„„，问这一串自然数中前61个数的和是多少？

38.15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

39.把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？

40.已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？

41.在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？

42.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少?

43.所有两位单数的和是多少？

44.数列1、5、9、13、„„，这串数列中，前91个数和是多少？

45.（2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011）/2008=？

46.把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

47.在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？

508是这个数列的第几项？

48.全部三位数的和是多少？

49.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差

50.自然数中被10除余1的所有两位数的和。

51.若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？

52.从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？

53.求下列方阵中100个数的和。

0、1、2、3、……8、9；

1、2、3、4、……9、10；

2、3、4、5、……10、11；

……

9、10、11、12、……17、18

54.1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝？

55.有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。

56.一个剧院的剧场有20排座位，第一排有38个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位？

57.一个物体从高空落下，已知第一秒下落距离是4.9米，以后每秒落下的距离是都比前一秒多9.8米50秒后物体落地。

求物体最初距地面的高度。

58.已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？

59.有一个数列：

6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？

60.在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项（101）？

第50项是多少？

答案及解析

1.提示：

根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：

由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）

答：

这本书共有1470页。

2.解：

文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120（个）

答：

文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

3.答：

（25+63）×20÷2=880（个）

4.答：

这个等差数列共有29项。

5.提示：

根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

解：

求钢管一共有多少根，其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=（10-3）÷1+1=8，根据公式求和为：

3+4+5+…+9+10

=（3+10）×8÷2

=13×8÷2

=52（根）。

答：

这堆钢管一共有52根。

6.答案：

2485根。

7.解：

如果把图中最上端的一个三角形看做第一层，与第一层紧相连的3个三角形（2个向上的三角形，一个向下的三角形）看做第二层，那么这个图中一共有10层三角形。

不难看出，这10层三角形每层所需火柴棒根数，自上而下依次为：

3，6，9，…，3×10。

它们成等差数列，且首项为3，公差为3，项数为10。

求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和。

即：

3+6+9+…+30

=（3+30）×10÷2

=33×5

=165（根）

答：

这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。

8.答案：

55个

9.提示：

开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

解：

根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和，

即49+48+47+…+2+1

=（49+1）×49÷2

=1225（次）

答：

至多要试1225次。

10.解：

59+58+57+…+2+1=（59+1）×59÷2=1770（次）

11.答：

一共有8把锁的钥匙搞乱了。

12.答：

第11站后，车上坐满乘客。

13.提示：

假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。

握手的次数分别为：

44，43，42，…，3，2，1，这样应用等差数列求和公式即可解答。

解：

根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和

即44+43+42+…+3+2+1

=（44+1）×44÷2

=990（次）

答：

同学们共握了990次手。

14.答案：

15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）

15.解：

根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。

所以，一共握手的次数为：

52+51+50+…+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）

答：

一共握了1378次手。

16.解：

设共有n人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，所以一共握手（n-1）+（n-2）+…+2+1=n×（n-1）÷2，因为共握手28次，所以n×（n-1）÷2=28，即n×（n-1）=56.又因为n是正整数，通过计算，可知8×7=56，n=8，所以参加聚会的共有8人。

答：

参加聚会的共有8人。

17.提示：

我们观察这个等差数列，可以知道首项

=3，公差d=2，直接代入通项公式，即可求得

，

.同样的，我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：

3+5+7+

201=（3+201）

100

2=10200.

解答：

由已知首项

=3，公差d=2，

所以由通项公式

，得到

。

同理，由已知，

=3，

=201，项数n=100

代入求和公式得3+5+7+

201=（3+201）

100

2=10200.

18.解答：

根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差，

那么第三项

=

+2d，即：

=

+2d，所以d=0.5

故等差数列是，

、2、

。

19.解答：

由于4个数是连续的整数，那么这4个数就是公差d=1的等差数列，不妨设第一个数为

，那么第二个数就是

+1，

同理：

第3个数，第4个数分别是

+2，

+3那么由已知，这四个整数的和是94，所以

+（

+1）+（

+2）+（

+3）=94，因此

=22，所以这4个连续分别是22、23、24、25。

20.解答：

因为丽丽从第二天开始，每天都比前一天多学会1个单词，因此丽丽每天学会的单词个数是一个等差数列，并且这个等差数列的首项

=6，公差d=1，末项

=16，若想求和，必须先算出项数n，根据公式项数＝（末项－首项）÷公差＋1，即n=（16-6）÷1+1=11

那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为：

6+7+8+……+16=（6+16）

11÷2=121

21.解答：

1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99

=（1＋99）×50÷2

=2500

22.解答：

（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）

=（1＋1999）×1000÷2－（2＋1998）×999÷2

=1000000－999000

=1000

23.解答：

（5＋155）×51÷2

=160×51÷2

=80×51

=4080

24.解答：

（1）末项为：

7＋4×（60－1）

=7＋4×59

=7＋236

=243

（2）60个数的和为：

（7＋243）×60÷2

=250×60÷2

=7500

25.解答：

我们发现：

1、2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有100÷2=50组，每组3个数，共有50×3=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150-1=149.

26.解答：

28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：

1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54，这样转化为和差问题，最大数为（142+54）÷2=98。

27.解答：

因为34×28+28=35×28=980<1000，所以只有以下几个数：

34×29+29=35×29

34×30+30=35×30

34×31+31=35×31

34×32+32=35×32

34×33+33=35×33

以上数的和为35×（29+30+31+32+33）=5425

28.解答：

因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析：

假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目1+2+3+……+134+135=136×135÷2=9180，9180÷17=540，135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，116÷17=6……14，所以黄卡片的数是17-14=3。

29.解答：

先找出规律：

每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数。

因为1992是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3，如果是1：

那么第二个数为1992-1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996项，而数字1始终是奇数项，两者不符，所以这个算式是3+1989=1992，是（1989+1）÷2=995个算式。

30.解答：

易知第一个这样的数为5，注意在第一个数列中，公差为3，第二个数列中公差为4，也就是说，第二对数减5即是3的倍数又是4的倍数，这样所求转换为求以5为首项，公差为12的等差数的项数，5、17、29、……，由于第一个数列最大为2+（200-1）×3=599;第二数列最大为5+（200-1）×4=801。

新数列最大不能超过599，又因为5+12×49=593，5+12×50=605，所以共有50对。

31.解答：

11月份有30天。

由题意可知，总厂人数每天在减少，最后为240人，且每天人数构成等差数列，由等差数列的性质可知，第一天和最后一天人数的总和相当于8070÷15=538也就是说第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）÷（30-1）=2人，所以全月共派出2*30=60人。

32.解答：

第一方案：

35、40、45、50、55、……35第二方案：

45、50、55、60、65、……40二次方案调整如下：

第一方案：

40、45、50、55、……35+35（第一天放到最后；第二方案：

40、45、50、55、……（最后一天放到第一天）这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385页。

33.解答：

由已知得，其它6个小队共种了100-18=82棵，为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫?

敲戳?

个应该越多越好，有：

17+16+15+14+13=75棵，所以最少的小队最少要种82-75=7棵。

34.解答：

最大与最小数的和为170-150=20，所以最大数最大为20-1=19，当最大为19时，有19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+1=170，当最大为18时，有18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+2=158，所以最大数为19时，有第2个数为7。

35.提示：

仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。

解：

这列数的首项是2，末项是80，公差是3，运用公式：

项数=（末项-首项）÷公差+1。

即（80-2）÷3+1=27，所以80是该数列的第27项。

36.解答：

785是第88个数。

37.解：

即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：

末项=2+（61-1）×3=182根据求和公式：

和=（2+182）×61÷2=5612

答：

5612

38.15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

解：

由中项定理，中间的数即第8个数为：

199515133，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：

1332158147

答：

147。

39.解：

由题可知：

由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，40.一把钥匙和一把锁配着，现在有10把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好？

这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。

即第1个数是15，第6个数是40。

答：

第1个数：

15；第6个数：

40。

40.解：

公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：

15，23，31„„439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258偶数项组成的数列为：

19，27，35„„443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474差为12474-12258=216

答案：

216

41.解：

每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9*1，最大的数是99=9*11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：

11+1-1=11项，所以，所求数的和是：

9+18+27+…+99=（9+99）*11/2=594．也可以从找规律角度分析．

答案：

594

42.解：

根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：

20×9=180 

答案：

180

43.解：

即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少，和=（11+99）×45÷2=2475

答案：

2475

44.解：

首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：

    末项=1+（91-1）×4=361，和=（1+361）×91÷2=16471

答案：

16471

45.解：

根据中项定理知：

2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008*7,所以原式=2008*7/2008=7。

答案：

7

46.解：

公差为2的递增等差数列。

平均数：

248÷8=31，第4个数：

31-1=30；首项：

30-6=24；末项：

24+（8-1）×2=38。

即：

最大的数为38。

答案：

38

47.答案：

第48项是286，508是第85项。

48.提示：

所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。

要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

解：

（100+999）*900/2=1099*900/2=494550

答：

全部三位数的和是494550。

49.答案:

1000

50.提示：

在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。

从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。

它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。

解：

11+21+31+……+91=（11+91）*9/2=459

51.答案：

52人

52.答案：

625种

53.答案：

900

54.解答：

总和＝（首项＋末项）×项数÷2

（1+2008）×2008÷2=2017036

55.解答：

第几项（末项）＝首项＋（项数－1）×公差=1076

总和＝（首项＋末项）×项数÷2=185450

57.解答：

末项：

4.9+49×9.8=485.1

总和＝（4.9＋485.1）×50÷2=12250

58.解答：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

16＝（47－2）÷3＋1

59.解：

第几项（末项）＝首项＋（项数－1）×公差

总和＝（首项＋末项）×项数÷2

答：

20400

60.解：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

第几项（末项）＝首项＋（项数－1）×公差

答：

197