集合导学案演示教学.docx

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集合导学案演示教学

集合导学案

1．1.1　集合的含义与表示

一、元素与集合的概念

定义

表示

元素

一般地，我们把研究对象统称为

通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示

集合

把一些组成的总体叫做（简称集）

通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示

1．集合相等

只要构成两个集合的元素是，我们就称这两个集合．

2．集合元素的特性

集合元素的特性：

、、．（注意对元素特性的理解）

3．元素与集合的关系

（1）如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作

（2）如果a不是集合A中的元素，就说a集合A，记作.

注意：

对∈和∉的理解

（1）符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．

（2）∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的.

二、常用的数集及其记法

常用的数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

记法

1、常用数集关系网

实数集R

三、集合的表示

列举法：

把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

描述法：

（1）定义：

用集合所含元素的表示集合的方法．

（2）具体方法：

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

[例1]　

（1）下列各组对象：

①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤

的近似值的全体．其中能构成集合的组数是（　　）

A、2B、3C、4D、5

[例2]　

（1）设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是（　　）

A．0∈AB．a∉A

C．a∈AD．a＝A

（2）下列所给关系正确的个数是（　　）

①π∈R；②

∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*

A．1B．2

C．3D．4

[例3]已知集合A中含有两个元素

，若1∈A，求实数

的值.

[例4]设集合

，集合

集合

，试用列举法分别写出集合A、B、C.

课堂练习：

1．下列说法正确的是（）

（A）所有著名的作家可以形成一个集合

（B）0与

的意义相同

（C）集合是

有限集

（D）方程

的解集只有一个元素

2.设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是（　　）

A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈M

C．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M

3.设A表示由a2＋2a－3,2,3构成的集合，B表示由2，|a＋3|构成的集合，已知5∈A，且5∉B，求a的值．

4.若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．

5、

（1）集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为（　　）

A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝（－1）n（2n－1），n∈N}

C．{x|x＝（－1）n（2n＋1），n∈N}D．{x|x＝（－1）n－1（2n＋1），n∈N}

（2）设集合B＝

.

①试判断元素1,2与集合B的关系；②用列举法表示集合B.．

6、集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围

1．1.2　集合间的基本关系

1、子集的概念

定义

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的

记法与读法

记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）

图示

结论

（1）任何一个集合是它本身的子集，即

（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则

对子集概念的理解

（1）集合A是集合B的子集的含义是：

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．

（2）如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.

（3）注意符号“∈”与“⊆”的区别：

“⊆”只用于之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.

2、集合相等的概念

如果集合A是集合B的（A⊆B），且集合B是集合A的（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作

对两集合相等的认识

（1）若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．

（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.

3、真子集的概念

定义

如果集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的

记法

记作AB（或BA）

图示

结论

（1）A⊆B且B⊆C，则AC；

（2）A⊆B且A≠B，则AB

对真子集概念的理解

（1）在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

（2）若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.

4、空集的概念

（1）∅是不含任何元素的集合；

（2）{0}是含有一个元素的集合.

5、判断集合间关系的方法

（1）用定义判断．

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

（2）数形结合判断．

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.

6、有限集合的子集个数

（1）含n个元素的集合有个子集；

（2）含n个元素的集合有个真子集．

（3）含n个元素的集合有个非空子集；（4）含有n个元素的集合有个非空真子集；（5）若集合A有n（n≥1）个元素，集合C有m（m≥1）个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有个

[例1]　

（1）下列各式中，正确的个数是（　　）

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{（0,1）}；⑥0＝{0}

A．1　　　　　B．2C．3D．4

[例2]

（1）集合

的真子集的个数是（）

A.16B.15C.14D.13

[例3]已知

.

⑴若

求

的取值范围;⑵若

求

的取值范围;

课堂练习：

1、下列四个命题：

①

；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）

Ａ．０个　　　Ｂ．１个　　　Ｃ．２个　　　　Ｄ．３个

2、指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

3、满足{1,2}

M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有个.

4、已知集合P={x∣

，S={x∣

，

若S

P，求实数

的取值集合.

5、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

北晨学校高一数学导学案主备人：

邓洪萍审核人：

付冬梅

1．1.3　集合的基本运算

第一课时　集合的并集、交集

1．并集的概念

文字语言

一般地，由所有的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作（读作“A并B”）

符号语言

A∪B＝{x|}

图形语言

2．并集的性质

（1）A∪B＝，即两个集合的并集满足交换律．

（2）A∪A＝，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．

（3）A∪∅＝∅∪A＝，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．

（4）A⊆（A∪B），B⊆（A∪B），即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．

（5）若A⊆B，则A∪B＝，反之亦然，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．

理解并集应关注三点

（1）A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．

（2）“或”的数学内涵的形象图示如下：

（3）若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.

1．交集的概念

文字语言

一般地，由属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作（读作“A交B”）

符号语言

A∩B＝{x|}

图形语言

2．交集的性质

（1）A∩B＝，

（2）A∩A＝，（3）A∩∅＝∅∩A＝，

（4）A∩BA，A∩BB，（5）若A⊆B，则A∩B＝，

理解交集的概念应关注四点

（1）概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．

（2）概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．

（3）当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.

（4）定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈（A∩B）”是等价的，即由既属于A，又属于B

的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.

例1、

（1）设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（　　）

（2）若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2

注：

并集的运算技巧

（1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

（2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．

例2、设A=

，B=

，求A∩B.

注：

求交集运算应关注两点

（1）求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．

（2）利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．

例3、已知集合A＝{x|－3

课堂练习：

1、设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，求A∩B和A∪B

2、若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于（　　）

A．{1,2}B．{0,1}

C．{0,3}D．{3}

3、已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值

4、设集合A={x|2x2+3px+2=0}，B={x|2x2+x+q=0}，其中p，q，x∈R，且A∩B={

}时，求p的值和A∪B

5、集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．

6、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：

⑴只乘电车的人数⑵不乘电车的人数⑶乘车的人数⑷只乘一种车的人数

1．1.3　集合的基本运算

第二课时　补集及综合应用

全集的定义及表示

（1）定义：

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．

（2）符号表示：

全集通常记作

对全集概念的理解

“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：

我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.

补集的概念及性质

定义

文字语言

对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的，简称为集合A的补集，记作

符号语言

∁UA＝{x|}

图形语言

性质

（1）∁UA⊆；

（2）∁UU＝，∁U∅＝；（3）∁U（∁UA）＝；（4）A∪（∁UA）＝；A∩（∁UA）＝

理解补集应关注三点

（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．

（2）∁UA包含三层意思：

①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．

（3）若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．

[例1]　

（1）设全集U＝R，集合A＝{x|2

（2）设U＝{x|－5≤x<－2，或2

求补集的方法

求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

练习：

设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9），∁UA＝{5,7}，则a的值为________．

[例2]　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，（∁UA）∪B，A∩（∁UB），∁U（A∪B）．

解决集合交、并、补运算的技巧

（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．

（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

[例3]已知集合A＝{x|x0}，若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．

利用补集求参数应注意两点

（1）与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．

（2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集

练习：

1、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

2、设全集U＝R，M＝{x|3a

∁UP，求实数a的取值范围．