工程制图 第三章32.docx

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工程制图第三章32

§3-2点、直线、平面的投影

任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。

如图3-11所示三棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。

由于工程图样是用线框图形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的这些点、棱线和平面的三面投影。

因此，要正确绘制和阅读物体的三视图，须掌握这些基本几何元素的投影规律。

图3-11三棱锥

一、点的投影

１．点的三面投影形成

如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″即为点A在三个投影面上的投影。

按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b），去掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图（图3-12c）。

图中ax、ay、az分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。

图3-12点的三面投影形成

２．点的三面投影规律

从图3-12中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律：

（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。

（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax＝a″az.

此外，从图3-12a还可看出点的投影到投影轴的距离，分别等于空间点到相应投影面的距离。

如：

a′az＝aaYH反映点A到W面的距离；a′ax＝a″aYw反映点A到H面的距离；aax＝a″az反映点A到V面的距离.

根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可求作出该点的第三面投影。

〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。

分析：

根据点的投影规律可知，b′b″⊥OZ，过b′作OZ轴的垂线b′bz并延长，所求b″必在b′bz的延长线上。

由b″bz＝bbx，可确定b″的位置。

图3-13已知点的两面投影求作第三面投影

作图：

１）过b′作b′bz⊥OZ，并延长（图3-13ｂ）。

２）量取b″bz＝bbx，求得b″，也可利用４５°线作图（图3-13ｃ）。

３．点的三面投影与直角坐标的关系

　在图3-14ａ中，如果将投影面看作坐标面，投影轴看作坐标轴，原点O看作坐标原点，这样的直角三投影面体系便成为一个空间直角坐标系。

空间点A到三个投影面的距离便可分别用它的直角坐标x、y、z表示。

　　点A的x坐标：

表示点A到W面的距离＝Aa″＝a′az＝aaYH

点A的y坐标：

表示点A到V面的距离＝Aa′＝a″az＝aax

点A的z坐标：

表示点A到H面的距离＝Aa＝a′ax＝a″aYW

图3-14点的投影与直角坐标的关系

　　点的空间位置可由点的坐标（x，y，z）确定。

如图3-14ｂ所示，点A三面投影的坐标分别为ａ（ｘ，ｙ）、ａ′（ｘ，ｚ）、ａ″（ｙ，ｚ）。

任一面投影都表示两个坐标，所以一个点的两面投影就表示了确定该点空间位置的三个坐标，即确定了点的空间位置。

〔例3-3〕已知点A（15,10,20），试作其三面投影。

图3-15　已知点的坐标作投影

作图：

１）作投影轴，在OX轴上向左量取15，得ax（图3-15ａ）。

２）过ax作OX轴的垂线，在此垂线上沿OYH方向量取10得ａ，沿OZ方向量取20，得a′（图3-15ｂ）。

３）由ａ、ａ′作出ａ″（图3-15ｃ）。

〔例3-4〕如图3-16ａ所示，已知点B的水平投影ｂ，并知点B到H面的距离为０，试作出点B的其余两面投影。

图3-16　根据点的一面投影及点到该投影面的距离，求作点的其余投影

分析：

　　从点B的水平投影可知点B的ｘ、ｙ坐标，点B到H面的距离即为点B的ｚ坐标，ｚ坐标值等于０，说明点B在H面上。

因此，点B的H面投影ｂ与点B重合；点B的V面投影ｂ′在OX轴上；点B的W面投影ｂ″在OYW轴上。

作图：

１）过ｂ作OX轴的垂线，其垂足即为ｂx，ｂ′与ｂx重合（图3-16b），

２）在OYW轴上量取ob″＝ｂｂx得ｂ″，也可利用作４５°斜线确定ｂ″（图3-16c）。

思考：

在例3-4中，能否在OYH上量取ob″＝ｂｂx确定ｂ″？

为什么？

４．两点的相对位置

（１）两点相对位置的确定

空间两点的相对位置可用两种方式确定。

图3-17　两点的相对位置

１）直接从两点的投影确定：

从正面投影或侧面投影可确定两点的上、下位置，如图3-17ｂ的正面投影中，ａ′在ｂ′上方，可知点A在点B之上。

同理，从正面投影或水平投影可确定两点的左、右位置；从水平投影或侧面投影可确定两点的前、后位置。

２）从两点的坐标差判断：

从两点的ｚ坐标差，可判断两点的上、下位置，如图3-17中，ｚA－ｚB>0，说明点A在点B之上。

同理，从两点的ｘ坐标差，可判断两点的左、右位置；从两点的ｙ坐标差，可判断两点的前、后位置。

〔例3-5〕已知空间点C的三面投影（图3-18ａ），点D在点C的左方５，后方６，上方４。

求作点D的三面投影。

图3-18　根据两点的相对位置，求作点的投影

作图：

１）在OX轴上的cx处向左量取５，得dx（图3-18ｂ）。

２）过dx作OX轴的垂线。

在该垂线上，从dx开始，沿OZ方向量取zc＋４得ｄ′，沿OYH方向量取yc－６得ｄ（图3-18ｃ）。

３）由ｄ′、ｄ作出ｄ″（图3-18ｄ）。

（２）重影点及其投影的可见性

　　如图3-19所示，当空间两点A、B位于垂直于H面的同一投射线上时，这两个点在H面上的投影重合为一点，我们称这两个点为H面的重影点。

同理，C、D为V面重影点。

图3-19　重影点的投影

　　由于点的一面投影能反映点的两个坐标，所以重影点必有两个坐标相同。

H面的重影点，ｘ、ｙ坐标相同，即ｘＡ=ｘＢ　ｙＡ=ｙＢ,ｚ坐标不同；V面的重影点，ｘ、ｚ坐标相同，即ｘＡ=ｘＢ　ｚＡ=ｚＢ，ｙ坐标不同；同理W面的重影点，ｙ、ｚ坐标相同，ｘ坐标不同。

重影点重合的那面投影存在遮挡关系，如图3-19所示，H面的重影点A、B，ｚ坐标不同，由于ｚＡ＞ｚＢ，所以ａ可见，ｂ不可见，不可见投影，字母加括号表示，如（ｂ）。

二、直线的投影

1.直线的三面投影形成

空间两点确定一条直线。

因此，求直线的投影实质上仍是求点的投影。

如图3-20a所示，在直线上任取两点（一般取端点），作出该两点的三面投影（图3-20b），然后将该两点的同面投影（即两点在同一个投影面上的投影）相连，即得该直线的三面投影（图3-20c）。

图3-20　直线的三面投影

2.各类直线的投影特征

直线相对于投影面的位置不同，直线的投影亦不同（图3-4）。

因此，我们根据直线在三投影面体系中的位置不同，将直线分为三类：

投影面平行线、投影面垂直线、投影面倾斜线。

并规定：

直线与H面的倾角，用α表示；与V面的倾角，用β表示；与W面的倾角，用γ表示。

下面讨论各类直线的位置特点及投影特征。

（1）投影面平行线

平行于某一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。

根据所平行的投影面不同，投影面平行线又分为三种：

正平线、水平线、侧平线，各种投影面平行线的投影特征如表3–1所示。

表３－1　投影面平行线的投影特征

（2）投影面垂直线

垂直于某一个投影面，而与另外两个投影面平行的直线称为投影面垂直线。

根据所垂直的投影面不同，投影面垂直线又分为三种：

正垂线、铅垂线、侧垂线，各种投影面垂直线的投影特征如表3–2所示。

表３－2　投影面垂直线的投影特征

思考：

有一空间直线AB，它平行于V面的同时又平行于W面（即AB∥V、AB∥W），该直线AB是投影面平行线还是投影面垂直线？

（3）投影面倾斜线

倾斜于三个投影面的直线叫做投影面倾斜线，如图3–21a所示。

投影面倾斜线的投影特征：

1）三面投影都倾斜于投影轴（主要特征），但它与投影轴的夹角不反映直线的α、β、γ。

2）三面投影都缩短：

ab=ABcos，ab=ABcos，ab=ABcos。

图3-21　投影面倾斜线的投影特征

　　在后面学习中，我们常将投影面平行线、投影面垂直线统称为特殊位置直线，而将投影面倾斜线称为一般位置直线。

〔例3-6〕分析图3-22ａ所示三棱锥各棱线与投影面的相对位置。

图3-22　分析投影，确定直线与投影面的相对位置

分析：

　　棱线SB：

由于ｓｂ⊥OX，ｓ′ｂ′⊥OX，说明SB上所有点的X坐标相同，可以确定SB为侧平线，侧面投影反映实长ｓ″ｂ″＝SB，反映棱线SB的α角、β角（图3-22ａ）。

棱线AC：

由于A、C点的侧面投影ａ″、ｃ″重合，可以判断AC为侧垂线，正面投影、水平投影都平行于X轴，且ａ′ｃ′＝ａｃ＝AC（图3-22ｂ）。

棱线SA：

由于SA的三面投影ｓａ、ｓ′ａ′、ｓ″ａ″都与投影轴倾斜，可以判断SA为一般位置直线（图3-22ｃ）。

３．直线上的点

点在直线上，则点的各面投影必在该直线的同面投影上，如图3-23所示，点K在直线AB上，k必在ab上，k必在ab上，k必在ab上。

直线上的点将直线分为两段，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例（即简比不变），如图3-23所示，AK：

KB=ak：

kb=a′k′：

k′b′=a″k″：

k″b″。

图3-23　直线上的点

〔例3-7〕已知直线AB的两面投影（图3-24ａ），试在直线AB上取一点C，使AC：

CB=1：

2，作出点C的两面投影c、c′。

图3-24　直线上取点

1）自ａｂ的一个端点ａ作任一辅助线，在该辅助线上截取3个单位长，得点B0。

2）将B0b相连，过辅助线上的第一个单位长度截点1画B0b的平行线，该平行线与ab的交点即是所求点C的水平投影c。

3）过c作OX轴的垂线，该垂线与a′b′的交点，即为所求点C的正面投影c′。

〔例3-8〕已知如图3-25ａ所示，判断点K是否在直线AB上。

图3-25　判断点是否在直线上

方法一：

补画直线和点的侧面投影，如果点K在直线AB上，则ｋ″必在ａ″ｂ″上。

从图3-25ｂ看出，ｋ″不在ａ″ｂ″上，所以点K不在直线AB上。

方法二：

根据简比不变作图判断，如果点K在直线AB上，必有ak：

kb=a′k′：

k′b′。

1）自ａ′ｂ′的一个端点ａ′作任一辅助线，在该辅助线上截取ａ′K0=ａｋ，K0B0=ｋｂ（图3-25c）。

２）连接B0ｂ′，并过K0作B0ｂ′的平行线交a′b′于一点，该点与ｋ′不重合，说明等式ak：

kb=a′k′：

k′b′不成立，因此点K不在直线AB上。

思考：

上述方法二中，可否从AB的水平投影ａｂ的一个端点a或b作辅助线求解？

如何作图？

从上面两例可以看出，在一般情况下，若已知点的任意两面投影在直线的同面投影上，就可以断定该点在直线上。

但是，若直线为投影面平行线时，如果要根据两面投影进行判断，则该两面投影中一定要有一面投影是反映直线实长的投影。

4.两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有三种：

平行、相交和交叉。

平行两直线和相交两直线都可以组

成一个平面，而交叉两直线则不能，所以交叉两直线又称为异面直线。

（1）两直线平行　空间互相平行的两直线，其各组同面投影必互相平行。

如图3-26所示，AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′，W面投影a″b″必定平行于c″d″。

若空间两直线的三组同面投影分别互相平行，则空间两直线必互相平行。

图3-26　两直线平行

判断空间两直线是否平行关键是判断两直线是否共面，一般情况下，只需判断两直线的任意两组同面投影是否分别平行即可（图3-26ｂ）。

但是当两直线均平行于某一投影面时，要判断它们是否平行，则取决于该两直线所平行的那个投影面上的投影是否平行。

如图3-27a所示，EF、CD为侧平线，虽然ef∥cd、e′f′∥c′d′，但求出侧面投影（图3-27b）后，由于e″f″不平行于c″d″，故EF，CD不平行。

图3-27判断两直线是否平行

思考：

有无其他方法可判断图3-27中的直线EF，CD是否平行？

（２）两直线相交　空间两直线相交，则其各组同面投影必相交，且交点必符合空间

点的投影规律；反之亦然。

如图3-28所示，直线AB，CD相交于点K，其投影ab与cd，a′b′与c′d′分别相交于k，k′，且kk′⊥OX轴。

图3-28两直线相交

判断空间两直线是否相交，一般情况下，只需判断任意两组同面投影是否相交，且交点符合点的投影规律即可（图3-28b）。

但是，当两条直线中有一条直线为投影面平行线时，要判断它们是否相交，则取决于直线投影的交点是否是同一点的投影。

〔例3-9〕判断图3-29a中直线AB、CD是否相交？

图3-29判断两直线是否相交

方法一：

补画第三面投影判断。

虽然AB、CD的第三面投影也相交，但二直线投影的交点不是同一点的投影，所以二直线在空间不相交（图3-29b）。

方法二：

利用简比不变判断。

假设二直线相交，则交点K是二者的共有点，它位于直线AB上，它将AB分为两段，AK、KB。

该两段的水平投影之比ak：

kb应等于该两段的正面投影之比a′k′：

k′b′，从图3-29c可知，该比例不成立，所以二直线在空间不相交。

（３）两直线交叉　既不平行又不相交的两条直线称为两交叉直线。

如图3-30所示，直线AB和CD为两交叉直线，虽然它们的同面投影相交了，但“交

点”不符合点的投影规律，该“交点”只是两直线的重影点。

如ab、cd的交点1

（2），是直线AB上的点

与直线CD上的点

水平投影的重合（即H面重影点）；a′b′、c′d′的交点3′（4′）是直线AB上的点

与直线CD上的点

正面投影的重合（即V面重影点）。

图3-30两直线交叉

利用交叉两直线重影点的投影可以判断两直线的相对位置，如图3-30所示，根据两直线的H面重影点的投影1

（2），找出该重影点的正面投影1′、2′，由于1′在2′的上方，所以可以判断直线AB在直线CD上方；根据两直线的V面重影点的投影3′（4′），找出该重影点的水平投影3、4，由于3在4的前方，所以可以判断直线CD在直线AB前方。

5.直角的投影

二直线垂直（相交垂直或交叉垂直），一般情况下，其投影不反映直角。

但如果这垂直二直线中有一直线为投影面平行线时，则该二直线在所平行的这个投影面上的投影反映直角。

证明如下（图3-31）：

已知水平线AB垂直于倾斜线AC（相交垂直）

求证ab⊥ac

证明∵AB∥H面（已知）

∴AB⊥Aa（由正投影形成可知）

又∵AB⊥AC（已知）

∴AB⊥AacC

又∵AB∥H面（已知）

∴ab∥AB

∴ab⊥AacC

故ab⊥ac

图3-31直角的投影

反之，如果相交二直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中一条直线又平行于该投影面，则该二直线在空间必相互垂直。

这同样适用于交叉垂直，见图3-31c所示。

〔例3-10〕如图3–32a所示，已知矩形ABCD之AB边（ab∥OX），并知其顶点D在已知直线EF上，试完成该矩形两面投影。

图3-32由已知条件，完成矩形的投影

分析：

矩形的几何特性是：

各邻边相互垂直，对边平行且相等。

由于AB与AD相邻，所以AB⊥AD。

又由于AB边是水平线，所以必有abad。

D在EF上，d必在ef上。

由d作d，然后利用矩形各对边平行即可完成作图。

作图：

（图3–32b）

1）作adab，交ef于d；

2）由d作出d，连接ad′。

3）分别过b、b′作ad、a′d′的平行线，过d、d′作ab、a′b′的平行线，二者的交点即为顶点C的两面投影。

4）顺序连接点A、B、C、D的同面投影，擦去多余作图线得所求。

〔例3-11〕求作图3–33a所示交叉二直线AB、CD的公垂线的投影。

图3-33求作交叉二直线的公垂线

分析：

如图3–33b所示，假设公垂线为MN，根据公垂线的含义有：

MN⊥AB、MN⊥CD。

由于ABH，所以，与AB垂直的直线都平行于H，因此该公垂线MN是一条水平线。

又因为MNCD，故有mncd。

点M在AB上，m与a（b）重合。

作图：

（图3–33c）

1）过点a（b）作mncd，交cd于n；

2）由n在cd上作出n；

3）由n作OX的平行线交a′b′于m′，mn、m′n′为所求。

三、平面的投影

1.平面的几何表示法

从几何学可知，不在同一条直线上的三点确定一平面。

这一基本情况可转化为：

一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意的平面图形。

平面的投影也可以用这些几何元素的投影来表示，如图3–34所示。

图3-34平面的几何表示法

一般，平面的投影只用来表达平面的空间位置，并不限制平面的空间范围。

因此没加特别说明时，平面都是可无限延伸的。

2.各类平面的投影特征

与直线相类似，平面相对于投影面的位置不同，平面的投影亦不同（图3-4）。

因此，我们根据平面在三投影面体系中的位置不同，将平面分为三类：

投影面平行面、投影面垂直面、投影面倾斜面。

并规定：

平面与H面的倾角，用α表示；与V面的倾角，用β表示；与W面的倾角，用γ表示。

下面讨论各类平面的位置特点及投影特征。

（1）投影面平行面

平行于某一个投影面，而与另外两个投影面垂直的平面称为投影面平行面。

根据所平行的投影面不同，投影面平行面又分为三种：

正平面、水平面、侧平面，各种投影面平行面的投影特征如表3–3所示。

表3-3　投影面平行面的投影特征

（2）投影面垂直面

垂直于某一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。

根据所垂直的投影面的不同，投影面垂直面又分为三种：

正垂面、铅垂面、侧垂面，各种投影面垂直面的投影特征如表3–4所示。

表3-4　投影面垂直面的投影特征

思考：

有一空间平面△ABC，它垂直于V面的同时又垂直于W面，该平面△ABC是投影面平行面还是投影面垂直面？

（3）投影面倾斜面

倾斜于三个投影面的平面叫做投影面倾斜面，如图3–35a所示。

图3-35投影面倾斜面

投影面倾斜面的投影特征：

三面投影都为缩小的类似形，其投影都不反映平面的α、β、γ角。

在后面学习中，我们常将投影面平行面、投影面垂直面统称为特殊位置面，而将投影面倾斜面称为一般位置面。

〔例3-12〕包含一般位置直线AB（图3-36a）作一正垂面△ABC，完成该正垂面的两面投影。

分析：

直线AB在正垂面上，正垂面正面投影具有积聚性，因此，该正垂面的V面投影与直线AB的V面投影a′b′重合，H面投影为正垂面△ABC的类似形。

作图：

1）在a′b′上任取一点为c′；

2）过c′作OX轴垂线并延长；

3）在该延长线上任取一点为c；

图3-36包含一般位置线作正垂面4）连接abc为所求。

思考：

（1）例3-12是否有无数解？

（2）能否包含图3-36中的直线AB作一正平面？

3.平面的迹线表示法

平面延伸后与投影面的交线称为平面的迹线，平面P延伸后与V、H、W面的交线分别用PV、PH、PW表示（图3-37a），用平面的三条迹线PV、PH、PW的投影来表示平面的空间位置，平面的这种表示法称为平面的迹线表示法。

迹线是平面与投影面的共有线，如迹线PV，它即位于V面上，同时也位于平面P上，因此它的V面投影与自身重合，H投影与OX轴重合，W面投影与OZ轴重合，为了简化平面的迹线表示，一般不画迹线与投影轴重合的投影（图3-37b）。

图3-37平面的迹线表示法

在例3-12中，虽然c′、c都是任意选定的，但该题是惟一解。

因为没加特别说明时，平面的投影只用来确定平面的空间位置，并不限定平面的范围。

在例3-12中取不同的c′、c，作出的投影只是表达了该平面的不同范围。

事实上对于正垂面而言，正面投影确定了，正垂面的空间位置就惟一确定了，因此在工程上特殊位置平面常用与积聚性投影重合的迹线投影来表示（图3-38）。

图3-3８特殊位置平面的迹线表示

4.平面内的直线和点

（1）平面内取直线

具备下列几何条件之一的直线必位于给定的平面内：

1）直线通过一平面内的两个点；

2）直线通过平面内的一个点，且平行于平面内的某条直线。

〔例3-13〕在相交二直线AB、AC确定的平面内（图3-39a），任取一直线，完成该直线的两面投影。

图3-39平面内取任意直线

方法一：

在直线AB上任取一点M（m，m′），在直线AC上任取一点N（n，n′），将M、N的同面投影相连m′n′、mn即得所求，见图3-39b所示。

方法二：

过c作直线cm，使cm∥ab；过c′作直线c′m′，使c′m′∥a′b′，cm、c′m′即为所求，见图3-39c所示。

〔例3-14〕在平面△ABC内（图3-40a），取一条z坐标等于16的水平线MN，完成该水平线MN的两面投影。

图3-40平面内取水平线

分析：

所求直线MN既位于平面△ABC内，又平行于H投影面（水平线），因此它的投影既应满足直线位于平面内的几何条件（通过平面内的两个点），又要满足投影面平行线（水平线）的投影特征，正面投影m′n′∥OX。

作图：

1）在OX轴上方，作一条与OX轴相距16且平行的直线（图3-40b），该直线分别与a′b′、b′c′交于m′、n′；

2）根据m′、n′，求出m、n，连接mn，m′n′即为所求（图3-40c）。

（2）平面内取点

点位于平面内的几何条件是：

若点在平面内的任一直线上，则点在此平面内。

因此在平面内取点应先在平面内取一直线，然后再在该直线上取符合要求的点。

〔例3-15〕已知点E位于平面△ABC内（图3-41a），求作点E的正面投影。

图3-41平面内取点

方法一：

连接ae并延长交bc于d；由d求d′；连接a′d′；由e求得e′（图3-41b）。

方法二：

过e作ac平行线，分别交ba、bc于f和g；由f、g求f′、g′；连接f′g′；由e求得e′（图3-41c）。

〔例3-16〕四边形ABCD剪去一个缺口IIIIII（图3-42a），完成该缺口四边形的水平投影和侧面投影。

分析：

完成缺口四边形投影的关键是求出点I、II、III的H、W投影。

由于点I、II、III位于四边形平面内，因此利用平面内取点即可求解此题。

图3-42利用平面内取点完成平面投影

作图：

1）由于点I、II为CD边上的点，所以可以由1′2′直接求出1、2和1、2（图3-42b）；

2）过3′作a′b′的平行线交a′d′于e′（图3-42c）；

3）由e′求出e，过e作ab的平行线，由3′求出3（图3-42c）；

4）再由3、3′求出3（图3-42c）；

5）分别连接13，23和13，23，并加粗该平面图形的轮廓线即完成所求（图3-42c）。