数量关系公式.docx
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数量关系公式
数量关系公式
数量关系常用公式总结：
（可可整理）
1.行程问题
基础公式：
路程=速度*时间
一、相遇追及型
追及问题：
追及距离=（大速度-小速度）×追及时间
相遇问题：
相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间
背离问题：
背离距离=（大速度+小速度）×背离时间
二、环形运动型
反向运动：
第N次相遇路程和为N个周长，
环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间
同向运动：
第N次相遇路程差为N个周长，
环形周长=（大速度-小速度）×相遇时间
三、流水行船型
顺流路程=（船速+水速）×顺流时间
逆流路程=（船速-水速）×逆流时间
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
四、扶梯上下型
扶梯总长=人走的阶数×[1±（V梯÷V人）]，顺行用加法，逆行用减法
解析:
设扶梯为s级，速度为v，根据公式带入
S=30×1×（1+v÷1）解得v=1
S=20×2×（1+v÷2）s=60，所以选择B。
五、队伍行进型
队头→队尾：
队伍长度=（人速+队伍速度）×时间
队尾→队头：
队伍长度=（人速-队伍速度）×时间
解析：
假设通讯员和队伍的速度分别为v和u，所求时间为t,则：
600=（v-u）×3解得v=250
600=v×（2+24÷60）u=50
600=（v+u）×tt=2,所以选择D
六、往返相遇型
左右点出发：
第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）
第N次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）
同一点出发：
第N次迎面相遇，路程和=全程×2N
第N次追上相遇，路程差=全程×2N
解析：
a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇，实际上是两辆车第3次迎面相遇，根据公式，路程和为5个全程，即5×210=1050（公里），使用的时间为1050÷（90+120）=5（小时），所以b汽车共行驶了120×5=600（公里），选择B
七、典型行程模型
等距离平均速度=（2速度1×速度2）÷（速度1+速度2）（调和平均数公式）（速度1和速度2分别代表往﹑返的速度）
解析：
代入公式v=2×60×120÷（60+120）=80
等发车前后过车：
发车间隔T=（2t1×t2）÷（t1+t2）;
V车/V人=（t2+t1）÷（t2-t1）
例：
某人沿电车线路匀速行走，每分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔相同，则这个发车间隔为多少？
解析：
依据公式，发车间隔T=（2t1×t2）÷（t1+t2）=2×12×4÷（12+4）=6（分钟）。
推导原型：
设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2
分钟就有辆公共汽车从后面超过该人，有方程组：
S=（V车+V人）×t1→V车=（S/t1+S/t2）÷2→
S=（V车-V人）×t2V人=（S/t1-S/t2）÷2
T=S/V车=2t1t2/（t1+t2）
N=V车/V人=（t2+t1）/（t2-t1）
（S表示发车间距，T为发车间隔时间，V车为车速，V人为人速，N为车速与人速的比）
不间歇多次相遇：
单岸型：
S=（3S1+S2）/2（S表示两岸的距离）
推导原型：
设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离A地S2，则V甲/V乙=S1/（S-S1）=（2S-S2）/（S+S2）→
S=（3S1+S2）/2（注：
单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距离）
解析：
假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了80、（S-80）,根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/（S-80）,第二次相遇时，甲、乙各走了（2S-60）、（S+60）,同理可得，V甲/V乙=（2S-60）/（S+60），综上80/（S-80）=（2S-60）/（S+60），解得S=150。
选择B
注：
直接代入单岸型公式S=（3×80+60）/2=150。
两岸型：
S=3S1-S2
推导原型：
设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离B地S2，则V甲/V乙=S1/（S-S1）=（S+S2）/（2S-S2）→
S=3S1-S2
解析：
假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了6、（S-6）,根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/（S-6）,第二次相遇时，甲、乙各走了（S+3）、（2S-3）,同理可得，V甲/V乙=（S+3）/（2S-3），综上6/（S-6）=（S+3）/（2S-3），解得S=15。
选择D
注：
直接代入两岸型公式S=3×6-3=15。
无动力顺水漂流：
漂流所需时间=2T逆T顺÷（T逆-T顺）（其中T逆T顺分别代表船逆流和顺流所需的时间）
解析：
根据公式：
漂流所需时间=2T逆T顺÷（T逆-T顺）=2×7×5÷（7-5）=35（天），选择B
2.排列组合问题
排列：
与顺序有关，用A
组合：
与顺序无关，用C
排列公式：
Anm=n﹗/（n-m）﹗=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）（简单记忆就是从n开始，连续乘以m个数）
组合公式：
Cnm=n﹗/（n-m）﹗m﹗=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）/m×（m-1）×（m-2）×（m-3）×…×1
一、相邻问题-捆绑法
6人排成一队，ab要排在一起：
A22*A55（先排ab，再捆在一起与剩下的4人一起排队）
二、不相邻-插空法
6人排队，ab不排在一起：
A44*A52（先排除了ab之外的4人，4人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）
三、围成一圈
6人围成一圈：
A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）
四、几对夫妻排队
4对夫妻排队：
A88（相当于8人排队）
五、夫妻要排一起
4对夫妻排队，并且夫妻要排在一起：
（A22*A22*A22*A22）*A44（先把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队）
六、夫妻坐在一起圆桌吃饭
4对夫妻坐在圆桌上吃饭，并且每队夫妻要坐在一起：
（（A22*A22*A22*A22）*A33）
七、错位排列型
N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种数为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2,D4=9,D5=44。
八、分配插板
○将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？
答：
C72。
（8个苹果排成一排，除两头外共有7个空档，选择2个空档插入）
○将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？
答：
C42。
（8个苹果先给每个小朋友分1个，剩下5个苹果排队，除去两头外共有4个空档，选择2个空档插入）
3.牛吃草问题
核心公式：
y=（N-x）*Ty代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的速度，T代表吃完草需要的时间
表格法解牛吃草问题
例：
一片草地（草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃多少天？
1905012N3N3-xT3
20060102000N1N1-xT1N1*T1
24010061440N2N2-xT2N2*T2
1404560x=右两项之商T1-T2N1*T1-N2*T2
y=（N3-x）*T3=（N1-x）*T1=（N2-x）*T2
注：
题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。
4.钟表问题
基本常识：
时针每分钟走0.5°，分钟每分钟走6°；
24h内，时针和分钟重合22次，垂直44次；
钟表上每两格之间为30°
钟表问题追及公式：
T=To+（1/11）To,其中T为追及时间，To为静态时间，及假设时针不动，分针和时针达到条件要求时的虚拟时间。
例：
时针和分针在7点多少分重合？
假设时针不动，分钟需要走35分钟才能与时针重合（7点时分钟和时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，T=35+35/11
5.余数同于问题
核心口诀：
余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。
（1）余同：
一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1。
（60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整倍数）
（2）和同：
一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，则取7，
表示为60n+7。
（3）差同：
一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，则取3，
表示为60n-3。
注：
n的取值范围为整数，可为负值，也可以取0。
6.容斥原理
两集合标准型核心公式：
满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
三集合标准型核心公式：
︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱A∩C︱-
︱B∩C︱+︱A∩B∩C︱
三集合整体重复型核心公式：
B
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3AC
其中满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素总量为W，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为y。
例：
一个班级共有55个学生，暑假参加特长培训班，35人参加书法，28人参加美术，31人参加舞蹈，其中以上三种培训班都参加的有6人，则有多少人只参加一种培训班？
22
解答：
W=55，z=6，A=35，B=28，C=31，代入公式
55=x+y+6解得x=22
35+28+31=x×1+y×2+6×3y=27
7.几何问题模块
周长计算公式：
正方形周长=4a；长方形周长=2（a+b）；圆周长=2πR；扇形周长=2πR×（n/360°）
面积计算公式：
正方形面积=a²；菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积=ab；圆面积=πR²；扇形面积=πR²×（n/360°）；三角形面积=1/2ah=1/2absinC；平行四边形=ah；梯形面积=1/2（a+b）h；正方体表面积=6a²；长方体表面积=2ab+2ac+2bc；
球表面积=4πR²=πD²
体积计算公式：
正方体体积=a²；长方体体积=ab；球体积=3/4πR²；棱柱体积=sh；圆柱体积=sh=πR²h；棱锥体积=1/3sh；圆锥体积=1/3sh=1/3πR²h
勾股定理：
a²+b²=c²
几何特性：
1等比放缩
一个几何图形，其尺寸变为原来的m倍，则：
1.所有对应角度不发生改变
2.所有对应长度变为原来的m倍
3.所有对应面积变为原来的m²倍
4.所有对应体积变为原来的m³倍
2几何最值
1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。
2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。
3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。
4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
3三角形三边关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
几何边端：
1植树型
1.单边线型植树公式：
棵数=总长÷间隔+1；
总长=（棵数-1）×间隔
2.单边环形植树公式：
棵数=总长÷间隔；
总长=棵数×间隔
3.单边楼间植树公式：
棵数=总长÷间隔-1；
总长=（棵数+1）×间隔
4.双边植树问题公式：
响应单边植树问题所需棵数的2倍
2方阵型（N为每边人数）
三角形方阵：
总人数=3N-3四边形方阵：
总人数=4N-4
五边形方阵：
总人数=5N-5六边形方阵：
总人数=6N-6
M排N列实心方阵：
总人数=M×N，外围人数=2M+2N-4
N排N列实心方阵：
总人数=N×N，外围人数=4N-4
规律总结：
1.无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：
外圈比内圈多8人。
2.在方阵中，总人数=N²=（外圈人数÷4+1）²
8.其他一些常用公式：
1.前n个奇数之和为n²；
2.等差数列公式：
和=（首项+末项）×项数÷2=平均数（中位数）×项数；项数=（末项-首项）÷公差+1
3.等比数列公式：
an=a1×qn-1；sn=a1×（qn-1/q-1）
4.三位数的页码公式：
页码=（数字+111）÷3-1=数字÷3+36（数字代表用了多少个数字，如115，用了2个1和1个5，共3个数字）
5.四位数页码公式：
页码=（数字+1111）÷4-1
6.如果所有的年不是闰年，那么N年之后星期几相当于N天之后星期几
7.空瓶换酒型，讲M个空瓶换N瓶酒转化为（M-N）个空瓶换N个（无瓶）酒
例：
超市规定每3个空汽水瓶可换一瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？
解析：
3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，
11÷2=5.5，所以最多可换5瓶汽水。
李委明老师懒人专供部分：
1.ABCAC-相对效率问题
例：
小王和小刘一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲部件和乙部件组成，小王每天可制作150个甲部件，或者制作75个乙部件，小刘每天可制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。
现两人一起制作工艺品，10天时间最多可制造多少件工艺品？
A．660B.675C.700D.900
解析：
先列表
甲
乙
小王
150C
75A
小刘
60B
24
将表中的数字十字相乘并比较大小即：
150×24
60×75=150×30，显然60×75＞150×24，将相乘最大的两个数，把大数设为A，小数设为B，A所在同一行（左边或右边）所在的数设为C，则得公式A（B+C）/（A+C），代入可得75×210÷225=70，再乘以天数10，得出700，即为答案。
2.九宫格
以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同，为w
a
b
c
d
e？
f
g
h
i
关于九宫格的结论：
①正中间那个数为和的1/3，即e=1/3×w
②d,e,f成等差数列，b,e,h,成等差数列，即2e=d+f=b+h,由此可知两对腰之和相等
3顶点处数字为远处两腰的平均数，即i=（d+b）/2
3.分数求最大公约数和最小公倍数
分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数
分数的最大公约数=分子的最大公约数/分母的最小公倍数
4．对角面切长方体，大边则大，小边则小。
（大小包括周长和面积）
蚂蚁走路，一点走到另一对点，切割长的棱则路线短，切割短的棱则长。
（这个较抽象，可取观看李委明老师的讲课视频理解）
5．容斥原理扩展
二多型：
参与两种的至多有多少
例：
一个班级有30（M）名学生，12（A）个人会跳拉丁舞，8（B）个人会跳肚皮舞，10（C）会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞蹈？
1．若ABC可以构成三角形，则答案为（A+B+C）/2
2．若ABC无法构成三角形，B+C3．若（A+B+C）>2M,则答案为3M-（A+B+C）
三少型：
参加三种的至少有多少
例：
一小偷藏匿于某商场，三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的100家商铺。
已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？
公式：
（A+B+C）-2M
同理四少型：
（A+B+C+D）-3M
（以上公式，有不足及错误之处，敬请大家指出，谢谢）
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