［巩固2］命题"若x2+y2=0,则X、y全为0”的逆否命题是.
［例3］已知命题“若“20,则x2+x-a=0有实根”.写岀命题的逆否命题并判断苴真假.
［巩固］写岀命题的“若P，则形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假.
命题：
两直线平行.同位角相等.
知识模块2四种命题的关系
1.四种命题之间的关系
2.四种命题的真假关系
<1）原命题为真，它的逆命题不一泄为真:
如：
原命题“若“=0,贝也=0”是真命题，它的逆命题“若"=0,贝IJa=OMM假命题.
（2）原命题为真，它的否命题不一泄为真：
如：
原命题“若“=0,则"=0"是真命题，它的否命题“若心0,则“20"是假命题.
<3）原命题为真，它的逆否命题一左为真：
如：
原命题“若“=0,贝M=0“是真命题,它的逆否命题“若ab≠0,贝U"Hθ"是真命题.
（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假
综上所述：
在一个命题的四种命题中，頁•命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个.
3.否命题及命题的否定
否命题是对原命题既否泄其条件，又否泄其结论；即“若一p，则
命题的否定是只否立命题中的结论.即“若p,则
4.常见的一些词语和它的否定词语对照表
原词语
等于（=）
大于（>）
小于（<）
是
都是
至多有一个
否定词
不等于（H）
不大于（W）
不小于（M）
不是
不都是
至少有两个
原词语
至多有”个
至少有一个
任意的
能
"或g
否定词语
至少舁+1个
一个也没有
某个
不能
予且r/
精典例题透析
［例1］若命题P的逆命题是0命题〃的逆否命题是儿则g与,•的关系是・（互为逆命题，互为否命题,
互为逆否命题）
［巩固］已知命题“若P，则4”是真命题，对下列命题中一泄是真命题的是（）
A.若g,则0B.∕∣'—p‘则一qC.若一q,则一PD.若一?
»则q
［例2］若原命题为真命题，则下列命题一上为假命题的是（）
A.原命题的逆命题B.原命题的否命题C.原命题的逆否命题D.原命题的否泄
［巩固］命题'‘若卩=0,则x2+y2=O"与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
［例3］命题：
"能被4整除的数一建是偶数”，其等价命题是•
［巩固1］与命题“若P则彳”的否命题必定同真假的命题为•
［巩固2］命题"关于X的方程ax=b（a≠0）^解是唯一的”的结论的否泄是（）
A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解
知识模块3充分条件和必要条件
.——■
一般地，命题“若〃则为真，记作gq”;“若"则为假，记作“p令q”.
1、充分条件和必要条件
一般地，如果P*那么称P是g的充分条件,同时称4是P的必要条件；例：
设"：
x>0,y>0,q：
A∙+y>O,则"是Q的充分条件，q是P的必要条件.从集合观点看，若AUB,则A是B的充分条件，B是A的必要条件.
2、其他四种条件
1如果paq,且qap,那么称P是g的充分必要条件，简称P是g的充要条件，记作POq；
2如果p=q,且q令p,那么称"是q的充分不必要条件：
3如果P令q,且那么称"是“的必要不充分条件；
4如果P令q,且q*那么称"是q的既不充分又不必要条件.
精典例题透析
一一一⅜TΠWJ
（-2,2）
［巩固］已知卩：
-4<χj"<4,q：
（x-2）（3-Λ∙）>0t若一/7是F的充分条件，则实数"的取值范用是
[-1.6]
［例2］设"：
x≤2,q：
xs+2,若P是g的必要条件，则实数"的取值范围是.
（-8,0］
［巩固］已知a：
"-2≤xW5",0：
F+lWxW2叶1”，若α是0必要条件，则实数加的取值范围是—
［2,3］
［例3］函数fix）=x2+mx+i的图象关于直线斗1对称的充要条件是m=-2.
［巩固］在平面直角坐标系中，直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-∖）y=a-7平行的充要条件是“=3.
［例4］已知命题“：
x>0,y>0,q：
xy>0,则命题是命题g的_充分不必要条件.
［巩固1］x≠-2或y≠2是xy≠-4的必要不充分条件.
［巩固2］a=-9f是iitana=∖9f的—充分不必要条件.
4
［巩固3］若函数f{x}=2λ-伙2-3）∙2-x,则k=2是函数./W为奇函数的—充分不必要条件.
［例5］已知p：
4x+∕m<0,x2-x-2>0,若卩是q的一个充分不必要条件，则实数皿的取值范用是
［4,+8）
［巩固1］已知卩：
-20£10,牛*2*+1肿《伽>0）,若P是q的必要不充分条件，则实数加的取值范囤是—
（0,3］
［巩固2］已知0-lW4Λ-3Wly:
*（加+g+Mxl）切,若〒是r7的必要不充分条件,则实数“的取值范围是.
［巩固3］已知p：
X∈{^x2-x-2≥θ},t7:
%∈{a-∣x<是q的充分不必要条件,则实数"的取值范围是.
［2，+8）
知识模块4经典题型
题型一:
—四种命题及真假判断
［例］
（1）给泄下列四个命题：
1若一个平面内的两条宜线与另一个平面都平行，那么这两个平而相互平行：
2若一个平而经过另一个平面的垂线，那么这两个平而相互垂直；
3垂直于同一直线的两条直线相互平行：
4若两个平面垂直，那么一个平而内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是•
（2）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是•
解析②④
（1）只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题;②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题.
（2）将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为"若一个数的平方是正数，则它是负数”•［巩固1］
（1）命题“若α=歩则COSa=P的逆命题是.
（2）命题“若a∙,y都是偶数，贝IJx+y也是偶数”的逆否命题是.
解析
（1）命題“若a=务则COSa=*”的逆命题是“若CoSa=则a=『.
（2）故原命题的逆否命題为“若x+y不是偶数，则X,y不都是偶数”
［巩固2］判断下列命题的真假，并说明理由.
（1）形如t∕+√6∕7的数是无理数：
（2）一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列：
（3）奇函数的图象关于原点对称：
（4）能被2整除的数一沱能被4整除.
解析：
（1）假命题.示例：
若"是有理数且/9=0,则6∕+√6∕7是有理数・
（2）假命题•若数列{血}为等比数列，且aι=-∖9q=2,則该数列为递减数列.
（3）真命题.根据奇函数的性质可知，奇函数的图象一定关于原点对称.
（4）假命题.反例：
如2、6能被2整除，但不能被4整除・
题型二：
写出已知命题的逆命题、否命题与逆否命题
［例］写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.
（1）如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平而：
（2）当a=3时，λ2-2x-3=0.
解析：
（1）逆命题：
如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线：
否命题：
如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面：
逆否命题：
如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线.
（2）原命题：
若x=3,则λ-2-2x-3=0.
逆命题：
若x2-2v-3=0f则λ=3:
否命題：
若λ≠3,则x2-2v-3≠0:
逆否命题：
如果x2-2x-3≠0,那么x≠3.
［巩固］下列四个命题：
①“若与=0,则X=O且尸0“的逆否命题：
②“正方形是菱形“的否命题；③“若必2>力，则Qb“
的逆命题：
④若％>2,则λ∙2-2x+m>0,x∈IΓ∙其中真命题的个数为」个
题型三：
命题的否定与否命题
［例］写出下列各命题的否左及英否命题，并判断它们的真假.
（1）若X、y都是奇数，则x+y是偶数；
（2）若Xy=0,则X=O或y=0：
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.
解析：
（1）命题的否定：
若心y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题・原命題的否命題:
若x、y不都是奇数，則x+y不是偶数，是假命題.
（2）命题的否定：
若Xy=0,則x≠0且y≠0,为假命题.
原命題的否命題：
若q≠0,則x≠0且y≠09是真命題.
（3）命题的否定：
若一个数是质数，則这个数不是奇数，是假命题.原命題的否命題：
若一个数不是质数，則这个数不是奇数，为假命题.
［巩固］命题“若“=一1,则“2=1“的逆否命题是.
答案：
若t∕2≠l»则α≠-1题型四：
充要条件的判断
［例］
（1）（2014•福建）直线/：
y=∕tv÷1与圆O：
a2+^=1相交于A,B两点,则“£=1”是"AOAB的面积为F
条件.
条件.
（2）如果川y是实数，那么"x≠y"是“cosxHcos*的.
解析
（1）将直线/的方程化为一般式得^-V+1=0,所以圆O：
Λ2÷y2=1的圆心到该直线的距离〃=玄吕・又弦长为2λ∕1-⅛2+I=√^Ti,所以SSB=*•玄吕醴Jη=C1=£解得R=±l∙因此可知S=1”是（（AOAB的面积为扌”的充分而不必要条件，
（2）设集合A={（x9y）bc≠y}.B={（x.y）lcosx≠cosy}>则A的补集C={（x9y）∣x=y},B的补集D={（x.y）lcosX
=COSy},显然（7D,所以BA.于是“x≠√'是“cosxHcosy”的必要不充分条件.
［巩固］
（1）（2014-湖北）设〃为全集,A,B是集合，则“存在集合C使得A^C.B^［uC"是“AQB=夕的
条件.
（2）（2013∙北京）"0=π”是“曲线y=sin（2A∙+0）过坐标原点”的条件.
解析
（1）若存在集合C使得A⊂GBUhC,则可以推出ACB=0；
若ACB=0,由VCIm图（如图）可知，存在A=G同时满足A⊂CfBGSC
UCor
故“存在集合C使得A⊂GB^［uC9是的充要条件・
（2）当φ=π时，y=sin（2τ+0）=-sin2x过原点.当曲线过原点时，φ=kπ.k∈Z,不一定有φ=π.所以aφ=π'是“曲线y=sin（2x+^）过原点”的充分不必要条件.
题型五：
根据充要条件求解参数的取值范围
lθ2∙>x,x>0»
［例］函数/U）=F有且只有一个零点的充分不必要条件是・
~2x+a,λW0
a<0
解析
（1）因为函数y（x）过点（1,0）,所以函数./U）有且只有一个零点O函数y=—2*+"（xW0）没有零点O函数y=2x（λ≤0）与直线y="无公共点.由数形结合，可得"WO或“>1.
观察选项，{<∕k∕<0}
［巩固］
（1）条件“：
-2（x+2）（x+"）<0:
若g是”的必要而不充分条件，则"的取值范用是（）
（—8,—4）
（2）设“：
Lv-IKLq：
X（X—α）V0,若P是g的充分不必要条件，试求实数"的取值范用.
（2,+∞）
夯实基础训练
解析C项命題的逆命题为“若方程a-2+a-zh=O有实根，则川>0”.若方程有实根，则J=1+4λh^0,即加鼻一占不能推出加>0.所以不是真命题，故选C.
4.已知集合A={l,2},B={l,Ufb}f则tta=2n是“AUB”的条件.
解析当a=2时，因为B={l,2,们，所以AUB；反之，若AQB.则必有2∈B,所以a=2或〃=2,故"“=2"是UA^B”的充分不必要条件.选A.
5.命题"若F>y2,则_x>y”的逆否命题是.
解析根据原命题和逆否命題的条件和结论的关系得命题“若W>y2,则Λ>y”的逆否命題是“若x≤y,则λ2≤v2w.
6.已知向⅛fl=（∕√,一9）,b=（∖,一1）,则“川=一3”是“a∕∕b”的条件.
解析当m=-3时,α=（9,—9）,b=（l,—1）,则a=9b,所以a∕∕b,即itm=-3,t=≠ita∕∕b"；
当a∕∕b时，加2=9,得m=+3,故“加=一3"是tta∕∕bv的充分不必要条件.
7.给岀命题：
若函数y=f（x）是幕函数，则函数y=y（A∙）的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个
命题中，真命题的个数是.
解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命題；
它的逆命题为"若函数y=Λ-r）的图象不过第四象限，则函数y=Λχ）是探函数”，
显然逆命題为假命題，故原命题的否命題也为假命题.
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
8.函数Λv）=a-2+∕πx+1的图象关于直线x=l对称的充要条件是.
In=—2=
9.“若“Wb,则ac^bc^,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是.
答案2
解析其中原命题和逆否命题为真命題，逆命题和否命题为假命题.
10.“〃心”是“一元二次方程λ2+x+;M=0有实数解”的条件.
答案充分不必要
解析x2÷x+w=0⅛实数解等价于J=I-4∕m^0,
即∕n≤∣,因为"i<+=υ”詁，反之不成立.
故“加冷”是“一元二次方程√+x+w=O有实数解”的充分不必要条件.
11.若Xs-I或Q”+1是A-2—2x—3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是•
答案[0,2]
解析由已知易得{x∖x2-2x-3>0}{λ1y<∕h-1或a>w÷1},
又{xix2-2χ-3>0}={.rlx<-1或λ>3},
12.有下列几个命题：
1“若“"，则a2>b2t,的否命题：
2“若x+y=O,则X,y互为相反数”的逆命题:
3“若x2<4,则一2其中真命题的序号是・答案②③
解析①原命题的否命题为“若"Wb,则Xb2”错误•
2原命题的逆命题为：
“X,y互为相反数，则x+y=0”正确.
3原命题的逆否命题为“若或XW—2,则x2≥4"正确.
能力提升训练
13.若集合A={λI2解析当"=1时，B={x∖-2反之，若AnB=^只需t∕≤2即可，故“"=L是"A∩B=0"的充分不必要条件•
14•设Gb为正数，则aa-b>Γ是iia2-b2>∖"的条件.
解析Va—b>∖t即a>b-∖~1.
又J",b为正数，
.∖a2>（b+1）2=⅛2÷1+2ft>⅛2÷1♦即a2-h2>∖成立，反之，当α=√3,b=l时，满足cr~b1>∖,但a—b>l不成立.所以“"一b>l”是““2_沪>1”充分不必要条件.
15.给世两个命题卩、q,若「"是g的必要不充分条件，则”是「彳的条件.
答案充分不必要条件
解析若綁。
是4的必要不充分条件，则q*P但綁Qq,其逆否命题为P与綁q但繍g岁丹所以“是繍"的充分不必要条件.
16.已知“命题p：
（χ-m）2>3（λ-Zn）”是“命题彳：
x2+3χ-4<0”成立的必要不充分条件，则实数加的取值范囤
为.
答案（一8,~7]U[1,+8）
解析将两个命题化简得，命题"：
.x>∕n+3或x—4l,故加的取值范围是（一8,-7]U[1,+8）.
17.已知集合A=[v∣∣<2l<8,λ-∈R∣,B=W—lvis+l,λ∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实
数m的取值范围是.
答案（2,+8）
解析A=∖xl^<2v<8,x∈R={λ∣-1*∙,λ∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
AABt.°∙m+1>3,即m>2.
18.下列四个结论中：
1“2=0”是“加=0”的充分不必要条件：
2在AABC中，"A^+AC2=BC2"是"ZXABC为直角三角形”的充要条件：
3若"，∕7∈R,则“（"+/"HO”是““，b全不为零”的充要条件：
4若“，"∈R,则“以+沪工0”是“（J,b不全为零”的充要条件.
正确的是.
答案①④
解析由人=0可以推出∕Λ=0,但是由加=O不一定推出2=0成立，所以①正确.
由AB^AC2=BC2可以推出AABC是直角三角形，但是由∆ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确.
由a2+h2≠O可以推出“，b不全为篆，
反之，由“，b不全为零可以推出0+b2HO,
所以③不正确，④正确.
1.下列命题中为真命题的是（）
A.命题“若x>y,则QIyI”的逆命题
B.命题"若x>l,贝IJW>1”的否命题
C.命题"若x=l,则a123+x—2=0”的否命题
D.命题“若F>o,则Q1”的逆否命题
答案A
2.“如果x、y∈R.且x2+y2=O,则x、y全为0”的否命题是.
答案若八y∈R且W+FHO,则x、y不全为O
3.下列结论错误的是（）
A.命题“若以一3χ-4=0,贝IIX=4”的逆否命题为“若x≠4,则X2—3χ-4H0”
B."x=4”是''x2-3x-4=0"的充分条件
C.命题“若M>0,则方程F+x—加=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若∕√÷√=0,则加=O且∕ι=0"的否命题是“若m2+n2≠0f则丹Ho或n≠Qn
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