泊松过程-poissonPPT文件格式下载.ppt

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（3）若st，N（s）N（t）;

（4）当st时，N（t）N（s）等于区间（s,t中“事件A”发生的次数。

泊松过程,定义称计数过程X（t）,t0为具有参数的泊松过程，若它满足下列条件：

（1）X（0）=0;

（2）X（t）是独立增量过程;

（3）（平稳性）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数t的泊松分布，即对任意s,t，有,泊松过程的几个例子,考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。

令X（t）表示电话交换台在0,t时间内收到的呼叫次数，则X（t）,t0是一个泊松过程。

考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。

若记X（t）为时间0,t内到达售票窗口的旅客数，则X（t）,t0是一个泊松过程。

X（t）为某网站在时间0,t内的被访问次数。

参数为n和s/t的二项分布,例设在0,t内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求在0,s内事件A发生k次的概率。

泊松过程的另一个定义,定义称计数过程X（t）,t0为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：

（2）X（t）是独立、平稳增量过程;

（3）X（t）满足下列两式：

6.2泊松过程的基本性质,泊松分布:

（1）泊松过程的数字特征,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,

（2）时间间隔与等待时间,设X（t）,t0是泊松过程，令X（t）表示（0,t时间内事件A发生的次数，,Wn第n次事件A发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间Tn从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔,时间间隔Tn,定理设X（t）,t0是具有参数的泊松过程，Tn,n1是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn（n=1,2,）是独立同分布的参数为的指数分布。

等待时间（到达时间）Wn,定理设X（t）,t0是具有参数的泊松过程，Wn,n1是对应的等待时间序列，则随机变量Wn服从参数为n与的分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为,例1已知仪器在0,t内发生振动的次数X（t）是具有参数的泊松过程。

若仪器振动k（k1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。

解,故仪器在时刻t0正常工作的概率为:

仪器发生第k振动的时刻Wk就是故障时刻T，则T的概率分布为分布:

（3）到达时间的条件分布,假设在0,t内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布,分布函数：

分布密度：

均匀分布,到达时间的条件分布,定理设X（t）,t0是泊松过程，已知在0,t内事件A发生n次，则这n次到达时间W1W2Wn可看成n个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量,例3设在0,t内事件A已经发生n次，求第k次（kn）事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。

Beta分布,例4设X1（t）,t0和X2（t）,t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。

记Wk

（1）为过程X1（t）的第k次事件到达时间，W1

（2）为过程X2（t）的第1次事件到达时间，求PWk

（1）W1

（2），即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生的概率。

6.5非齐次泊松过程,定义称计数过程X（t）,t0为具有跳跃强度函数（t）的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：

（3）,非齐次泊松过程的分布,定理设X（t）,t0为具有跳跃强度函数为的非齐次泊松过程，则有,令则X（t）服从参数为的poisson分布,例6,设X（t）,t0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。

求EX（t）和DX（t）。

例7设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。

乘客流量如下：

5时平均乘客为200人/时；

5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；

8时至18时保持平均到达率不变；

18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。

假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。

求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。

6.6复合泊松过程,定义设N（t）,t0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N（t）,t0独立，令则称X（t）,t0为复合泊松过程。

复合泊松过程的性质,定理设是复合泊松过程，则

（1）X（t）,t0是独立增量过程;

（2）若，则,例8考虑电子管中的电子发射问题。

设t时间内到达阳极的电子数目N（t）服从泊松分布，每个电子携带的能量构成一个随机变量序列X1,X2,Xk,。

已知Xk与N统计独立，Xk之间互不相关且具有相同的均值和方差，则t时间内阳极接收到的能量为求S（t）的均值和方差。

泊松脉冲列,定义称泊松过程X（t）,t0的导数过程为泊松脉冲列，记为Z（t）,t0，即,泊松脉冲列的数字特征,均值函数,泊松脉冲列是平稳随机序列。

相关函数,功率谱密度,6.4散粒噪声,定义当线性系统h（t）输入一泊松脉冲列Z（t）时，其输出过程即为散粒噪声，记为S（t），即,散粒噪声的数字特征,均值函数,散粒噪声也是平稳随机过程,相关函数,功率谱密度,泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性,例5泊松脉冲列输入一线性系统h（t）=etu（t），求其输出散粒噪声的均值和方差。

解,线性系统的传递函数为,散粒噪声的功率谱密度为,相关函数为,均值和方差分别为,32,以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！