湖北八校届高三数学联考试题文科含答案.docx

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湖北八校届高三数学联考试题文科含答案

湖北八校2018届高三数学12月联考试题（文科含答案）

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中

荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中

2018届高三第一次联考

数学试题（文）

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）

A．B．C．D．

2．已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（）

A．B．C．D．

3．已知，则值为（）

A．B．C．D．

4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）

A．B．C．D．

5．下列说法正确的个数是（）

①“若，则中至少有一个不小于”的逆命题是真命题

②命题“设，若，则或”是一个真命题

③“”的否定是“”

④是的一个必要不充分条件

A．B．C．D．

6．如图，已知椭圆的中心为原点,为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（）

A．B．

C．D．

7．已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（）

A．B．C．D．

8．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（）

A．B．

C．D．

9．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（）

A．B．

C．D．

10．已知为圆周率，为自然对数的底数，则（）

A．B．

C．D．

11．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（）

A．B．C．D．

12．已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（）

A．B．C．D．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量,的夹角为，且,，若，则_____．

14．已知满足约束条件，且的最小值为，则常数_______．

15．已知函数，若，，则函数的值域为_________．

16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：

“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：

如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

在中，角,,的对边分别为,,．

（1）若，且为锐角三角形，,，求的值；

（2）若,，求的取值范围．

18．（12分）

如图，直三棱柱中，,，,

分别为和上的点，且．

（1）当为中点时，求证：

；

（2）当在上运动时，求三棱锥体积的最小值．

19．（12分）

为研究患肺癌与是否吸烟有关，做了一次相关调查，其中部分数据丢失，

但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总

人数的；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为．

（1）若吸烟不患肺癌的有人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；

（2）若研究得到在犯错误概率不超过的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少有多少？

附：

，其中．

20．（12分）

已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．

（1）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；

（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：

是否存在实数，使得的长为定值？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数（）．

（1）若函数是单调函数，求的取值范围；

（2）求证：

当时，都有．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：

坐标系与参数方程选讲]（10分）

已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）A,B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求的值．

23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）若,，解不等式；

（2）若的最小值为，求的最小值．

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中

荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中

2018届高三第一次联考

文科数学参考答案

1．答案：

C

解析：

∵，又，∴集合的个数为个，故选C．

2．答案：

D

解析：

∵，∴

解得，故选D．

3．答案：

D

解析：

∵，∴，，，

故选D．

4．答案：

B

解析：

设军旗的面积为，则有，解得，故选B．

5．答案：

C

解析：

对于①，原命题的逆命题为：

若中至少有一个不小于，则，而满足中至少有一个不小于，但此时，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设，若且，则”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“”的否定是“”，故③是假命题；对于④，由可推得，故④是真命题，故选C．

6．答案：

C

解析：

由题意可得，设右焦点为，由知，，，∴，∴，即．在△中，由勾股定理，得，

由椭圆定义，得，从而，得，

于是，所以椭圆的方程为，故选C．

7．答案：

D

解析：

∵，∴，故，又，∴，

∴，，，故选D．

8．答案：

A

解析：

由三视图知：

该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为：

，故选A．

9．答案：

B

解析：

∵输入的，，故，，满足进行循环的条件；

，，满足进行循环的条件；，，满足进行循环的条件；

，，不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选B

10．答案：

B

解析：

函数是上的增函数，A错；

，B对；

，而函数是上的减函数，C错；

，而函数是上的增函数，D错，

故选B．

11．答案：

A

解析：

定义域为，

①当时，，，

令，解得，

由，得，由，得，

∴当时，．

又是偶函数，∴图象关于轴对称，，

∵只有个公共点，∴最大值为1．

则最长周期为，即，即，

则，∴，

解得，故周期最大的，故选A．

12．答案：

B

解析：

由（），可得此数列为：

，

的整数项为,∴数列的各项依次为：

，末位数字分别是，

∵，故的末位数字为2，故选B．

13．答案：

解析：

∵，

∴，解得．

14．答案：

解析：

联立方程解得两直线的交点为，

由得直线方程，结合图象可知当直线过点时，最小，，

解得．

15．答案：

解析：

由题意可得，解得，

∴当时，，

当时，，则函数的值域为．

16．答案：

解析：

由题意可得双曲线的方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线第一象限的交点的坐标为，记与轴交于点，因为，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为．

17．解：

（1）∵，∴，又∵为锐角，，而，即，解得（舍负），∴．.5分

（2）方法一：

（正弦定理）

由正弦定理可得，

∵，∴，∴，∴．10分

方法二：

（余弦定理）

由余弦定理可得，即，

∴，又由两边之和大于第三边可得，∴．.10分

18．解：

（1）证明：

∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，

∴平行四边形为正方形，∴，

∵，为的中点，∴，

∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面，又平面，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴．.6分

（2）设，则

由已知可得到平面的距离即为的边所对的高，

∴

∴当，即为的中点时，有最小值18．.12分

19．解：

（1）设吸烟人数为，依题意有，所以吸烟的人有人，故有吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人．用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，，，．不吸烟患肺癌的人，记为．从人中随机抽取人，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，∴，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为．.6分

（2）方法一：

设吸烟人数为，由题意可得列联表如下：

患肺癌不患肺癌合计

吸烟

不吸烟

总计

由表得，，由题意，∴，

∵为整数，∴的最小值为．则，即吸烟人数至少为人．

方法二：

设吸烟人数为，由题意可得列联表如下：

患肺癌不患肺癌合计

吸烟

不吸烟

总计

由表得，，由题意，∴，∵为整数且为的倍数，∴的最小值为即吸烟人数至少为人．.12分

20．解析：

（1）∵点，∴，解得，

故抛物线的方程为：

，当时，，

∴的方程为，联立可得，，

又∵，，∴．.5分

（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，

设，则，，①

由得：

，

整理得，②

将①代入②解得，∴直线，

∵圆心到直线的距离，∴，

显然当时，，的长为定值．.12分

21．解：

（1）函数的定义域为，∵，∴，

∵函数是单调函数，∴或在上恒成立，

①∵，∴，即，，

令，则，当时，；当时，．

则在上递减，上递增，∴，∴；

②∵，∴，即，，

由①得在上递减，上递增，又，时，∴；

综上①②可知，或；.6分

（2）由

（1）可知，当时，在上递减，∵，

∴，即，∴，

要证，只需证，即证，

令，，则证，令，则，

∴在上递减，又，∴，即，得证．.12分

22．解：

（1）由得，

将，代入得到曲线C的普通方程是．.5分

（2）因为，所以，

由OA⊥OB，设，则B点的坐标可设为，

所以．.10分

23．解：

（1），左式可看作数轴上，点到－2和1两点的距离之和，

当或2时，距离之和恰为5，故；解集为．.5分

（2），∴，

由柯西不等式得，∴，

当且仅当时等号成立，∴的最小值为3．.10分