当a＝0或a＝1时，·＝2.
∴·的取值范围是.故选C.
4．在△ABC中，·＝8，，的夹角为150°.若M为△ABC内的动点，且△MAB，△MBC，△MCA的面积分别为2，m，n，则＋的最小值是（ ）
A．20B．18
C．16D．8
解析：
选D 设△ABC的内角B，C所对的边分别为b，c，因为·＝8，，的夹角为150°，所以8＝bc·cos30°，解得bc＝16，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝×16×sin30°＝4.依题意得2＋m＋n＝4，解得m＋n＝2.因为＋＝×＝5＋≥5＋×2＝8，所以＋的最小值是8.故选D.
[必备知能·自主补缺]依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
（1）a∥b⇔a＝λb（b≠0）⇔x1y2－x2y1＝0.
（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
2．平面向量的性质
（1）若a＝（x，y），则|a|＝＝.
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则||＝.
（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.
（4）|a·b|≤|a|·|b|.
[二级结论要用好]
1．三点共线的判定
（1）A，B，C三点共线⇔，共线．
（2）向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
[针对练1] 在▱ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n（m，n∈R），则＝________.
解析：
如图，∵＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋（2n＋1），∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2.
答案：
－2
2．中点坐标和三角形的重心坐标
（1）设P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段P1P2的中点P的坐标为.
（2）三角形的重心坐标公式：
设△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心坐标是G.
3．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
（1）O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
（2）O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
（3）O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
（4）O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
[易错易混要明了]
1．要特别注意零向量带来的问题：
0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0（λ∈R），而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．
2．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立；（a·b）·c与a·（b·c）不一定相等，（a·b）·c与c平行，而a·（b·c）与a平行．
3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角（钝角）与向量的数量积大于（小于）0不等价．
[针对练2] 已知向量a＝（－2，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________________．
解析：
依题意，当a与b的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a＝－b，a与b反向共线，此时a与b的夹角为π，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围是∪（2，＋∞）．
答案：
∪（2，＋∞）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．（2018·贵州模拟）已知向量a＝（1,2），b＝（m，－1），若a∥b，则实数m的值为（ ）
A. B．－
C．3D．－3
解析：
选B 由题意，得1×（－1）－2m＝0，解得m＝－，故选B.
2．（2018·福州模拟）已知a＝（1,2），b＝（－1,1），c＝2a－b，则|c|＝（ ）
A.B．3
C.D.
解析：
选B 因为c＝2a－b＝2（1,2）－（－1,1）＝（3,3），
所以|c|＝＝3.故选B.
3．（2019届高三·广西五校联考）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（ ）
A．＝－B．＝－
C．＝－D．＝－
解析：
选A ＝＋＝－＝－－＝－.
4．（2018·云南调研）在▱ABCD中，＝8，＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝（ ）
A．48B．36
C．24D．12
解析：
选C ·＝（＋）·（＋）＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
5．已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1），D（3,4），则向量在方向上的投影是（ ）
A.B．－
C．3D．－3
解析：
选C 依题意得，＝（2,1），＝（5,5），·＝（2,1）·（5,5）＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.
6．（2019届高三·湖南五市十校联考）△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：
选C ＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.
7．（2018·西工大附中四模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G在△ABC内，且满足＋＋＝0，·＝0，若a2＋b2＝λc2（λ∈R），则λ＝（ ）
A．－5B．－2
C．2D．5
解析：
选D 设BC的中点为D，连接GD（图略），则＋＝2.
又＋＋＝0，所以2＝，
所以A，G，D三点共线，且AG＝2GD.
故＝＝×（＋）＝（＋）．
同理可得BG―→＝（＋）．
由·＝0，得（＋）·（＋）＝0，
所以（＋）·（－2）＝0，
即||2－2||2－·＝0，
所以b2－2c2－bc·＝0，
化简得a2＋b2＝5c2.
又a2＋b2＝λc2（λ∈R），所以λ＝5.故选D.
8．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ），λ∈R，若·＝－，则λ＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（2,0），C（1，），∴＝（2,0），＝（1，），又＝λ，＝（1－λ），∴P（2λ，0），Q（1－λ，（1－λ）），∴·＝（－1－λ，（1－λ））·（2λ－1，－）＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.
9．（2018·西安八十三中二模）称d（a，b）＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：
①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d（a，tb）≥d（a，b），则（ ）
A．a⊥bB．a⊥（a－b）
C．b⊥（a－b）D．（a＋b）⊥（a－b）
解析：
选C 由d（a，tb）≥d（a，b），可知|a－tb|≥|a－b|，所以（a－tb）2≥（a－b）2，又|b|＝1，所以t2－2（a·b）t＋2（a·b）－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4（a·b）2－4[2（a·b）－1]≤0，即（a·b－1）2≤0，所以a·b＝1.于是b·（a－b）＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥（a－b）．故选C.
10．（2018·河南林州检测）已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：
＝m＋n,4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝（ ）
A．36B．24
C．24D．12
解析：
选A ·＝m2＋n·，因为O为△ABC的外心，所以2＝m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，因为4m＋3n＝2，所以24＝12（2－3n）＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||·||cos∠BCA＝4×6×＝36.
11．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2（k>0），若以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，则k的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而将e3＝e1＋ke2两边平方得1＝＋k2，解得k＝或k＝－（舍去）．
12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋n（m>0，n>0），m＋n＝2，则∠AOB的最小值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，
cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－（当且仅当m＝n＝1时等号成立），
∵0<∠AOB<π，∴∠AOB的最小值为.
二、填空题
13．（2018·汕头模拟）已知向量a＝（2,1），b＝（3，m）．若（a＋2b）∥（3b－a），则实数m的值是________．
解析：
a＋2b＝（2,1）＋（6,2m）＝（8,1＋2m），3b－a＝（9,3m）－（2,1）＝（7,3m－1），由（a＋2b）∥（3b－a），得8（3m－1）－7（1＋2m）＝0，解得m＝.
答案：
14．（2018·长春模拟）已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
解析：
由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
答案：
2
15．（2018·河北衡水中学三调）如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为________．
解析：
法一：
如图所示，作平行四边形OB1CA1，则＝1＋1，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△B1OC中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
法二：
以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（1,0），B，C（3，）．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6.
答案：
6
16．（2018·渭南一模）在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝30°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
解析：
因为四边形ABCD是平行四边形，E为CD的中点，所以＝＋，＝＋CE―→＝－，所以·＝（＋）·＝2－2＋·＝1，
又2＝1，·＝1×||×cos30°＝||，
所以1－2＋||＝1，
解得||＝或||＝0（舍去）．
答案：
B级——难度小题强化练
1．（2018·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A.－B.－
C.＋D.＋
解析：
选A 法一：
作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×（＋）＋（－）＝－.故选A.
法二：
不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0,0），B（1,0），C（0,1），D，E.故＝（1,0），＝（0,1），＝（1,0）－＝，即＝－.
2．已知点P是△ABC内一点，且＋＝6，则＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 设点D为AC的中点，在△ABC中，＋＝2，即2＝6，所以＝3，即P为BD的三等分点，所以＝，又＝，所以＝.
3．（2018·嘉兴一模）设平面向量＝（2,0），＝（0,1），点P满足＝＋，其中m>0，n>0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 设P（x，y），因为＝（2,0），＝（0,1），＝＋＝，所以x＝，y＝（其中m，n>0），所以x2＋y2＝2（其中x，y>0），则点P的轨迹的长度为×2π×＝.
4．（2018·重庆模拟）已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部（不含边界）的动点，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（ ）
A.B.
C.D．（2,3）
解析：
选A 以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0,0），A（3,0），C（0,4）．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以（5＋3＋4）×r＝4×3，解得r＝1，所以I（1,1）．设P（x，y），因为点P在△IBC内部（不含边界），所以05．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
解析：
因为⊥，所以·＝（a－b）·（a＋b）＝0，化简得a2－b2＝0，得|a|＝|b|，又||＝||，所以||2＝||2，即（a－b）2＝（a＋b）2，得a⊥b，因为a＝，所以|a|＝＝1，所以|a|＝|b|＝1，可得a，b是相互垂直的单位向量，所以||＝||＝，所以△OAB的面积S＝||·||＝1.
答案：
1
6．（2018·武汉调研）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P（包含点D，C）与CB延长线上的动点Q（包含点B）满足||＝||，则·的最小值为________．
解析：
以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，1），Q（2，y），由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝（－x，－1），＝（2－x，y－1），∴·＝－x（2－x）－（y－1）＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，·取得最小值，为.
答案：
第二讲小题考法——三角函数的图象与性质
考点
（一）三角函数的图象及应用
主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式（或参数）.
[典例感悟]
[典例]
（1）（2017·全国卷Ⅰ）已知曲线C1：
y＝cosx，C2：
y＝sin，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
（2）（2019届高三·广西南宁模拟）如图，函数f（x）＝Asin（2x＋φ）的图象过点（0，），则f（x）的函数解析式为（ ）
A．f（x）＝2sin B．f（x）＝2sin
C．f（x）＝2sinD．f（x）＝2sin
（3）（2018·石家庄模拟）若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A. B.
C.D.
[解析]
（1）易知C1：
y＝cosx＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
（2）由函数图象可知，A＝2，又函数f（x）的图象过点（0，），所以2sinφ＝，即sinφ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f（x）＝2sin，故选B.
（3）将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度，得y＝cos的图象．
因为所得函数图象与y＝sinωx，即y＝cos的图象重合，
所以－＋＝＋2kπ（k∈Z），
解得ω＝－－6k（k∈Z），
因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值，故选B.
[答案]
（1）D
（2）B （3）B
[方法技巧]
1．函数表达式y＝Asin（ωx＋φ）＋B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A＝
B
由最值确定
B＝
ω
由函数的
周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之
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