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关于希尔伯特-黄变换的研究综述

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关于希尔伯特-黄变换的研究综述

摘要

傅里叶变换在传统信号分析与处理的历史上，发挥了重要作用，但由于它是一种全局变换，并不具备时间和频域的“定位”功能，因此只适合分析和处理平稳信号。

对于非平稳信号，常用的时频分析方法有很多，如短时傅里叶变换、小波变换等，但是并没有从根本上摆脱傅里叶变换的局限。

希尔伯特—黄变换是一种崭新的时频分析方法，它完全独立于傅里叶变换，能够进行非线性、非平稳信号的线性化和平稳化处理。

本文重点介绍了希尔伯特-黄变换的研究背景，研究现状及意义以及它的基本思想和实现步骤，以期使读者对希尔伯特-黄变换形成一个较完整的概念上的认识。

关键词：

傅里叶变换非平稳信号希尔伯特-黄变换

1、希尔伯特黄变换的研究背景

在信号处理技术中，信号分析一直处于核心的地位。

对于实际得到的任何一个信号，我们都希望尽可能多的，或者尽可能详细的知道信号中所包含的有用信息：

频域的或者时域的，全局的或者局部的，轮廓的或者细节的等等。

随着信号处理技术的不断发展进步，人们对信号的分析和理解也更加深刻和全面，随之而来的喜悦，更浓厚的兴趣和对信号分析更高的要求促进了这门学科进一步的发展。

1870年法国科学家傅里叶指出，任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，由此建立了最基本的傅里叶级数理论。

在此之后的一个半世纪里，通过不断的完善和发展，以傅里叶级数和傅里叶积分/变换理论作为主要研究内容的调和分析理论已经在数学、物理学以及工程实践中得到广泛应用。

傅里叶信号分析方法的缺点在于它是一种频率分析方法，能够很好的刻画信号的频率特性，但是不能够提供任何时域信息，这一缺陷导致在信号分析中长期存在如下一对基本矛盾：

即时域和频域的局部化矛盾。

在傅里叶变换中，人们不能够同时得到信号的时域信息和频域信息。

同样的，拉普拉斯变换，Z变换，离散傅里叶变换这些传统的频域变换方法都无法解决这一根本矛盾。

人们对信号时频联合信息的要求推动了上个世纪时频分析技术的发展。

时频分析方法主要分为线性时频分析和非线性时频分析方法。

线性时频分析是由傅里叶频谱分析转换来的，包括短时傅里叶变换（STFT），Gabor变换和小波变换，非线性时频分析方法主要指二次型时频分析，以Cohen类分布为代表，常见的有Cohen分布、Wigner-Ville分布、Choi-Willians分布等。

在这些时频分析方法中，不得不重点提到小波变换。

虽然早在1910年，Haar就已经提出Haar小波，但是一直到1984年才有法国地球物理学家Morlet明确的提出小波变换的概念。

在上个世纪最后二十年里，通过无数科学家的共同努力，完善和发展了整个小波变换理论。

其中包括：

1986年Meyer创造性的构造出了具有一定衰减特性的光滑函数，其二进制伸缩和平移构成了

空间的正交基；1987年，Mallat得到了离散小波变换的快速算法，并成功用于图像处理；1988年Daubechies成功的构造了多个具有紧支撑的正交小波基。

而后，Coifman，Wickerhanser等人将Mallat算法进一步深化，得到了小波算法，这样小波的系统理论就初步建立起来了。

在上个世纪的最后十年里，信号分析技术仍然在快速发展和进步。

Sweldens在1995年系统的提出了通过矩阵的提升格式（liftingscheme）来研究完全重构滤波器，建立了第二代小波变换的框架体系。

Candes与Donoho等人在1999年提出了脊波（ridgelet）与曲波（curvelet）理论。

目前，基于格式的小波、脊波和曲波也已经被成功地应用于数学以及信息处理的各个领域。

正在这个背景下，NordenEHuang等人在1998年首次提出了希尔伯特黄变换（HHT）这一全新的信号时频分析理论。

在这一理论中，引入了固有模态函数（IMF）的概念，在经验模式分解（EMD）的基础上，对每个IMF进行Hilbert变换得到瞬时频域，从而将信号精确的表示成频率——时间——能量的分布，简称为Hilbert谱。

HHT的特点在于它是基于信号局部特性的，能够对信号进行自适应的高效的分解，而且它特别适用于分析非线性非平稳信号，具有重要的理论价值和广阔的应用前景。

2、希尔伯特黄变换的研究现状和意义

自1998年希尔伯特黄变换由NordenEHuang等人提出以来，受到国内外广大学者的关注，在理论上和实践中取得了一些列的成果。

一方面，希尔伯特黄变换这一时频分析方法被广泛的应用在许多时间信号的分析处理中，包括语音信号、心音信号、地震信号、水波信号、海洋环流信号和机械振动信号等，显示了希尔伯特黄变换在处理非线性非平稳信号方面的有效性和优越性。

另一方面，希尔伯特黄变换的理论和技术被进一步完善，人们提出了关于包络拟合和均值曲线计算的新方法，提出了新的筛分停止条件；同样，有学者对信号端点的延拓问题进行了深入的研究，提出了有效解决端点/边缘效应的新方法。

此外，最近的几年，学者们将关注的目光转移到如何将希尔伯特黄变换从一维发展到二维空间或者更高维的空间。

人们尝试将希尔伯特黄变换应用到数字图像处理中，进行了包括图像细节提取，图像边缘提取，图像去噪，图像压缩，图像融合等在内的一系列实验。

总的说来，最初实验上的成功很大的激发了人们对这一崭新的时频分析方法的浓厚兴趣，希望它在性能上能够替代甚至超过小波变换。

然而，迄今为止对于希尔伯特黄变换的研究更多的停留在方法和实践上，在理论上显得不足；在具体算法的研究中，也是关注问题的解决和方法的实现，忽略了问题的本质。

理论上的匮乏，使它缺乏坚实有力的基础，让研究者们对于它未来的发展和应用缺乏更多的信心；同时，理论上发展的不完善导致了一些不太理想的实验效果，比如说端点延拓问题，迄今为止没有一个权威的普遍的方法彻底的解决这一问题；再比如说，经典模态分解过程中IMF分量之间的正交性是通过筛分迭代算法近似实现的，还没有得到彻底的解决方案和完整的理论解释，从而不可避免的导致能量的混淆和频率的交替，这个问题成为了希尔伯特黄变换最致命的缺点，迫切需要研究者们的努力；最后，希尔伯特黄变换的应用仍然比较有限，相比于成熟的小波分析，这一新技术缺乏竞争力和说服力。

在许多方面，希尔伯特黄变换还是不完善和不完整的，需要更多的时间和精力对这一新理论进行发展和补充，也需要将这一技术运用到更广泛的场合。

3、希尔伯特黄变换的基础理论

3.1傅里叶信号分析

傅里叶信号分析主要包括两个部分：

傅里叶级数和傅里叶变换。

在傅里叶信号分析理论中，“任何”周期信号都可以用成谐波关系的正弦级数来表示；而非周期信号表示成不全成谐波关系的正弦信号的加权积分，即傅里叶积分变换。

周期信号

存在一个傅里叶级数表示式

（1），傅里叶级数中的系数由公式

（2）确定。

这一关系式就定义为傅里叶级数。

………………

（1）

………………

（2）

其中，

为基波周期，是满足

中

的最小非零正值。

为基波角频率。

非周期信号的傅里叶变换与傅里叶反变换一起被称为傅里叶变换对，表示如下：

………………（3）

………………（4）

传统的傅里叶频谱分析方法将信号表示从时间空间变换到频率空间，能够表示信号全局的能量-频率分布。

因此，通常谈论到频谱特征，总是习惯的和信号的傅里叶变换联系在一起。

然而，应用傅里叶变换必须注意到一些严格限制的条件：

体统必须是线性的；数据必须满足周期性或者是广义平稳的。

否则，用傅里叶变换分析这样的信号就无法得到具有实际物理意义的结果。

NordenEHuang在它的论文中提到，不论来自物理测量还是数学模型所得到的信号，都有可能面临下列一个或几个问题：

（1）总的信号长度太短；

（2）信号是非平稳的；（3）信号代表着非线性过程，所以非平稳性是普遍存在的。

为了对这类非线性非平稳信号进行有效的分析和处理，相继诞生了不同的时频分析方法。

3.2时频分析方法回顾

时频分析方法的提出主要是为了对非线性非平稳信号进行有效的信号分析，从而得到信号在局部时间上的频率信息，即频率随时间的变化情况。

3.2.1短时傅里叶变换

常规傅里叶分析属于稳态分析方法，只能反映信号的静态频谱特性。

短时傅里叶变换则将非平稳信号假定为分段平稳的，通过采用一个滑动窗截取信号，一次次地对截得的信号进行傅里叶变换，从而得到任意时刻信号

的频谱：

……（5）

其中

为窗函数，因而上式中有效的积分区间实际上是有限的。

与此对应的能量密度谱，

，它反映了信号的动态时频谱分析。

短时傅里叶变换的公式表示：

在时间轴上移动窗函数，就能够对信号

连续的做“局部谱”分析，了解其频率变化规律。

3.2.2小波分析

基于小波变换的时频表示的基本思想是：

认为自然界各种信号中频率高低不同的分量具有不同的时态特性，通常是较低频率的频谱特性随时间的变化比较缓慢，较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。

因此，按这样的规律非均匀地划分时间轴和频率轴，就能获得比较合适的时间和频率分辨力，从而在一定程度上克服了STFT的时间和频率分辨力不能兼顾的弱点。

小波变换和STFT是两类非常重要的线性时频表示方法,这两类方法在数学表达式和性质上有许多相似之处。

信号

的小波变换定义为：

其中

为小波信号，它是由小波基函数

经时间轴的平移和伸缩得到的：

………………（6）

其中

叫做尺度参数，

叫做平移参数，

称为“分析小波”。

在频域上

为一带通滤波器。

在满足简单的条件，

下，信号

可用连续小波变换精确重构：

虽然小波变换得到了足够的重视和广泛的应用,但也有一些难以克服的缺点。

在短时Fourier分析中,有唯一的基函数,因此对不同的信号没有适应性,这就影响了它分析信号的能力。

由于小波基对信号的局部并没有适用性,对某一信号,依据什么原则,用什么判据选择小波基,目前在理论上和实际应用上都还是一个难点"目前在工程上影响小波变换应用的一个重要原因就是小波基的选择,不同的小波基具有不同的性质,对信号的分析能力也不同,对同一信号采用不同的小波基得到的结果基本没有可比性。

3.3希尔伯特黄变换理论的提出

回溯信号分析方法的整个发展历程可以发现,不同的信号分析方法总是为了满足人们对不同类型信号的不同特征的兴趣。

对于平稳的线性信号或者周期信号,可以采用傅立叶变换等频域变换的方法得到关于信号全局上的频谱信息；对于非平稳的或者非线性信号,人们对于信号局部的频谱特征更加感兴趣,相应的必须采用时频分析方法得到信号的时频联合信息,比如短时傅立叶变换,小波变换。

大多数时频分析方法都是直接针对变化的频率提出的,而且还可以看出几乎所有这些时频分析方法都以傅立叶变换为最终理论依据,都采用积分分析法。

由于基于傅立叶分析理论的时频分析方法的基函数是比较固定的,缺乏自适应性或自适应性差,在表示信号时都容易出现多余信号。

理想地,为了精确描述频率随时间的变化,需要一种自适应比较好,直观的瞬时频率分析方法。

1998年NordenEHuang提出了希尔伯特黄变换理论（HHT）。

在这个理论中,通过经验模态分解EMD将信号自适应得分解成有限多个内在模分量砚F和一个表征信号趋势变化的残余信号,并且提出对得到的各个IMF运用希尔伯特变换进行时频分析。

HHT主要内容包含两部分，第一部分为经验模态分解（EmpiricalModeDecomposition，简称EMD），它是由Huang提出的；第二部分为Hilbert谱分析（HilbertSpectrumAnalysis，简称HAS）。

简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：

首先利用EMD方法将给定的信号分解为若干固有模态函数（以IntrinsicModeFunction或IMF表示，也称作本征模态函数），这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的Hilbert谱。

3.3.1经验模态分解EMD

EMD是HHT的一个关键步骤,首先找到信号

的极大值和极小值，通过三次样条拟合，从而得到信号的上包络线

和下包络线

，计算上下包络线的均值：

从原始信号

信号中减去此均值

，得到第一个分量

，即：

。

检查

）是否为一个IMF，主要看其是否满足以下两个条件:

（1）在整个信号长度上,

的极大值点和过零点数目是否相等或者只相差一个;

（2）在任意时刻,有极大值点定义的上包络线和下包络线的均值是否为0,也就是说

是否关于时间轴对称。

这两个条件也被称作是过零点条件和均值条件。

如果

不满足上述两个条件，那么就应该继续进行筛分，即求得

的上下包络线,然后得到它的均值线

，求得其分量

为

再检查

是否满足上述的两个条件,如果不满足进行再一次的筛选,直到得到满足条件的

。

最终得到的

被看作是第一个

。

它包含了原始信号

中的（局部）高频部分。

从原始信号

中减去

得到残余信号

：

将残余信号进行如同上述的筛分得到更多个D吐F,直到最后的D以F被分离出来"最终的残余信号

可能是一个常数或为一个单调函数"若为一个单调函数则它表示了信号

的趋势变化。

至此,将信号

分解为

个

和残余信号

，即

3.3.2希尔伯特变换HT

对每一个IMF进行Hilbert变换，

，式中：

P为柯西主值。

形成的解析信号为

，表示成极坐标的形式：

其中

解析信号的极坐标形式反映了Hilbert变换的物理含义:

它是通过一个正弦曲线的频率和幅度调制（AM-FM）获得信号局部的最佳逼近。

根据瞬时频率的含义,可以得到每一个IMF的瞬时频率：

因此原始信号的解析信号

的极坐标形式可以表示成：

这样原始信号可以表示成如下形式

在此舍弃残余项

，因为它只能为一个单调函数或者常量，信息量比较少，对信号随时间变化的贡献不大，人们更加关心信号的高频周期成分所包含的信息。

四、希尔伯特黄变换理论的特点

与传统的信号或数据处理方法相比，HHT具有如下特点：

（1）HHT能分析非线性非平稳信号。

传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。

历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚，就是受平稳性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。

HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，其适用于分析非线性非平稳信号。

（2）HHT具有完全自适应性。

HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。

这点不同于傅立叶变换和小波变换。

傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。

在实际工程中，如何选择小波基不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生不同的处理结果。

我们也没有理由认为所选的小波基能够反映被分析数据或信号的特性。

（3）HHT不受Heisenberg测不准原理制约——适合突变信号。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受Heisenberg测不准原理制约，即时间窗口与频率窗口的乘积为一个常数。

这就意味着如果要提高时间精度就得牺牲频率精度，反之亦然，故不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信号分析处理带来一定的不便。

而HHT不受Heisenberg测不准原理制约，它可以在时间和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。

（4）HHT的瞬时频率是采用求导得到的。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。

HHT不同于这些方法，它借助Hilbert变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。

这样求出的瞬时频率是局部性的，而傅立叶变换的频率是全局性的，小波变换的频率是区域性的。

五、总结

希尔伯特-黄变换是一种新的分析非线性、非平稳信号的时频分析方法，是近年来对以傅里叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。

非平稳信号的分析和处理是一件复杂而艰巨的工作，希尔伯特-黄变换作为一种新发展起来的方法仍有很多问题需要不断的完善和研究。

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