高一数学《集合》知识点总结.docx
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高一数学《集合》知识点总结
高一数学《集合》知识点总结
高一数学《集合》知识点总结
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合（集）：
某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：
①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?
A和a?
A，二者必居其一）、互异性（若a?
A，b?
A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：
凡是符合条的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条
2）集合的表示方法：
常用的有列举法、描述法和图法
3）集合的分类：
有限集，无限集，空集。
4）常用数集：
N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：
若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）；
2）真子集：
AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）
3）交集：
A∩B={xx∈A且x∈B}
4）并集：
A∪B={xx∈A或x∈B}
）补集：
UA={xxA但x∈U}
注意：
①?
A，若A≠?
，则?
A；
②若，，则；
③若且，则A=B（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：
（1）与、?
的区别；
（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABuAuB；
④A∩uB=空集uAB；⑤uA∪B=IAB。
．交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩?
=?
，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?
=A，A∪B=B∪A；
③u（A∪B）=uA∩uB，u（A∩B）=uA∪uB；
6．有限子集的个数：
设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
【例1】已知集合={xx=+,∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z}，则,N,P满足关系
A）=NPB）N=P）NPD）NP
分析一：
从判断元素的共性与区别入手。
解答一：
对于集合：
{xx=,∈Z}；对于集合N：
{xx=,n∈Z}
对于集合P：
{xx=,p∈Z}，由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6+1表示被6除余1的数，所以N=P，故选B。
分析二：
简单列举集合中的元素。
解答二：
={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
=∈N，∈N，∴N，又=，∴N，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。
点评：
由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：
设集合，，则（B）
A．=NB．N．ND．
解：
当时，2+1是奇数，+2是整数，选B
【例2】定义集合A*B={xx∈A且xB}，若A={1,3,,7},B={2,3,}，则A*B的子集个数为
A）1B）2）3D）4
分析：
确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：
集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个求解。
解答：
∵A*B={xx∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。
选D。
变式1：
已知非空集合{1,2,3,4,}，且若a∈，则6?
a∈，那么集合的个数为
A）个B）6个）7个D）8个
变式2：
已知{a,b}A{a,b,,d,e},求集合A
解：
由已知，集合中必须含有元素a,b
集合A可能是{a,b},{a,b,},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,,d},{a,b,,e},{a,b,d,e}
评析本题集合A的个数实为集合{,d,e}的真子集的个数，所以共有个
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?
4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?
2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：
∵A∩B={1}∴1∈B∴12?
4×1+r=0,r=3
∴B={xx2?
4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?
2,1,3},?
2B,∴?
2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴∴
变式：
已知集合A={xx2+bx+=0},B={xx2+x+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,,的值
解：
∵A∩B={2}∴1∈B∴22+?
2+6=0,=-
∴B={xx2-x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-（2+2）=4,=2×2=4
∴b=-4,=4,=-
【例4】已知集合A={x（x-1）（x+1）（x+2）>0},集合B满足：
A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<><p=““>
分析：
先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：
A={x-2<><-1或x>1}。
由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而（-∞,-2）∩B=ф。
<-1或x>
<><-1或x>
综合以上各式有B={x-1≤x≤}
变式1：
若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=Φ,求a,b。
（答案：
a=-2，b=0）
点评：
在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴解之。
变式2：
设={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若∩N=N，求所有满足条的a的集合。
解答：
={-1,3},∵∩N=N,∴N
①当时，ax-1=0无解，∴a=0②
综①②得：
所求集合为{-1，0，}
【例】已知集合，函数=lg2（ax2-2x+2）的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。
分析：
先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。
解答：
（1）若，在内有有解
令当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：
若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：
解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三随堂演练
选择题
1．下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}
⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数
（A）4（B）（）6（D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）个（B）6个（）7个（D）8个
3．集合A={x}B={}={}又则有
（A）（a+b）A（B）（a+b）B（）（a+b）（D）（a+b）A、B、任一个
4．设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是
（A）UAUB（B）UAUB=U
（）AUB=（D）UAB=
．已知集合A={}，B={}则A=
（A）R（B）{}
（）{}（D）{}
6．下列语句：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2（x-2）2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{}是有限集，正确的是
（A）只有
（1）和（4）（B）只有
（2）和（3）
（）只有
（2）（D）以上语句都不对
7．设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=
（A）X（B）T（）Φ（D）S
8设一元二次方程ax2+bx+=0（a<0）的根的判别式，则不等式ax2+bx+0的解集为
（A）R（B）（）{}（D）{}
填空题
9在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，则x=
11若A={x}B={x},全集U=R，则A=
12若方程8x2+（+1）x+-7=0有两个负根，则的取值范围是
13设集合A={},B={x},且AB，则实数的取值范围是。
14设全集U={x为小于20的非负奇数}，若A（UB）={3，7，1}，（UA）B={13，17，19}，又（UA）（UB）=，则AB=
解答题
1（8分）已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求实数a。
16（12分）设A=，B=，
其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。
四习题答案
选择题
1234678
BBDD
填空题
9．{（x,）}100,11{x,或x3}12{}13{}14{1,,9,11}
解答题
1a=-1
16提示：
A={0，-4}，又AB=B，所以BA
（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4（a2-1）<0，得a<-1
（Ⅱ）B={0}或B={-4}时，0得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}，解得a=1
综上所述实数a=1或a-1
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