初中奥数系列一元二次方程A级第03讲学生版.docx

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初中奥数系列一元二次方程A级第03讲学生版

根的判别式与韦达定理

知识点

基本要求

略高要求

较高要求

一元二次方程

了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法

理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据

能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况

能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题

板块一根的判别式

☞定义

运用配方法解一元二次方程过程中得到

，显然只有当

时，才能直接开平方得：

．

也就是说，一元二次方程

只有当系数

、

、

满足条件

时才有实数根．这里

叫做一元二次方程根的判别式．

☞判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程

的根由其系数

、

、

确定，它的根的情况（是否有实数根）由

确定．

设一元二次方程为

，其根的判别式为：

则

①

方程

有两个不相等的实数根

．

②

方程

有两个相等的实数根

．

③

方程

没有实数根．

板块一根的判别式的应用

☞运用判别式，判定方程实数根的个数

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：

（1）

；

（2）

（

）

【巩固】不解方程，判别一元二次方程

的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．没有实数根

C．有两个相等的实数根D．无法确定

【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

；（7）

；（8）

【例2】已知

，

，

是不全为0的3个实数，那么关于

的一元二次方程

的根的情况（）．

A．有2个负根B．有2个正根

C．有2个异号的实根D．无实根

☞利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围