方程中的实际问题.docx
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方程中的实际问题
（一）列方程或方程组解决实际问题
1、销售中的方程
【知识链接】
销售问题中用到的等量关系:
1售价=标价×
，
2利润率=利润÷成本（进价）×100%，
或者利润=成本（进价）×利润率，
3售价-成本（进价）=利润，
④常用等量关系：
成本×利润率=售价-进价
（预备知识:
百分数在升降中的应用）甲，乙，丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（ ）
1、一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为每件360元，则每件服装获利多少（等量关系①）
2、一件羽绒服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利250元.若设这件羽绒服的成本是 （等量关系①③）
（针对练习）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利20元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（ ）
3、.一商
店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是
每件 元．（①④）
（针对练习）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是 元．
4、某个商贩同时卖出两件上衣，售价都是135元．按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次交易中，该商贩（等量关系④）（ ）A．不赔不赚 B ．赚9元 C ．赔18元 D ．赚18元
2、球赛积分表中的方程
【知识链接】总积分=+
胜场总积分=×
负场总积分=×
某次篮球赛积分榜
队名
场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
思路分析：
（1）由第行得知负一场得分为
（2）由第行得知胜一场得分为。
用表中的其它行可以验证：
负一场得分，胜一场得分。
解决问题的准备工作已经做好了，那下面我们开始解答我们面对的问题吧！
（1）如果设一个队胜m场，则负场，胜场积分可以表示为，负场积分可以表示为，则总积分可以表示为。
（2）如果设一个队胜x场，则负场，胜场积分可以表示为，负场积分可以表示为，则胜场积分=负场积分列方程得：
在一次足球循环赛中有12场比赛，规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？
球赛积分问题常见相等关系：
（举一反三）1、某公司举办了一次足球赛，其记分规则级奖励方案（每人）如下表：
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元）
150
70
0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场。
试判断A队胜、平各几场？
若每赛一场每名队员均得出场费50元，那么A队的每一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？
２、某班的一次数学小测验中，一共出了20道选择题，每题5分，总分为100分，现从中抽取5份试卷，进行分析，如下表：
卷
正确个数
错误个数
得分
A
19
1
94
B
18
2
88
C
17
3
82
D
14
6
64
E
10
10
40
某同学得了70分，问他答对了多少道题？
（2）同学甲说他自己得了86分，同学乙说他自己得了72分，请你判断一下：
谁说的是真话？
为什么？
3、路程中的方程
①相向而行
知识链接：
相向而行的等量关系一般是两者走的路程和=两者之间的距离
即S甲+S乙=甲乙的长S甲S乙
画图分析是很好的方法：
甲乙
、
两地相距450千米，甲、乙两车分别从
、
两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过
小时两车相距50千米，则
的值是 小时.
（举一反三）1、甲、乙两站相距 360 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行 50 千米，一列快车从乙站开出，每小时行 70 千米，两车同时开出，相向而行，多长时间相遇？
2、甲骑摩托车，乙骑自行车从相距25km的两地相向而行．
（1）甲、乙同时出发经过0.5小时相遇，且甲每小时行驶路程是乙每小时行驶路程的3倍少6km，求乙骑自行车的速度．
（2）在甲骑摩托车和乙骑自行车与
（1）相同的前提下，若乙先出发0.5小时，甲才出发，问：
甲出发几小时后两人相遇？
②追赶S甲
知识链接
甲乙
S乙
等量关系：
S甲—S乙=甲乙间的距离
甲以5千米/小时得速度先走16分钟，乙以13千米/小时得速度追甲，则乙追上甲的时间为多少小时（ ）
（举一反三）1、小毅和小明同时从学校出发到科技馆参加活动，小毅每小时走6千米，小明每小时走8千米，走了1小时后，小明忘带材料返回学校取材料，立即按原路去追小毅．小明几小时追上小毅？
2、小明每天早上要在7:
50之前赶到距家1000米的学校上学。
一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立刻以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（4分）
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
（3分）
3、某校学生步行到郊外旅游，前队步行速度为4km/h，后队速度为6km/h，前队出发1h后，后对才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为12km/h．
（1）前队出发多长时间，后队才追上前队；（列一元一次方程解题）
（2）当后队追上前队时，联络员骑行的路程为多少千米？
3过隧道或过桥中的方程
等量关系：
火车行驶的路程=隧道的长+车长
.一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒.求这列火车的长度.
小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成
设这列火车的长度是x米，那么
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度是 米/秒；
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度是 米/秒；
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 ；（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度：
（举一反三）1、京﹣沈高速铁路河北承德段通过一隧道，估计从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45秒，整列火车完全在隧道的时间为32秒，车身长180米，设隧道长为x米，可列方程为_______．
2、，甲、乙两人分别后，沿着铁路反向而行。
此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15s；然后在乙身旁开过，用了17s已知两人的步行速度
都是3.6km/h。
（1）这列火车有多长？
（2）当火车从乙身旁经过后，此时甲乙两人之间的距离是多少m?
4顺流逆流中的方程
等量关系有：
V顺=V静+V水V逆=V静-V水其中V静是船在静水中的速度（发动机或人给船的速度）V顺是顺流航行的实际速度，V逆是船逆流航行的实际速度
一艘船从甲码头顺流而行，用了2小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知水流速度是3千米/小时，则船在静水中的速度是 千米/小时．
（举一反三）1、轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用 3h，若船在静水中速度为 26km/h，水流速度为2km/h，则 A 港和 B 港相距
2、一艘轮船在静水中的航速为30km/h，它沿江顺流航行90km所用的时间，与逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
3、甲、乙两地间的铁路经过技术改造后，列车在两地间的运行速度从100 km/h提高到120 km/h，运行时间缩短了2 h．设甲、乙两地间的路程为x km，可得方程
4、工程问题
等量关系是：
甲队的工作效率*工作时间+乙队的工作效率*工作时间+。
。
。
。
=1
工作效率=
做题之前先求出各个工人或工作队的工作效率
工程题可以和路程题对比学习，工作效率相当于速度，1相当于总路程
某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后甲，乙合作完成此项工作，若甲一共做了x天，则所列方程为（ ）
（举一反三）1、某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16 m.求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.
2、某通讯管道工程，若由甲、乙两个工程队单独铺设，分别需要20天和30天完成．如果两队从两端同时施工4天，然后再由乙队单独施工，则还需多少天才能完成？
3、为了保证营口机场按时通航，通往机场公路需要及时翻修完工，已知甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，若甲乙合作5天后，再由乙队单独完成剩余工作量，共需要多少天？
4、一项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若两人合作3天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天？
5、数字中的方程
要点是：
要善于观察边长关系，从而找到等量关系
一个两位数，十位上的数字是
，个位上的数字比十位上的数字多1，则这个两位数是__________（用
表示）。
（举一反三）1、一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的
倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数和个位上的数对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数.
2、一个两位数，个位数字与十位数字之和是9，如果将个位数字与十位数字对调后，所得新数比原数答9，则原来两位数是（ ）
数形结合
五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32cm ，则小长方形的周长是___ cm．
（举一反三）1、长方形
是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，中间最小的正方形
的边长是1，观察图形特点可知长方形相对的两边是相等的（如图中
）.正方形四边相等，请根据这个等量关系，试计算长方形
的面积，结果为 .
2、如图为一块在电脑屏幕上出现的色块图，由6个颜色不同的正方形拼成的长方形，如果中间最小的正方形边长为1，则所拼成的长方形的面积是________
3、如图4，宽为50cm的长方形图案由10个大小相等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积_______
4、．8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如下图），若大长方形的宽为 8cm，则每一个小长方形的面积为 （ ）
A．8cm2 B．15cm2 C．16cm2 D．20cm2
（三）二元一次方程组中的方案选择
单个二元一次方程在实际问题中需要讨论
某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同幸好的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时利润最多，你选择哪一种进货方案？
（举一反三）1、某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可利用的汽车有两种：
一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空坐，也不超载。
（1）请你给出三种不同的租车方案；
（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最小的租车方案，并简述你的理由/
2、某同学在A、B两家超市发现了他看中的随身听和书包，他们在两家超市的单价相同，且单价之和等于452元，随身听的单价是书包的4倍少8元。
（1）、随身听和书包的单价各是多少？
（2）、某一天该同学上街恰好赶上商家促销，超市A打八折销售，超市B全场购满100元返30元购物券，但他只带了400元，若他只在一家超市购满这两件物品，你能说明他能在哪家购满吗？
若两家都能选择在哪一家更省钱？
3、已知：
用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10t；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11t．某物流公司现有31t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元／次，B型车每辆需租金120元／次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
门票收费
“十一”期间，李平、王丽等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，李平与他爸爸的对话，试根据图中信息，解答下列问题：
（1）李平他们一共去了几个成人？
几个学生？
（2）请你帮助算一算，用哪种方式购票更省钱？
说明理由。
（3）购完票后，李平发现张明等8位同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为他们设计出更省钱的购票方案，并求出此时的购票费用。
（举一反三）某公园门票价格规定如下表：
购票张数
1`50张
51~100张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校七年级
（1）
（2）两个班共104人去游园，其中
（1）班有40多人，不足50人。
经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元。
问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果
（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
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