基于MATLAB的蜗轮蜗杆减速传动的优化设计 隋昊组.docx
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基于MATLAB的蜗轮蜗杆减速传动的优化设计隋昊组
机械装备优化设计三级项目
题目：
基于MATLAB的蜗轮蜗杆减速传动的优化设计
班级：
12级机械装备-2班
设计人员（按贡献大小排序）：
隋昊（120101010203）
王志远（120101010198）
卢鼎（120101010212）
摘要：
基于MATLAB优化理论,系统研究了蜗轮蜗杆减速装置的目标函数、设计变量和约束条件,建立其优化设计数学模型,利用MATLAB优化工具箱中的函数fmincon来解决单目标多变量约束非线性优化问题的思路和方法。
关键词:
MATLAB;蜗轮蜗杆减速装置;优化设计
目录
摘要：
1
前言：
3
一、优化设计问题分析4
二、优化设计方案选择4
三、具体任务分工5
四、优化设计内容与步骤5
1、优化问题实例5
2、优化设计问题的数学建模6
2.1确定目标函数和设计变量6
2.2确定约束条件7
2.3数学模型化为标形式8
3.所选择的优化方法及MATLAB程序8
3.1确定优化工具箱8
3.2编写蜗杆蜗轮目标函数9
3.3编写蜗杆蜗轮约束函数9
3.4编写MATLAB命令窗口主程序9
4、优化结果及分析10
参考文献：
12
附录：
13
1.MATLAB源程序：
13
2.运行进程图片：
14
前言：
机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一种机械设计方法,它包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等内容。
该领域的研究和应用进展非常迅速,并且取得了可观的经济效益。
随着科技的发展,现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心,以计算机为工具,向着多变量、多目标、高效率、高精度的方向发展。
现在用于机械优化设计的软件与方法程序较多,有些已非常成熟,只需要按照规定的格式编写目标函数和约束函数子程序即可。
机械优化设计方法林林总总,但由于机械设计问题的复杂性,所以每种优化方法都有其优越性和局限性。
选择合适的机械优化设计方法尤为重要。
而MATLAB语言的优化工具箱在进行优化设计时,可自由选择算法和线性搜索策略,计算快捷高效,图形结果可视化,且其初始参数值输人简单,编程工作量小,具有明显的优越性,且应用广泛。
MATLAB语言是集科学计算、数据可视化和程序设计为一体的工程应用软件。
作为基础软件,它广泛应用在工程学科的计算机辅助分析、设计仿真和教学中,在蜗轮蜗杆减速装置的各级传动设计中,利用MATLAB的优化工具箱的函数计算建模,可提高建模的准确性和计算中的数值稳定性,为设计提供了可靠的科学依据。
一、优化设计问题分析
在各类机械产品和装备中,蜗轮蜗杆减速传动是在交错轴之间传递转矩和运动,具有传动比大、连续啮合、工作平稳、低振动、噪声小、冲击载荷小及具有自锁性等优点;而且其传动比大,体积小、重量轻、结构紧凑,蜗杆轮齿呈螺旋形,蜗轮轮齿呈短而宽的环形悬臂梁,故蜗轮蜗杆传动具有很高的抗弯强度,在数控回转工作台减速中有着广泛的应用。
在设计过程中如何确定最优的蜗轮蜗杆的模数、齿数、直径、传动比以及中心距等基本参数,从而减小其体积和质量、提高其承载能力和延长其使用寿命,具有重要的经济价值和实用意义。
本报告以数控回转工作台蜗轮蜗杆减速装置为研究对象,目的使其达到体积最小、材料最轻的设计目标。
二、优化设计方案选择
设计优化目的旨在寻找最优解，本报告是通过机械设计的相关知识进行模型分析，建立其优化设计的数学模型,以MATLAB强大的矩阵处理功能为平台，进行MATLAB程序语言的编写，最后利用软件自带的优化工具箱进行优化求解，从而得到目标的最优解，并且实现蜗轮蜗杆减速传动的优化设计。
三、具体任务分工
隋昊-项目报告撰写及PPT制作
王志远-MATLAB优化程序编写
卢鼎-优化设计相关资料查询
4、优化设计内容与步骤
1、优化问题实例
如图1所示,数控回转工作台第二级采用双蜗杆传动。
蜗杆蜗轮公称传动比
为50,由于蜗杆轴2和蜗杆轴5相错,电动机转动方向和蜗杆轴5转动的方向相错,选用一对相同的标准直齿圆锥齿轮6作为一级传动,改变传动方向,实现运动传递。
伺服电机1正反转动分别带动2、5两个蜗杆实现对蜗轮4的传动,两个蜗杆分别与蜗轮的左右齿面接触,尽量消除正反转动间隙。
蜗杆选用40Cr钢,芯部调质、表面淬火,硬度为45～55HRC,加工精度为6级;蜗轮材料选用ZCuSn10Pb1,金属模制造。
根据机械设计手册查出蜗轮基本许用接触应力[
]′,再根据[
]=KHN·[
]′算出许用接触应力值,同理可算出蜗轮的许用弯曲应力[
],它们分别为[
]=279MPa,[
]=44.97MPa。
2、优化设计问题的数学建模
2.1确定目标函数和设计变量
因为蜗轮材料为强度极限
<300
的锡青铜,为节省较贵重的有色金属材料、降低生产成本,宜以蜗轮体积最小为目标建立目标函数。
根据蜗轮蜗杆结构设计的经验公式,其目标函数可近似地表示为:
则设计变量为:
。
2.2确定约束条件
（1）几何约束条件
蜗杆齿数:
1≤Z1≤4,蜗轮齿数:
30≤50Z1≤80，模数限制:
2≤ｍ≤10,蜗杆分度圆直径限制:
16≤d1≤160。
（2）性能约束条件
①蜗轮齿面接触强度约束:
Ｔ2表示蜗轮输出转矩,大小为
;
ｍ为蜗轮蜗杆模数;Z1为蜗杆头数;Z2为蜗轮齿数;d1为蜗杆分度圆直径;K为载荷系数取值,
;[
]为蜗轮齿面许用接触应力,单位为
。
代入相应参数化为:
②蜗轮齿根弯曲疲劳强度约束:
[
]为蜗轮的许用弯曲应力,单位为
;
为齿形系数,查机械设计手册取2.66;
为蜗杆导程角,
。
代入相应参数化为:
③蜗杆刚度的约束:
代入相应参数化为:
2.3数学模型化为标形式
3.所选择的优化方法及MATLAB程序
3.1确定优化工具箱
由以上可以看出，蜗轮蜗杆减速传动优化问题的目标函数为二次函数，约束函数亦为二次函数，属于非线性规划问题中的有约束的多元函数最小值的问题，故调用函数fmincon工具箱求解。
3.2编写蜗杆蜗轮目标函数
functionf=myfun（x）;
f=pi*0.75*x
（2）^2*（x（3）+2*x
（2））*（（50*x
（1）+2+6/（x
（1）+2））^2-（50*x
（1）-6.4）^2）/4;
3.3编写蜗杆蜗轮约束函数
function[c,ceq]=mycon（x）;
c
（1）=1.21*150000*5202/（50*x
（1）*279）^2-x
（2）^2*x（3）;
c
（2）=（2*1.21*150000*2.66）/（50*x
（1）*44.97*（1/（1+x
（1）^2*x
（2）^2/x（3）^2）^0.5））-x
（2）^2*x（3）;
c（3）=（（（2*150000/50*x（3）*0.7）^2+（2*150000*0.36/50*x
（1）*x
（2））^2）^0.5）*0.9*x
（2）*50*x
（1）/（48*200000*（0.05*（x（3）-2.4*x
（2））^4））-x
（2）/50;
ceq=[];
3.4编写MATLAB命令窗口主程序
在命令窗口调用
和
程序:
>>A=[1,0,0;-1,0,0;50,0,0;-50,0,0;0,1,0;0,-1,0;0,0,1;0,0,-1];
b=[4;-1;80;-30;10;-2;90;-22.4];
x0=[3;5;50];
lb=[1;2;22.4];
ub=[4;10;90];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon（@mubiao,x0,A,b,[],[],lb,ub,@yueshu）
其中,参数mubiao为目标函数的Ｍ文件,Ａ,ｂ
满足线性不等式约束;X0为向量的初始点即为优化程序初始迭代标量,lb,ub分别为变量ｘ的下界和上界;使用“fmincon”函数实现ＳＱＰ法,求解优化问题,并输出优化变量的优化解及目标函数优化值。
4、优化结果及分析
运行结果显示如下:
x=
1.6000
2.0000
67.1750
fval=
2.6550e+05
exitflag=
1
output=
iterations:
36
funcCount:
179
constrviolation:
7.5686e-08
stepsize:
4.6914e-04
algorithm:
'interior-point'
firstorderopt:
0.2159
cgiterations:
0
message:
'Localminimumfoundthatsatisfiestheconstraints.
Optimizati...'
lambda=
eqlin:
[0x1double]
eqnonlin:
[0x1double]
ineqlin:
[8x1double]
lower:
[3x1double]
upper:
[3x1double]
ineqnonlin:
[3x1double]
由此可以得到结果,此时目标函数值：
fval=2.6550e+5mm3。
最终取值结合《机械设计手册》,考虑到蜗杆蜗轮的匹配取:
ｍ=6.3mm,Z1=1,d1=63,i12=48,Z2=48,a=180mm。
若用传统经验设计方法得m=5mm,Z1=1,d1=50,i=50,a=150mm,此时目标函数值为2.966e+5mm3,而采用优化设计目标函数值fval=2.6550e+5mm3,故采用优化设计蜗杆蜗轮材料节省近10%,减小体积,降低了成本。
五、结论
通过对数控回转工作台减速装置中蜗轮蜗杆传动装置采用MATLAB语言进行优化设计,在满足传动装置几何结构和性能强度以及承载能力的条件下,建立了优化设计的数学模型,以蜗轮体积最小建立目标函数,利用MATLAB优化工具箱进行机械优化设计问题求解,省去大量优化算法程序的编写,提高了实际设计效率。
MATLAB优化工具箱选用较可靠的优化算法,提高了设计精度,不必再对蜗杆蜗轮进行校核,获得了良好的优化结果。
此种方法也为机械优化设计提供了新的技术途径,具有一定的经济效益和社会效益。
在整个的优化过程中，我们小组成员学会了MATLAB软件的基本操作，较为熟练的掌握了MATLAB工具箱的使用方法，更为深刻的理解了优化设计在机械装备领域中的重要性，每一位成员都获益匪浅。
参考文献：
[1].张颚.机械与工程优化设计.科学出版社，2008.
[2].梁尚明.现代机械优化设计方法.化学工业出社,2005.
[3].伦冠德.齿轮传动优化设计的MATLAB实现.现代机械,2006.
[4].王沫然.MATLAB与科学计算.电子工业出版社,2003.
[5].许立忠，周玉林.机械设计.中国标准出版社，2009.
附录：
1.MATLAB源程序：
mubiao.m
functionf=myfun（x）;
f=pi*0.75*x
（2）^2*（x（3）+2*x
（2））*（（50*x
（1）+2+6/（x
（1）+2））^2-（50*x
（1）-6.4）^2）/4;
yueshu.m
function[c,ceq]=mycon（x）;
c
（1）=1.21*150000*5202/（50*x
（1）*279）^2-x
（2）^2*x（3）;
c
（2）=（2*1.21*150000*2.66）/（50*x
（1）*44.97*（1/（1+x
（1）^2*x
（2）^2/x（3）^2）^0.5））-x
（2）^2*x（3）;
c（3）=（（（2*150000/50*x（3）*0.7）^2+（2*150000*0.36/50*x
（1）*x
（2））^2）^0.5）*0.9*x
（2）*50*x
（1）/（48*200000*（0.05*（x（3）-2.4*x
（2））^4））-x
（2）/50;
ceq=[];
A=[1,0,0;-1,0,0;50,0,0;-50,0,0;0,1,0;0,-1,0;0,0,1;0,0,-1];
b=[4;-1;80;-30;10;-2;90;-22.4];
x0=[3;5;50];
lb=[1;2;22.4];
ub=[4;10;90];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon（@mubiao,x0,A,b,[],[],lb,ub,@yueshu）
2.运行进程图片：
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