课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数17正切函数学案.docx

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课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数17正切函数学案

7．1　正切函数的定义

7．2　正切函数的图像与性质

7．3　正切函数的诱导公式

1．理解任意角的正切函数的定义．

2．能画出y＝tanx

的图像．（重点）

3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间

内的单调性．（重点）

4.正切函数诱导公式的推导及应用．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　正切函数的定义、图像及性质

阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．

1．正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：

α∈R，α≠

＋kπ（k∈Z），且角α的终边与单位圆交于点P（a，b），那么比值

叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠

＋kπ（k∈Z）．

2．正切线

如图1－7－1所示，线段AT为角α的正切线．

图1－7－1

3．正切函数的图像与性质

图像

性

质

定义域

值域

R

奇偶性

奇函数

周期性

周期为kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期为π

单调性

在

，k∈Z上是增加的

对称性

该图像的对称中心为

，k∈Z

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）正切函数y＝tanx的定义域为R.（　　）

（2）正切函数y＝tanx的最小正周期为π.（　　）

（3）正切函数y＝tanx是奇函数．（　　）

（4）正切函数y＝tanx的图像关于x轴对称．（　　）

【解析】　

（1）y＝tanx的定义域为

.

（2）y＝tanx的周期为kπ（k∈Z），最小正周期为π.

（3）因为y＝tanx的定义域

关于原点对称，且tan（－x）＝－tanx，故为奇函数．

（4）由图知，正切函数图像既不关于x轴对称，也不关于y轴对称．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

教材整理2　正切函数的诱导公式

阅读教材P38～P39例1以上部分，完成下列问题．

正切函数的诱导公式

角x

函数y＝tanx

记忆口诀

kπ＋α

tanα

函数名不变，符号看象限

2π＋α

tanα

－α

－tanα

π－α

－tanα

π＋α

tanα

＋α

－cotα

函数名改变，符号看象限

－α

cotα

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）tan

＝cotα.（　　）

（2）正切函数的诱导公式中的角为任意角．（　　）

（3）tan（kπ－α）＝－tanα.（　　）

【解析】　

（1）tan

＝tan

＝

tan

＝cotα，所以

（1）正确．

（2）无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故

（2）正确．

（3）tan（kπ－α）＝－tanα，故（3）正确．

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

疑问2：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

疑问3：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

[小组合作型]

利用定义求正切值

　如图1－7－2，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝

，∠AOQ＝α，α∈[0，π）．

图1－7－2

（1）若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tanθ；

（2）若已知Q

，试求tanα.

【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．

【自主解答】　

（1）∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，

故θ的终边与单位圆交于P′，

则tanθ＝＝－.

（2）∵∠AOQ＝α且Q，

∴tanα＝＝.

1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝.

2．已知角终边上的一点M（a，b）（a≠0），求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．

3．tanα＝知其中两个，可求另一个．

[再练一题]

1．角α的终边经过点P（－b,4）且cosα＝－，求tanα的值.

【导学号：

66470022】

【解】　由题意知cosα＝＝－，∴b＝±3.又cosα＝－<0，

∴P在第二象限，∴b＝3.

∴tanα＝－.

利用诱导公式求值或化简

（1）化简：

；

（2）求值：

.

【精彩点拨】　解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．

【自主解答】　

（1）原式＝

＝＝－cosα.

（2）原式＝

＝＝＝2－.

在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角（实质上是任意角），那么π－α，π＋α，2π－α，＋α，－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．

[再练一题]

2．

（1）化简：

；

（2）若a＝，求a2＋a＋1的值．

【解】　

（1）

＝＝

＝＝1.

（2）a＝

＝＝

＝＝1，

∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.

正切函数的图像及应用

　利用正切函数的图像作出y＝|tanx|的图像，并写出使y＝的x的集合．

【精彩点拨】　先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图．

【自主解答】　∵当x∈时，y＝tanx≤0，

当x∈时，y＝tanx>0，

∴y＝|tanx|＝

如图所示．

使y＝的x的集合为.

1．三点两线画图法

“三点”是指，（0,0），；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．

2．如果由y＝f（x）的图像得到y＝f（|x|）及y＝|f（x）|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f（x）（x≥0）的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f（|x|）（x≤0）的图像；同理只要作出y＝f（x）的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y＝|f（x）|的图像．

3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．

[再练一题]

3．求下列函数的定义域．

（1）y＝；

（2）y＝＋lg（1－tanx）．

【解】　

（1）由得

∴函数的定义域为.

（2）要使函数y＝＋lg（1－tanx）有意义．

则⇒0≤tanx<1.由正切函数的图像可得kπ≤x

[探究共研型]

正切函数的性质

探究1　正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？

【提示】　不是，正切函数的定义域是

.正切曲线在每一个开区间（k∈Z）上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．

探究2　函数y＝tanx的周期是多少？

y＝|tanx|的周期呢？

【提示】　y＝tanx的周期是π，y＝|tanx|的周期也是π.

探究3　函数y＝tanx的图像有什么特征？

【提示】　正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋（k∈Z）所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．

　已知f（x）＝－atanx（a≠0）．

（1）判断f（x）在x∈上的奇偶性；

（2）求f（x）的最小正周期；

（3）求f（x）的单调区间；

（4）若a>0，求f（x）在上的值域．

【精彩点拨】　通过f（－x）与f（x）的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a的符号．

【自主解答】　

（1）∵f（x）＝－atanx（a≠0），x∈，

∴f（－x）＝－atan（－x）＝atanx＝－f（x）．

又定义域关于原点对称，

∴f（x）为奇函数．

（2）f（x）的最小正周期为π.

（3）∵y＝tanx在（k∈Z）上单调递增，

∴当a>0时，f（x）在上单调递减，

当a<0时，f（x）在上单调递增．

（4）当a>0时，f（x）在上单调递减，

故x＝时，f（x）max＝－a，无最小值．

∴f（x）的值域为（－∞，－a]．

1．由函数的性质（如周期性、有界性、对称性）可指导我们画出函数的图像．

2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

[再练一题]

4．画出函数y＝tan|x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性．

【解】　由y＝tan|x|得，

y＝

根据y＝tanx的图像，作出y＝tan|x|的图像如图所示：

由图像可知，函数y＝tan|x|是偶函数．

单调增区间为：

，（k＝0,1,2,3，…）；

单调减区间为：

，（k＝0，－1，－2，－3，…）．

[构建·体系]

1．tan的值为（　　）

A．　　　　　　　　　B．－

C.D．－

【解析】　tan＝tan＝－tan＝－.

【答案】　D

2．函数y＝tan的定义域是（　　）

A．B．

C.D．

【解析】　由题意得x＋≠kπ＋，k∈Z，所以x≠kπ＋，k∈Z.

【答案】　D

3．已知角α的终边上一点P（－2,1），则tanα＝________.

【解析】　由正切函数的定义知tanα＝＝－.

【答案】　－

4．函数y＝tanx，x∈的值域是________.

【导学号：

66470023】

【解析】　函数y＝tanx在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan0＝0.

【答案】　[0,1]

5．求以下各式的值．

（1）7cos270°＋3sin270°＋tan765°；

（2）.

【解】　

（1）原式＝7cos（180°＋90°）＋3sin（180°＋90°）＋tan（2×360°＋45°）＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°

＝0－3×1＋1＝－2.

（2）原式＝

＝

＝＝2＋.

我还有这些不足：

（1）______________________________________________________________

（2）______________________________________________________________

我的课下提升方案：

（1）______________________________________________________________

（2）______________________________________________________________