数学建模上机实验卢丹.docx
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数学建模上机实验卢丹
数学建模与数学实验上机报告
电气0703卢丹070900305
1.某工厂计划生产I、II、III三种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗和利润如下表所列：
产品
资源
I
II
III
资源限制
设备
1
2
1
有效台时8台时
原材料A
4
0
2
A共有16桶
原材料B
0
4
2
B共有12桶
单位产品利润（千元）
2
3
2
问题：
（1）如何安排生产使盈利最大？
（2）计算对偶价格。
（3）若为了增加产量，可租用别的工厂设备，租金800元/台时，租用设备是否划算？
最多租用多少台时？
（4）若市场需求发生变化，生产产品I减少利润0.5千元，II增加0.4千元，此时生产计划是否需要改变？
（用灵敏度分析的方法求解）
求解：
（1）设三种产品的生产量分别是x1,x2,x3
目标函数为maxz=2000x1+3000x2+2000x3.
约束方程x1+2x2+x3<=8
4x1+2x3<=16
4x2+2x3<=12
x1,x2,x3都为正整数
所以模型为：
maxz=2000x1+3000x2+2000x3
x1+2x2+x3<=8
4x1+2x3<=16
4x2+2x3<=12
x1,x2,x3都为正整数
模型求解：
max=2000*x1+3000*x2+2000*x3;
x1+2*x2+x3<=8;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
end
计算结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
0
Objectivevalue:
15000.00
VariableValueReducedCost
X12.0000000.000000
X21.0000000.000000
X34.0000000.000000
（2）对偶结果：
RowSlackorSurplusDualPrice
115000.001.000000
20.0000001000.000
30.000000250.0000
40.000000250.0000
（3）租用设备的台时为x4
目标函数：
maxz=2000x1+3000x2+2000x3-800x4
约束条件：
x1+2*x2+x3<=8+x4;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
x1,x2,x3,x4都为正整数
模型为：
maxz=2000x1+3000x2+2000x3-800x4
x1+2*x2+x3<=8+x4;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
x1,x2,x3,x4都为正整数
模型求解：
max=2000*x1+3000*x2+2000*x3-800*x4;
x1+2*x2+x3<=8+x4;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
0
Objectivevalue:
15400.00
VariableValueReducedCost
X14.0000000.000000
X23.0000000.000000
X30.000000100.0000
X42.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
115400.001.000000
20.000000800.0000
30.000000300.0000
40.000000350.0000
（4）目标函数：
maxz=1500x1+3400x2+2000x3
约束条件：
x1+2x2+x3<=8
4x1+2x3<=16
4x2+2x3<=12
x1,x2,x3都为正整数
模型为：
maxz=1500x1+3400x2+2000x3
x1+2x2+x3<=8
4x1+2x3<=16
4x2+2x3<=12
x1,x2,x3都为正整数
模型求解：
max=1500*x1+3400*x2+2000*x3;
x1+2*x2+x3<=8;
4*x1+2*x3<=16;
4*x2+2*x3<=12;
结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
3
Objectivevalue:
14400.00
VariableValueReducedCost
X12.0000000.000000
X21.0000000.000000
X34.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
114400.001.000000
20.000000900.0000
30.000000150.0000
40.000000400.0000
2.钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出．从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm．现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种。
每切割一根钢管的费用为：
使用频率最高的切割模式的费用为一根钢管价值的1/10，使用频率次之的切割模式的费用为一根钢管价值的2/10，依此类推。
。
。
此外，为了少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm．为了使总费用最小，应如何下料？
解：
令d=（290，315，350，455）为四种产品的长度，n=（15，28，21，30）为4种产品的需求量，第i种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i,该模式共使用了xi次，切割模式的次序是按照使用频率从高到低排列的，引入0-1变量yi来表示第i种切割模式的使用情况；yi=1表示使用了第i种切割模式，yi=0表示未使用第i种切割模式，模型为：
约束条件为：
（i=1,2,3,4;j=1,2,3,4）
用MATLAB求解，见脚本。
求解结果：
只使用了3种切割模式，分别使用了9，7，3次。
一种方式生产产品各1，2，0，2根，第二种各0，1，3，1根，第三种各2，1，0，2根，目标函数值为19.6.
3、用Matlab求解微分方程的数值解，绘制时间曲线和在相空间中做出三维相轨线。
其中
给定初始值为
（1）
（2）
并作图说明此三维自治系统的平衡点（0，0，0）的稳定性.
解：
（1）x1（0）=x2（0）=x3（0）=0
a.建立M文件rigid.m如下：
functiondx=rigid（t,x）
dx=zeros（3,1）;
dx
（1）=-8/3*x
（1）+x
（2）*x（3）;
dx
（2）=-10*x
（2）+10*x（3）;
dx（3）=-x
（1）*x
（2）+28*x
（2）-x（3）;
b.取t0=0,tf=100,输入命令：
[T,X]=ode45（'rigid',[0100],[000]）;
plot（T,X（:
1）,'-',T,X（:
2）,'*',T,X（:
3）,'+'）
图形见脚本，由图可知，平衡点（0，0，0）是稳定的。
（2）x1（0）=x2（0）=0，x3（0）=0.1
a.建立M文件rigid.m如下：
functiondx=rigid（t,x）
dx=zeros（3,1）;
dx
（1）=-8/3*x
（1）+x
（2）*x（3）;
dx
（2）=-10*x
（2）+10*x（3）;
dx（3）=-x
（1）*x
（2）+28*x
（2）-x（3）;
b.取t0=0,tf=20,输入命令：
[T,X]=ode45（'rigid',[020],[000.1]）;
plot（T,X（:
1）,'-',T,X（:
2）,'*',T,X（:
3）,'+'）
所得图形见脚本，由图可知，平衡点（0，0，0）不稳定。
4．预测作战结果的Lanchester模型如下
其中x（t）y（t）表示甲、乙双方的兵力；u（t）,v（t）为甲乙双方的增援率；f（x,y）、g（x,y）分别为甲、乙双方的战斗减员率；
与
分别为甲、乙双方的非战斗减员率。
因此甲、乙的兵力变化率=-战斗减员率-非战斗减员率+增援率。
（1）如果双方都采用游击部队作战，则有理由认为游击队的战斗损失率应该与本方的人数成比例；且本方人数越多被敌人杀死的概率就越大。
因此设f（x,y）=-cxy，c为乙方每个士兵的杀伤率，c=rypy，ry为射击率，py为命中率，py=sry/sx，sx是甲方活动面积，sry是乙方射击有效面积。
同理，
分析在没有增援和忽略非战斗减员的情况下，甲乙双方的战斗结果。
（2）如果甲方是正规部队，乙方是游击队，分析分析在没有增援和忽略非战斗减员的情况下，甲乙双方的战斗结果。
（注：
正规部队的战斗减员函数为f（x,y）=-ay，g（x,y）=-by）
解：
（1）设
为双方战前的兵力。
两式相除，得
，
其解为
令
，上式可化为
当
，双方打成平局。
当
时，y方获胜。
当
时，x方获胜。
y方获胜的条件可以表示为
即初始兵力之比
以线性关系影响战斗的结局。
当双方的射击率
，
与有效射击面积
，
一定时，增加活动面积
与增加初始兵力
起着同样的作用。
（2）建立模型
其解为
，其中
经验表明，，只有当兵力
远远大于1时，正规部队x才能战胜游击队y。
当
时，甲方胜，此时
一般来说，正规部队以火力强而见长，游击队以活动灵活，活动范围大而见长。
这可以通过一些具体数据进行计算。
5.在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物
含量的数学模型，形式为
其中
是未知参数，
是三种反应物（氢，n戊烷，
异构戊烷）的含量，y是反应速度。
今测得一组数据如表4，试由
此确定参数
，并给出置信区间.
的参考值为
（1，0.05，0.02，0.1，2）
序号
反应速度y
氢x1
n戊烷x2
异构戊烷x3
1
8.55
470
300
10
2
3.79
285
80
10
3
4.82
470
300
120
4
0.02
470
80
120
5
2.75
470
80
10
6
14.39
100
190
10
7
2.54
100
80
65
8
4.35
470
190
65
9
13.00
100
300
54
10
8.50
100
300
120
11
0.05
100
80
120
12
11.32
285
300
10
13
3.13
285
190
120
解：
先建立非线性函数volum2.m
functionyhat=volum2（beta,x）
yhat=[beta
（1）*x
（2）-x（3）/beta（5）]/[1+beta
（2）*x
（1）+beta（3）*x
（2）+beta（4）*x（3）];
建立主程序function.m
x1=[470285470470470100100470100100100285285];
x2=[3008030080801908019030030080300190];
x3=[1010120120101065655412012010120];
X=[x1'x2'x3'];
y=[8.55003.79004.82000.02002.750014.39002.54004.350013.00008.50000.050011.32003.1300]';
beta0=[1,0.05,0.02,0.1,2]';
[beta.r.J]=nlinfit（X,y,'volum2',beta0）;
运行见脚本~~
结果为：
beta=1.434-0.0096-0.01620.04042.0178。
所以
，
，
，
，
6.在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，售货员逐个地接待顾客．当到来的顾客较多时，一部分顾客便须排队等待，被接待后的顾客便离开商店．设：
1．顾客到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布．
2.对顾客的服务时间服从[5,15]上的均匀分布．
3.排队按先到先服务规则，队长无限制．
假定一个工作日为8小时，时间以分钟为单位．
[1]模拟一个工作日内完成服务的个数及排队队列的平均长度．
[2]模拟100个工作日，求出平均每日完成服务的个数及每日排队队列的平均长度。
解：
设：
w：
总等待时间；
：
第i个顾客的到达时刻；
：
第i个顾客开始服务时刻；
：
第i个顾客服务结束时刻。
用MATLAB编程simu1.m：
clear
i=2;
w=0;
e（i-1）=0;
x（i）=exprnd（10）;
c（i）=x（i）;
b（i）=x（i）;
whileb（i）<=480
y（i）=unifrnd（5,15）;
e（i）=b（i）+y（i）;
w=w+b（i）-c（i）;
i=i+1;
x（i）=exprnd（10）;
c（i）=c（i-1）+x（i）;
b（i）=max（c（i）,e（i-1））;
end
i=i-2;
t=w/i
m=i
运行simu1.m，模拟出一个工作日内完成服务的顾客数
m=38人,
平均等待时间为t=20.5911min。
排队的平均队列长度为
。
将程序simu1.m修改得程序simu2.m如下:
clear
cs=100;
forj=1:
cs
j
w（j）=0;
i=2;
x（i）=exprnd（10）;
c（i）=x（i）;
b（i）=x（i）;
whileb（i）<=480
y（i）=unifrnd（5,15）;
e（i）=b（i）+y（i）;
w（j）=w（j）+b（i）-c（i）;
i=i+1;
x（i）=exprnd（10）;
c（i）=c（i-1）+x（i）;
b（i）=max（c（i）,e（i-1））;
end
i=i-2;
t（j）=w（j）/i;
m（j）=i;
end
pt=0;
pm=0;
forj=1:
cs
pt=pt+t（j）;
pm=pm+m（j）;
end
pt=pt/cs
pm=pm/cs
运行simu2.m，模拟出100个工作日平均每日服务顾客数pm=42人，平均等待时间为27.6545min。
排队的平均队列长度为
。
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