数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611Word下载.docx
《数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程第一章矢量分析与场论基础0511214611Word下载.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
sin日0cos日］
cos。
0sin日
■
010一
球坐标与柱坐标
球坐标与直角坐标
2）矢量及其运算：
直角坐标中算符I的定义:
ex
.:
x-y
一个标量函数u的梯度为:
u_uc
'
心二ex»
ey
梯度给出了一点上函数u随距离变化的最大速率，它指向u增大的方向。
一个矢量F穿过一个曲面S的通量’-：
为
屮=[FdS
S
对一个闭合曲面而言，ds向外为正。
直角坐标系中F的散度
Fy
■:
y
:
z
表示在这一点上每单位体积向外发散的F的通量。
散度定理：
散度的体积分=矢量的面积分
FdvFds
V-S
其中v是由S所包围的体积。
旋度的面积分=矢量的线积分
斯托克斯定理：
fF）ds—Fdl
其中s是由I所包围的面积。
直角坐标系中F的旋度
@.£
czLr
0?
◎一rcy〈
VxF=—
拉普拉辛是梯度的散度
在直角坐标系中:
2
■■?
u-u
22
；
uju
~~2:
x:
一个矢量的拉普拉辛定义为:
、2F八乍x?
x•'
、2Fy?
y\2FzeZ
其它坐标也可写成:
于Fx=可（可F）—可XVXF
柱坐标系中
r二zZ?
dr二dt?
!
亠edg：
dzez
dv二-:
d:
dz
—F-匕壬丄壬圭
PcP
Vx
\2uJ
-：
u
?
p
Fp
F:
.z
Fz
-2
-?
1：
2u：
2u
尹戸tz7
球坐标系中
dr=dr?
rdrsin刃?
dv二r2sin^drd巾‘
f▲r~\ar~\
"
弋耳1寺？
乔岂？
r2sin日
VF=
cr
Fr
rsin日
r
E
c0
rF日
rsin0F（p
r2sinv：
3）亥姆霍兹定理:
赴（•口£
U1du
（sinE—）*—222
&
日r2sin2日砂2
矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和
F二FeFl
其中
F=FlC・Fe=0）
可xF=可汇Fe（可汇F|=0）
因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究
4）二函数
宀勺I0（r式r'
）
疋乂：
6（r—r）=丿'
-一'
迂（r=r）
⑹甘）d-」0（F在v#）
vJ（r在v内）
性质a）偶函数:
、（x）—（-x）
b）取样性：
__f（X）、（x-a）dx二f（a）
有机会用到的表达式:
1-1.证明：
ab=（$9ey2-ez®
（$2色3ez4）
=18+6-24
说明A与B相互垂直
1-2.空白1-3.证明：
AB=AxBxAyByAzBz=0
1-4.解：
当坐标变量沿坐标轴由ui增至uidm时，相应的线元矢量dli为:
dli=（5duj-（Ui）
=?
其中弧长
3
其中二？
1X1X2X2X3X3二'
?
j?
j
1
则dli二hdui
1-5.解：
（1）据'
算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
、、（AB）二'
、（AcB）'
、（ABe）
其中Ac、Be暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式
a（bc）=（ac）b-（ab）c
将上式右端项的常矢轮换到'
的前面，使变矢都留在'
的后面
Ac二a、（AcB）二AcCB）（Ac\）B
Be=aI（A・Bc）=Bc（*■：
A）■（Be）A
则
l（AB）二AcCB）（Ach）BBc（'
、A）（Bc'
）A
除去下标c即可
、（AB）=ACB）（A）BBCA）（B人）A
⑵利用⑴式的结果即可。
（3）据I算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
l（EH）八（EcH）l（EHc）
再l算子的矢量性，并据公式
a（bc）=c（ab）=b（ca）
将常矢轮换到的前面
、（EcH）一EcCH）
Ec=a
-b
H=c
、（EHc）二HcCE）
He=a
■=b
E=c
代入得:
I（EH）=HcCE）-EcCH）
=HCE）-ECH）
1-6.
（1）证:
dAx；
udAy：
udAz:
”‘!
，~i-
du：
xdu：
ydu：
dA
du
证：
ia（u）二孰）欽
dy&
„:
Az;
Ay小„:
Ax;
AzAyAx
）@（）:
z:
x:
y
dAyr=cu兰）ex
右边第一项的x分量=ex（咚兰-
du&
ydutz
同理
du:
咚斗Yu少冏
du；
xdu
dAy；
瞠斗*u叫ez
ydu
-dA
、A（u）八u
Az「Ay
「cA）（————）
excycz
Ax:
Az—（—-—:
y:
x
丄（邑_邑）=0
z；
xry
1-7.
证:
IR
RRRR
-R二迅釦迅ey.至鱼
ex'
cy'
cz'
二釦一（y—y'
）釦=上
df
据公式'
f（uyu
■4—R
R2
R3
所以'
、-
R
-'
1二
-八1=0（梯度的旋度等于零）
R（-3）
、R
-3R
R5
=0
（R=0）
-3
-1
RC3）K'
R3R
=-V■
-0
1-8.解：
■E0sin（kr）LE°
人sin（kr）
=EocoSk（rp（kr）
二Eo（k、）rcoS<
（r）
二EokcoS<
、［Eosin（kr）］二、sinkr）Eo=cosk（r）kEo
上式左边:
c（nf）ds
s
cdv'
、f=
dvcCf）
v
利用矢量恒等式:
（fc）二（新；
f）c=cCf）
dvcCf）=dvi（fc）
vv
--—-NN-
=[（f^c），ds=q（f汇c）nds
二sc（nf）ds
因为c为任意常矢量，则
vdv'
f=sdsf
设c为任意常矢量，令F=c,代入Stokes定理
.；
、Fds二-lFdl
上式左边
]（:
c）ds=「和：
cds二-Ji：
dsc：
dscds
ss
=cdsP■-
上面用到：
a（bc）=b（ca）
右边
lFdl二；
l;
cdl=cIdl
则得：
c-psi二cfdl
因为c是任意的，所以
dsdl
sL
1-10.
据矢量场的散度定理
f▽Fdv=WFnds
Vs
令F-，'
和为空间区域中两个任意的标量函数
、、jmjdvisfds
〉（K2）dv=yS\Rv
所以J•i七t]dv=，：
汽‘-：
ds
vLs
1-11.函数F在M点的散度从它的定义推出
-qFds
、F=lim—
WiV
如图，考虑U2=c的两个端面
左端面位于u2，右端面位于u2du2
取曲面外法向为正，两个端面对
向外的通量的净贡献是
[FU?
2h1h3du1du3]u2du2[Fu?
2hlh3du1du3]
—（FU?
>
h1h3du1du2du3）-u?
=—（F2h1h3）du1du2du3-:
u2
同理其余两对面分别是
—（F1h2h3）du1du2du3
.u1
（F3h1h2）du1du2du3
即什，ds=[—（F』2h3）+—（F2hA）+—（F3h』2）]du1du2du3s:
u1:
u2:
u3
上式除以V二dv二gdu1du2du3
则矢量F的散度是
F（FhjhQ
.gijk:
U
可®
F）=?
（丄旦）+0（丄旦）+U3（丄旦）
hiCUih2和2h3CU3
Ui
x31:
f
=£
j~
yhi.:
ui
其中f八F
-\\f=1-'
、
gi
升级会员 