四年级奥数教程第6讲利用等差规律Word文件下载.docx

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=99÷

=34

3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？

=（1001-11）÷

5+1

=990÷

=

【例题2】有一等差数列：

3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

公差

=3+（100-1）×

4

=3+99×

=399

【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×

（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×

（100－1）=399.

【练习2】

1.一个等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

=3+（10-1）×

=3+9×

=21

2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

=1+（30-1）×

3

=1+29×

=88

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

=2+（100-1）×

=2+99×

=398

作业：

①熟背公式；

②P33页，随堂练习1三题；

P36页填空题1~5.作业写在练习本上！

书本不用带！

【例题3】有这样一个数列：

1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，

3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号的两个数的和都是

101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×

100÷

2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×

这个公式也叫做等差数列求和公式。

【练习3】计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50

（2）6+7+8+…+74+75

（3）100+99+98+…+61+60

【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

【思路】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

公差+1=（50－2）÷

2+1=25首项=2.末项=50，项数=25

等差数列的和=（2+50）×

25÷

2=650.

【练习4】计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22

（2）5+10+15+20+…++200

（3）9+18+27+36+…+261+270

【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

【思路】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。

因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1

=50

【练习5】用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－

（2000+1998+1996+1994）

（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

【例2】计算:

1+11+21+…+1991+2001+2011=第九届“希望杯”初赛第2题）

分析根据题意可知:

要求本题的和必须先求项数,根据项数（末项一首项）÷

公差+1,可求得项数再根据和=（首项+末项）×

2,可求得和

解项数=（2011-1）÷

10+1=201+1=202

1+11+21+…+1991+2001+2011能OE的

=（1+2011）×

202÷

=2012×

=203212

随堂练习1

计算

（1）1+3+5+…++=

项数=（末项-首项）÷

公差+1=（-1）÷

2+1=100总和=（首项+末项）×

2=（1+）×

2=10000

（2）81+79+…+13+11=

项数=（首项-末项）÷

公差+1=（81-11）÷

2+1=36总和=（首项+末项）×

2=（11+81）×

36÷

2=1656（3）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+

+2011）-（2+4+6+8+10+……+2010）

（1+3+5+7+9+……+2011）=1012036-1011030=1006…+2007-2008+2009-2010+2011=（1+3+5+7+9+……项数：

（末项-首项）÷

公差+1=（2011-1）÷

2+1=1006总和=（首项+末项）×

2=（1+2011）×

1006÷

2=1012036

（2+4+6+8+10+……+2010）=1011030

项数：

公差+1=（2010-2）÷

2+1=1005总和=（首项+末项）×

2=（2+2010）×

1005÷

2=1011030

【例3】编号是1,2,3,…,36的36名同学按编号顺序面向里站成一圈.第1次,编号是1的同学向后转;

第2次,编号是2、3的同学向后转;

第3次,编号是4、5、6的同学向后转……第36次,全体同学向后转，这时,面向里的同学还有几名？

1+2+3+4+5+……+36=（首项+末项）×

2=（1+36）×

2=666（次）

666÷

36=18（次）……18

36-18=18人

第1次向后转1个人,第2次向后转2个人,第3次向后转3个人……第35次向后转35个人.这时,向后转的同学总数为:

1+2+3+…+35=（1+35）×

35÷

2=630（名）可是,学生只有36名,所以630÷

36=17………18.这说明每个学

生向后转了17次后,各有18名同学面向里、面向外解1+2+3+…+35=（1+35）×

2=630（名）

630÷

36=17（次）…。

·

…18（名）

这时,面向里的同学还有18名.

第36次,全体同学向后转,这时,面向里的同学仍然是18名.了

【例4】某体育馆西侧看台有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位,体育馆西侧看台共有多少个座位?

30；

末项：

132；

公差：

第几项：

末项=首项+（项数-1）×

132=首项+（30-1）×

2，首项=132-58=74总和=（首项+末项）×

2=（74+132）×

30÷

2=3090分析要求这30个数的和,必须知道第一排的座位数,而最后一排座位数是由第一排座位数加上（30+1）×

2得出来的,这样就可

以求出第一排的座位数.“

解第一排座位数为子限的年:

xx得

（30-1）

12-58-74（个）,÷

（首一页末）

所以

（74+132）×

2=206×

2=3090（个

答西侧看台共有3090个座位.

随堂练习2

（1）按一定规律排列的算式:

4+2,5+8,6+14,7+20,8+26…,那么第100个算式是什么?

P35页：

随堂练习3:

1,2两题；

P37页：

选择题7，8,9,10全写，简答题：

11,12,14,15

【例5】学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他选手赛1场

（1）若有20人参赛,那么一共要进行多少场选拔赛?

19+18+17+16+……+1=（首项+末项）×

2=（19+1）×

19÷

2=190（场）

（2）若一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78

12+1=13人

分析设20个选手分别是

A1,A2,A

顺序分析比赛场次

A20,我们从选手A1开始按

A1必须和A2,A3,A4,…,A20这19人各赛1场,共计19场;

诗得A2已和A1赛过,他只需和A3,A4,A5,…,A2这18名选手各赛1场,共计18场;

A3已和A1,A2赛过,他只需与A4,A5,A6,…,A20这17名选手

各赛1场,共计17场

依次类推,最后,A只能和A20赛1场

然后对各参赛选手的场次求和即可.

解

（1）这20名选手一共需赛

19+18+17+…+2+1=（19+1）×

（2）设参赛选手有n人,则比赛场次是

平,

平是

去1+2+3+…+（n-1）,长一民不

根据题意有

平1的不

1+2+3+…+（n-1）=78

经过试验可知

1+2+3+….羊12=78,

（“:

于是

n-1=12,n2=13

所以,一共有13人参赛

说明

（1）也可这样想:

20人每人都要赛19场,但“甲与乙”、“乙与甲”只

能算一场,因此,共进行20×

2=190（场）比赛.曾5所次:

米资

（2）采用了试验法,这是一种很实用的方法,希望同学们能熟练掌握.

随堂练习3

（1）有12个同学聚会,如果见面时每个人都和其余的人握手1次,那么一共握手多少次?

1+2+3+4+5+……+10+11=66次

公差+1=（11-1）÷

1+1=11总和=（首项+末项）×

2=（1+11）×

11÷

2=66

（2）聚会结束时,统计出一共握手36次,如果参加聚会的每个人都和其他人握手1次,问:

有多少人参加聚会?

36=1+2+3+4+5+6+7+8

8+1=9人

填空题

1、0+1+2+……+100+101=

公差+1=（101-1）÷

2+1=51总和=（首项+末项）×

2=（1+101）×

51÷

2=51512、2+5+8+……+299=

公差+1=（299-2）÷

3+1=100总和=（首项+末项）×

2=（2+299）×

2=150503、（7+9+11+…+23+25）-（5+7+9+11+…+23）=160-140=20

（7+9+11+…+25）=160

公差+1=（25-7）÷

2+1=10总和=（首项+末项）×

2=（7+25）×

10÷

2=160（5+7+9+…+23）=140

公差+1=（23-5）÷

2=（5+23）×

2=1404、在1~100这100个自然数中,能被3整除的数的和是：

3+6+9+12+……+99=1683

公差+1=

2=

5、1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+1997-1998-1999+2000=0

6、现有10个盒子,用下面方法往盒中装小球儿:

第1个盒装1个,第2个盒装4个,第3个盒装7个………照这样的装法,则将10个盒都装完,共需几个小球.

三、选择题

（⑦）将下面两个式子的结果进行比较,得到的结论是（A）

（1）（2+4+6+…+100）-（1+2+3+…·

+48+49+50）;

（2）（1+3+5+…+99）-（50+49+48+…+3+2+1）

（A）

（1）式比

（2）式多50

（B）

（2）式比

（1）式多50

（C）

（1）式等于

（2）式

（D）以上答案都不对

（8如果1,a

2,a

3,a

4,25组成等差数列,那么a3是（B）（A）11

（B）13

（C）15

（D）175

25=1+（5-1）×

公差公差=6

（9有一本书共169页,小明第一天看了1页,以后每天都比前一天多看2页,则看完这本书需用（）试数法

（A）12天

（B）13天

（C）14天

（D）29天

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25=169（25-1）÷

2+1=13

10某班共买来66本课外书,把它们分别放在书架上,每次摆放都是下面层比上面一层多放1本书,则至多要放的层数为（C）（A）9

（B）10

（C）11

D）12

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66

简答题

①计算:

880-3-6-9-…-57

=880-（3+6+9+12+15+……+57）

=880-570=310

3+6+9+12+15+……+57=（3+57）×

2=570

（57-3）÷

3+1=19

2

（1）所有两位偶数的和是多少?

10+12+14+16+18+……+96+98=（10+98）×

45÷

2=2430项数：

（98-10）÷

2+1=45

（2）所有除以3余2的两位数的和是多少?

11+14+17+20+23……+95+98=（11+98）×

2=1635项数：

（98-11）÷

3+1=30

13已知数列5,7,1117,,按照前几项的规律,写出该数列的第项

14小青蛙沿着台阶往上跳,每跳一次都比上一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳,这一处称为小青蛙的第一个落脚点,如果它的第100个落脚点正好在台阶尽头的亭子,那么这个亭子距地面多少厘米?

10+（100-1）×

4=406厘米

15时钟一点敲1下,两点敲2下,依次类推,十二点时敲12下,半点时敲1下。

（1）从1点到5点共敲多少下?

1点：

1；

2点：

2；

3点：

3；

4点：

4；

5点：

5；

1点半：

2点半：

3点半：

4点半：

15+4=19下

（2）一昼夜共敲多少下?

整点：

……12点，12；

1+2+3+4……+12=78次

半点：

0点半：

……11点半，1；

一共12次

78+12=90次

一昼夜共敲：

90×

2=180次

P40：

随堂练习1

（1），

（2），P41随堂练习2:

1题；

P45页练习题：

1,2,3,4，11