二元一次方程组与一次函数专题训练难题.docx

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二元一次方程组与一次函数专题训练难题

二元一次方程组与一次函数专题训练

一．解答题（共12小题）

1．（2011?

葫芦岛）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮

盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．

（1）乙车的速度为千米/时；

（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；

（4）当两车相距300千米时，求t的值．

2．（2009?

台州）如图，直线l1：

y=x+1与直线l2：

y=mx+n相交于点P（1，b）．

1）求b的值；

2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；

3）直线l3：

y=nx+m是否也经过点P？

请说明理由．

3．已知函数y=kx+b的图象过点A（﹣1，2），B（3，0）

（1）求直线AB的解析式；

（2）在给出的直角坐标系中，画出y=|x|和y=kx+b的图象，并根据图象写出方程组的解．

4．用图象法求下面二元一次方程组的近似解．

请写出这个二元

5．如下面第一幅图，点A的坐标为（﹣1，1）

（1）那么点B，点C的坐标分别为

2）若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解．

（3）任取

（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D；

（4）在下面第一幅图中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系

是，点D与直线AB的位置关系是．

5）若把直线AB叫做

（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组中两个二元一次

方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现．

6．在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．

（1）试求a的值；

（2）试问（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；

（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？

试试看；

（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？

若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．

，根据以上信息解答下

7．如图，已知直线l1：

y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：

y=mx+n交于点P（﹣2，列问题：

8．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4的图象，如图所示

（1）在同一坐标系中，作出一次函数y=2x﹣5的图象；

2）用作图象的方法解方程组：

9．二元一次方程x﹣2y=0的解有无数个，其中它有一个解为，所以在平面直角坐标系中就可以用点（2，1）

表示它的一个解，

（1）请在下图中的平面直角坐标系中再描出三个以方程x﹣2y=0的解为坐标的点；

（2）过这四个点中的任意两点作直线，你有什么发现？

直接写出结果；

（3）以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象．想一想，方程x﹣2y=0的图象是什么？

（直

接回答）

（4）由（3）的结论，在同一平面直角坐标系中，画出二元一次方程组的图象（画在图中）、由这两个

二元一次方程的图象，能得出这个二元一次方程组的解吗？

请将表示其解的点P标在平面直角坐标系中，并写出它

的坐标．

10．在平面直角坐标系中，一次函数

y=ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，

与直线y=kx交于点P，且PO=PA，

1）求a+b的值．

2）求k的值．

3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标．

11．学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：

（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？

（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？

12．如图，直线l1：

y=x+1与直线l2：

y=mx+n相交于点P（2，b）

（1）求b的值；

（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；

（3）直线l3：

y=nx+2m﹣n是否也经过点P，请说明理由．

元一次方程组与一次函数专题训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．（2011?

葫芦岛）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮

盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．

（1）乙车的速度为120千米/时；

（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；

（4）当两车相距300千米时，求t的值．

考点：

一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）．1097869

专题：

数形结合．

分析：

（1）根据点（1，120）在乙的函数关系式上可得乙车的速度；

（2）根据甲的函数关系式为一次函数解析式，乙的函数关系式为正比例函数解析式，找到相应的点代入即可求得相应的函数解析式；

（3）让甲的函数关系式的t=0即可求得两城之间的距离，让两个函数解析式的y相等即可求得两车相遇时t的值；

（4）让甲的函数关系式减去乙的函数关系式为300或乙的函数关系式减去甲的函数关系式为300即可求得

所求的时间．

解答：

解：

（1）120÷1=120千米/时，故答案为120；（1分）

（2）设s甲与t的函数关系为s甲=k1t+b，

∵图象过点（3，60）与（1，420），

∴

解得

∴s甲与t的函数关系式为s甲=﹣180t+600．（4分）

设s乙与t的函数关系式为s乙=k2t，

∵图象过点（1，120），

∴k2=120．

∴s乙与t的函数关系式为s乙=120t．（5分）（3）当t=0，s甲=600，

∴两城之间的路程为600千米．（6分）

∵s甲=s乙，即﹣180t+600=120t，解得t=2．

∴当t=2时，两车相遇．（8分）（4）当相遇前两车相距300千米时，s甲﹣s乙=300，

即﹣180t+600﹣120t=300，解得t=1．（9分）

当相遇后两车相距300千米时，s乙﹣s甲=300，

即120t+180t﹣600=300．

解得t=3．（10分）

点评：

考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用；得到两个函数的关系式是解决本题的突

破点；用数形结合的方法判断出所求值与得到函数关系式的关系是解决本题的难点．

2．（2009?

台州）如图，直线l1：

y=x+1与直线l2：

y=mx+n相交于点P（1，b）．

（1）求b的值；

（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；

（3）直线l3：

y=nx+m是否也经过点P？

请说明理由．

考点：

一次函数与二元一次方程（组）．1097869

专题：

数形结合．

分析：

（1）将交点P的坐标代入直线l1的解析式中便可求出b的值；

（2）由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此把函数交点的横坐标当作x的值，

坐标当作y的值，就是所求方程组的解；

（3）将P点的坐标代入直线l3的解析式中，即可判断出P点是否在直线l3的图象上．

解答：

解：

（1）∵（1，b）在直线y=x+1上，

∴当x=1时，b=1+1=2；

（3）直线y=nx+m也经过点P．理由如下：

∵点P（1，2），在直线y=mx+n上，

∴m+n=2，

∴2=n×1+m，这说明直线y=nx+m也经过点P．

点评：

本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上点，就定满足函数解析式．

3．已知函数y=kx+b的图象过点A（﹣1，2），B（3，0）

的解．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在给出的直角坐标系中，画出y=|x|和y=kx+b的图象，并根据图象写出方程组

考点：

待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数与二元一次方程

（组）．1097869

分析：

（1）设直线AB的解析式为：

y=kx+b（k≠0），利用待定系数法把A（﹣1，2），B（3，0），代入函数解析

式，即可得到关于k、b的方程组，再解方程组即可；

2）首先画出函数y=|x|和y=﹣x+的图象，两函数图象的交点就是方程组

解答：

解：

（1）设直线AB的解析式为：

y=kx+b（k≠0），

∵图象过点A（﹣1，2），B（3，0），

点评：

此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及方程组与函数的关系，解决问题的关键是掌握方程组与函数的关系，方程组的解就是两函数图象的交点坐标．

4．用图象法求下面二元一次方程组的近似解．

考点：

一次函数与二元一次方程（组）．1097869

专题：

作图题；数形结合．

分析：

两条直线的交点坐标应该是这个二元一次方程组的解．先根据方程组求出两直线的解析式，并画出图象（如图），方程3x﹣y=6的解析式是y=3x﹣6，经过（2，0）、（3，3）两点，方程x+y=4的解析式是y=4﹣x，经过（2，2）、（3，1）两点，两条直线的交点坐标（2，2）应该是这个二元一次方程组的解．

解答：

解：

方程3x﹣y=6的解析式是y=3x﹣6，经过（2，0）、（3，3）两点，

方程x+y=4的解析式是y=4﹣x，经过（2，2）、（3，1）两点，画出两条直线的图象，如图，两条直线的交点坐标是（2，2），所以这个二元一次方程组的解为是

（2，2）．

点评：

本题主要考查了一次函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

5．如下面第一幅图，点A的坐标为（﹣1，1）

请写出这个二元

（1）那么点B，点C的坐标分别为（﹣2，2），（0，0）

2）若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解．

（3）任取

（2）中方程的又一个解（不与前面的解雷同），将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在下面第一幅图中描出点D；

（4）在下面第一幅图中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系

是重合，点D与直线AB的位置关系是点D在直线AB上．

中两个二元

5）若把直线AB叫做

（2）中方程的图象，类似地请在备用图上画出二元一次方程组

方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现．

考点：

一次函数与二元一次方程（组）．1097869专题：

综合题．

分析：

（1）由题意，先建立合适的坐标系，再求得点B，点C的坐标；

（2）由

（1）写出两个解，再写出这个二元一次方程，并检验点C的坐标是否是这个二元一次方程的解；

（3）先找到点D的坐标，再描出点D；

（4）分别作出直线AB、AC，然后再判断两条直线的位置关系以及点D和直线AB的位置关系；

（5）通过描点、连线作出两个二元一次方程的图象，可发现两条直线的交点坐标恰好是方程组的解．

解答：

解：

（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），∴点B的坐标为（﹣2，2），点C的坐标为（0，0）；

，

2）

，这个二元一次方程为x+y=0，

∵0+0=0，∴点C的坐标值是它的解；

3），点D的坐标为（1，﹣1），4）由（3）题图知，直线AB与直线AC重合，点D在直线AB上；

（5）如图：

直线x+y=4与直线x﹣y=﹣2的交点为：

（1，3）；

将x=1，y=3代入原方程组知，是原方程组的解；

因此二元一次方程组的解，是方程组中两个一次函数图象的交点坐标．

点评：

此题实际考查的是用图象法解二元一次方程组的方法，比较简单．

6．在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．

（1）试求a的值；

（2）试问（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；

（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？

试试看；

（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？

若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．

考点：

一次函数与二元一次方程（组）．1097869

专题：

开放型．

分析：

（1）由于P是两个函数的交点，因此可将P点坐标代入直线L1的解析式中，求出a的值．

（2）由于直线L2过原点，因此一次函数L2是个正比例函数，根据P点坐标，可确定其解析式．联立两个直线解析式所组成的方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．

（3）根据直线L1的解析式，可求出A点坐标；以OA为底，P点纵坐标绝对值为高，可求出△OAP的面积．

（4）若点M到x轴、y轴的距离相等，那么点M的坐标有两种情况：

①横坐标与纵坐标相等；②横坐标与纵坐标互为相反数；因此本题要分情况讨论．

解答：

解：

（1）把（﹣2，a）代入y=2x﹣1，得：

﹣4﹣1=a，解得a=﹣5．

（2）由

（1）知：

点P（﹣2，﹣5）；则直线L2的解析式是y=x；

（3）直线L1与x轴交于点A（

，0），

所以S△APO=××5=．

（4）存在点M，使得点M到x

轴和y轴的距离相等

设点M的坐标为（a，b）；

①当a=b时，点M的坐标为（a，a）；代入y=2x﹣1得：

考点：

一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．1097869专题：

计算题；数形结合．

分析：

（1）因为（﹣2，a）在直线y=3x+1上，可求出a=﹣5；由点P（﹣2，﹣5）在直线y=mx+n上，可得﹣2m+n=﹣5，将P点横坐标﹣2代入y=﹣nx﹣2m，得y=﹣n×（﹣2）﹣2m=﹣2m+n=﹣5，这说明直线l3也经过

点P；

的解就是P点的坐标；

（2）因为直线y=3x+1直线y=mx+n交于点P，所以方程组

（3）因为直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x>3，所以直线l2过点（3，0），又有直线l2过点P（﹣2，﹣5），可得关于m、n的方程组，解方程组即可．

解答：

解：

（1）∵（﹣2，a）在直线y=3x+1上，

∴当x=﹣2时，a=﹣5（2分）

直线y=﹣nx﹣2m也经过点P，

∵点P（﹣2，﹣5）在直线y=mx+n上，

∴﹣2m+n=﹣5，

∴将P点横坐标﹣2代入y=﹣nx﹣2m，得y=﹣n（×﹣2）﹣2m=﹣2m+n=﹣5，这说明直线l3也经过点P（．4分）

2）解为．（6分）

（3）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x>3∴直线l2过点（3，0），（7分）又∵直线l2过点P（﹣2，﹣5）

∴

∴直线l2的函数解析式为y=x﹣3．（9分）

点评：

用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想，题出的比较好．

8．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4的图象，如图所示

（1）在同一坐标系中，作出一次函数y=2x﹣5的图象；

2）用作图象的方法解方程组：

考点：

一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的图象．1097869

专题：

计算题．

分析：

（1）正确画出一次函数的图象；

（2）先画出一次函数y=2x﹣5的图象，根据两图象即可得出答案；

（3）先求出直线y=﹣x+4与一次函数y=2x﹣5的图象与x轴的交点，根据面积公式即可得答案．

解：

解答：

三角形面积=×|4﹣|×1

9．二元一次方程x﹣2y=0的解有无数个，其中它有一个解为，所以在平面直角坐标系中就可以用点（2，1）

表示它的一个解，

（1）请在下图中的平面直角坐标系中再描出三个以方程x﹣2y=0的解为坐标的点；

（2）过这四个点中的任意两点作直线，你有什么发现？

直接写出结果；

（3）以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象．想一想，方程x﹣2y=0的图象是什么？

（直

接回答）

（4）由（3）的结论，在同一平面直角坐标系中，画出二元一次方程组的图象（画在图中）、由这两个二元一次方程的图象，能得出这个二元一次方程组的解吗？

请将表示其解的点P标在平面直角坐标系中，并写出它的坐标．

考点：

一次函数与二元一次方程（组）．1097869

专题：

综合题．

分析：

（1）先解出方程x﹣2y=0的三个解，再在平面直角坐标系中利用描点法解答；

（2）根据

（1）的图象作答；

（3）由方程x﹣2y=0变形为y=，即正比例函数，根据正比例函数图象的性质回答；

（4）在平面直角坐标系中分别画出x+y=1、2x﹣y=2的图象，两个图象的交点即为所求．

解答：

解：

（1）二元一次方程x﹣2y=0的解可以为：

、

、

、

所以，以方程x﹣2y=0的解为坐标的点分别为：

（2，1）、（4，2）、（1，）、（3，），

（2）由

（1）图，知，四个点在一条直线上；

（3）由原方程，得y=，

∵以方程x﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y=0的图象，∴方程x﹣2y=0的图象就是正比例函数y=的图象，

∵正比例函数y=的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线，

∴方程x﹣2y=0的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线；

（4）①对于方程x+y=1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=0；所以方程x+y=1经过（0，1），（1，0）这两点；

的图象如下所示：

②对于方程2x﹣y=2，当x=0时，y=﹣1；当y=0时，x=1；所以方程x+y=1经过（0，﹣1），（1，0）这两点；综合①②，在平面直角坐标系中画出的二元一次方程组

点评：

本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象，题目比较长，要注意耐心解答．

10．在平面直角坐标系中，一次函数

y=ax+b的图象过点

﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，

与直线y=kx交于点P，且PO=PA，

1）求a+b的值．

2）求k的值．

3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标．

考点：

一次函数与二元一次方程（组）．1097869

专题：

计算题；数形结合；待定系数法．

分析：

（1）根据题意知，一次函数y=ax+b的图象过点B（﹣1，）和点A（4，0），把A、B代入求值即可；

（2）设P（x，y），根据PO=PA，列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组；

解答：

（3）设点D（x，﹣+2），因为点E在直线y=上，所以E（x，），F（x，0），再根据等量关系DE=2EF列方程求解．

解：

（1）根据题意得：

，

解方程组得：

∴a+b=﹣+2=，即a+b=；

y=kx上，

（2）设P（x，y），则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线由

（1）得：

一次函数y=ax+b的解析式是y=﹣+2，

又∵PO=PA，

解方程组得：

，

∴k的值是；

（3）设点D（x，﹣+2），则E（x，），F（x，0），

∵DE=2EF，

∴=2×，

解得：

x=1，

则﹣+2=×1+2=，

∴D（1，）．

点评：

本题要求利用图象求解各问