第三章 第4节 41 第1课时.docx

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第三章第4节41第1课时

§4　简单线性规划

4.1　二元一次不等式（组）与平面区域

第1课时　二元一次不等式与平面区域

学习目标

　1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式表示的平面区域．

知识点一　二元一次不等式（组）的概念

思考　对于只含有一个未知数的不等式x<6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x－y<6，你能类似地举出一个解吗？

答案　含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y的取值，例如

也可写成（0，0）．

梳理　

（1）含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．

（2）由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．

（3）满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）称为二元一次不等式（组）的一个解．

（4）所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．

知识点二　二元一次不等式表示的平面区域

（1）在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0（或<0）表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．

不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．

（2）对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C，所得值的符号都相同．

（3）在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点（x0，y0）作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0（或<0）表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

1．x>1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x＝1右侧．（√）

2．若（x1，y1），（x2，y2）分别位于直线Ax＋By＋C＝0两侧，则（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）<0.（√）

3．点（1，2）不在2x＋y－1>0表示的平面区域内．（×）

类型一　二元一次不等式解的几何意义

例1　已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

答案　（－7，24）

解析　点（3，1）和（－4，6）必有一个是3x－2y＋a＞0的解，另一个点是3x－2y＋a<0的解．

∴

或

即（3×3－2×1＋a）[3×（－4）－2×6＋a]<0，

（a＋7）（a－24）<0，解得－7

反思与感悟　对于直线l：

Ax＋By＋C＝0两侧的点（x1，y1），（x2，y2），若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C<0，即同侧同号，异侧异号．

跟踪训练1　经过点P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

解　由题意知直线l的斜率存在，设为k.

则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，

由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，

所以有（k＋1）（2k－2）≤0，所以－1≤k≤1.

类型二　二元一次不等式表示的平面区域

命题角度1　给不等式画平面区域

例2　画出不等式x＋4y<4表示的平面区域．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法

解　先作出边界x＋4y＝4，

因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，

所以画成虚线．取原点（0，0），代入x＋4y－4，

因为0＋4×0－4＝－4<0，

所以原点（0，0）在x＋4y－4<0表示的平面区域内，

所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．

所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示．

反思与感悟　画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C≠0时，常把原点（0，0）作为测试点，当C＝0时，常把（0，1）或（1，0）作为测试点．

跟踪训练2　不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的（　　）

A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法

答案　B

解析　在平面直角坐标系中画出（图略）直线x－2y＋6＝0，

观察图像知原点在直线的右下方，将原点（0，0）代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点（0，0）在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.

命题角度2　给平面区域写不等式

例3　如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为________．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　x＋2y－2<0

解析　过点（2，0）和（0，1）的直线方程为

＋y＝1，

即x＋2y－2＝0.代入（0，0）有0＋2×0－2＝－2<0，

∴阴影部分表示的区域满足x＋2y－2<0.

反思与感悟　用不等式表示平面区域的步骤

（1）利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程．

（2）将平面区域内的特殊点代入直线方程，判断不等号的方向．

（3）结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式．

跟踪训练3　将下列各图中平面区域（阴影部分）用不等式表示出来．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

解　

（1）－2

（2）2x＋y>0.

（3）x－y－2<0.

1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是（　　）

A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

答案　D

解析　将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点（2，0）代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.

2．不等式x＋3y－2≥0表示直线x＋3y－2＝0（　　）

A．右上方的平面区域

B．左下方的平面区域

C．右上方的平面区域（包括直线本身）

D．左下方的平面区域（包括直线本身）

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的的平面区域的判定

答案　C

解析　代入（0，0），0＋3×0－2<0，故x＋3y－2≥0表示的区域与（0，0）分布在直线两侧．

3．已知点（－1，2）和点（3，－3）在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是（　　）

A．（－1，6）B．（－6，1）

C．（－∞，－1）∪（6，＋∞）D．（－∞，－6）∪（1，＋∞）

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

答案　A

解析　由题意知，（－3＋2－a）（9－3－a）<0，

即（a＋1）（a－6）<0，∴－1

4．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．

（1）x－2y＋4≥0；

（2）y>2x.

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法

解　

（1）画出直线x－2y＋4＝0，

∵0－2×0＋4＝4>0，

∴x－2y＋4>0表示的区域为含（0，0）的一侧，因此所求为如图阴影部分所示的区域，包括边界．

（2）画出直线y－2x＝0，

∵0－2×1＝－2<0，

∴y－2x>0（即y>2x）表示的区域为不含（1，0）的一侧，因此所求为如图阴影部分所示的区域，不包括边界．

1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0（或<0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，

（1）Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；

（2）Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．

2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．

一、选择题

1．下列选项中与点（1，2）位于直线2x－y＋1＝0的同一侧的是（　　）

A．（－1，1）B．（0，1）C．（－1，0）D．（1，0）

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

答案　D

解析　∵2×1－2＋1＝1＞0，

∴点（1，2）位于2x－y＋1＞0表示的平面区域内，而四个点（－1，1），（0，1），（－1，0），（1，0）中只有（1，0）满足2x－y＋1＞0.

2．设点P（x，y），其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为（　　）

A．10B．9C．3D．无数个

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

答案　A

解析　作

的平面区域．

如图所示，符合要求的点P的个数为10.

3．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是（　　）

A．（2，0）B．（－1，2）

C．（1，1）D．（－1，1）

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　D

解析　将点（－1，1）代入3x＋5y<4，得2<4，所以点（－1，1）在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.

4．已知点M（2，－1），直线l：

x－2y－3＝0，则（　　）

A．点M与原点在直线l的同侧

B．点M与原点在直线l的异侧

C．点M与原点在直线l上

D．无法判断点M及原点与直线l的位置关系

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　B

解析　因为2－2×（－1）－3＝1>0，0－2×0－3＝－3<0，所以点M与原点在直线l的异侧，故选B.

5．点A（－2，b）不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是（　　）

A．b≤

B．b<1

C．b＞

D．b＞－9

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　C

解析　依题意知，点A（－2，b）满足2x－3y＋5<0，

∴2×（－2）－3b＋5<0，即b＞

.

6．在平面直角坐标系中，若点（－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（1，＋∞）

C．（－1，＋∞）D．（0，1）

答案　B

解析　将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中，得y＝1.因为点（－2，t）在直线上方，∴t>1.

7．若点（m，1）在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1B．m≤1

C．m<1D．m>1

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　D

解析　由2m＋3－5>0，得m>1.

二、填空题

8．原点与点（1，1）有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　（－1，0]

解析　根据题意，分以下两种情况：

①原点（0，0）在该区域内，点（1，1）不在该区域内，

则

无解；

②原点（0，0）不在该区域内，点（1，1）在该区域内，

则

∴－1

综上所述，－1

9．如图所示的区域用不等式可表示为__________________．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　5x－2y＋10>0

解析　过（－2，0），（0，5）的直线方程为

＋

＝1，

即5x－2y＋10＝0.

代入（0，0）：

5×0－2×0＋10>0，

∴（0，0）所在区域为5x－2y＋10>0.

10．若点（1，3）和（－4，2）在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________________．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　（－5，6）

解析　依题意有（2×1＋3＋m）[2×（－4）＋2＋m]<0，

即（m＋5）（m－6）<0，解得－5

11．若点P（m，3）到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　－3

解析　由点P（m，3）到直线4x－3y＋1＝0的距离

d＝

＝4，得m＝7或m＝－3.

又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，

当m＝－3时，点P的坐标为（－3，3），

则2×（－3）＋3－3<0，符合题意；

当m＝7时，点P的坐标为（7，3），

则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．

综上，m＝－3.

三、解答题

12．画出下列不等式表示的平面区域．

（1）3x－y>0；　　　

（2）y≤－2x＋3.

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法

解　

（1）画出直线3x－y＝0（画成虚线），将点（1，0）代入3x－y，得3×1－0>0，所以不等式3x－y>0表示的平面区域与点（1，0）位于直线3x－y＝0的同侧，如图①所示．

（2）将y≤－2x＋3变形得2x＋y－3≤0，先画出直线2x＋y－3＝0（画成实线）．将点（0，0）代入2x＋y－3得－3<0，所以2x＋y－3≤0表示的区域与点（0，0）位于直线2x＋y－3＝0的同侧，如图所示．

13．已知两条平行直线l1：

6x－8y＋1＝0，l2：

3x－4y＋5＝0.

（1）用不等式表示夹在l1，l2之间的平面区域（包括边界）；

（2）点B（5，b）在l1，l2的同侧，求b的取值范围．

考点　二元一次不等式（组）

题点　用二元一次不等式（组）表示平面区域

解　

（1）直线l1，l2如图所示，

l1上方的区域可用6x－8y＋1<0表示，

l2下方的区域可用3x－4y＋5>0表示．

所以夹在l1，l2之间的平面区域（包括边界）可表示为

（2）当x＝5时，6×5－8y＋1＝0，y＝

，

3×5－4y＋5＝0，y＝5.

所以要使B（5，b）在l1，l2的同侧，b<

或b>5.

所以b的取值范围为

.

四、探究与拓展

14．已知点P（1，－2）及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是__________________．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定

答案　

∪

解析　P（1，－2）关于（0，0）的对称点为（－1，2），

依题意有[2－b·（－2）＋1][2×（－1）－b·2＋1]≤0，

即（2b＋3）（－1－2b）≤0，

≥0，

所以b≤－

或b≥－

.

15．设满足y≥|x－a|的点（x，y）的集合为A，满足y≤|x|＋b的点（x，y）的集合为B，其中a，b是正数，且A∩B≠∅.

（1）a，b之间有什么关系？

（2）求A∩B表示的图形的面积．

考点　二元一次不等式（组）表示的平面区域

题点　二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法

解　

（1）画出y≥|x－a|及y≤|x|＋b表示的区域（如图

（1）所示）．可知，若A∩B≠∅，则b≥a（如图

（2）所示）．

（1）　　　　　　　　　　

（2）

（2）当b＞a时，A∩B表示一矩形区域，各边所在直线方程分别为x－y－a＝0，x－y＋b＝0，x＋y－a＝0，x＋y－b＝0，

∴矩形两边长分别是两平行线间的距离，即d1＝

，d2＝

，

∴S矩形＝d1·d2＝

＝

.

当b＝a时，面积为0.综上所述，所求面积S＝

（b2－a2）．