一元二次方程提升专题培训含问题详解.docx
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一元二次方程提升专题培训含问题详解
第三讲：
一元二次方程的综合应用（10月5日）
1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A．32B．126C．135D．144
3．如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．21cm2B．16cm2C．24cm2D．9cm2
4．如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
5．若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程
x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足
+
=﹣1，则m的值是（ ）
A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1
7．若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．10C．9或10D．8或9或10
8．已知α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，且α≠β，则αβ+α+β的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．0
9．若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2
+
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2006B．2007C．2008D．2009
11．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0B．1C．2000D．4000000
12．若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，且x12+x22=7．那么b的值是（ ）
A．1B．﹣7C．1或﹣7D．7或﹣1
13．如果关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则a+β的取值范围是（ ）
A．α+β≥1B．α+β≤1C．α+β≥
D．α+β≤
二．解答题（共3小题）
14．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？
证明你的结论．
15．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：
（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
16．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣
成立？
若存在，求出k的值；
若不存在，请您说明理由．
（2）求使
+
﹣2的值为整数的实数k的整数值．
17．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣
）=0．
（1）求证：
无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
18．阅读材料：
已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，求
的值．
解：
由p2﹣p﹣1=0及1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴
∴1﹣q﹣q2=0可变形为
的特征．所以p与
是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根．则
，∴
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：
2m2﹣5m﹣1=0，
，且m≠n．求：
的值．
参考答案与试题解析
1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．
【解答】解：
依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2﹣b﹣1=0，
∴b=
，而b不能为负，
∴b=
．
故选B．
【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
2．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A．32B．126C．135D．144
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【解答】解：
根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：
x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，
解得：
x1=8，x2=﹣24，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：
8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：
15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：
22，23，24，
故这9个数的和为：
8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
3．如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．21cm2B．16cm2C．24cm2D．9cm2
【分析】本题可设AB=xcm，AD=（10﹣x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10﹣x）2cm2，进而结合题意，可列出方程，求得答案．
【解答】解：
设AB=xcm，AD=（10﹣x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10﹣x）2cm2，
根据题意得x2+（10﹣x）2=68
整理得x2﹣10x+16=0
解之得x1=2，x2=8
所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，
综上可求矩形ABCD的面积是16cm2．
故选B
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍．
4．如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
【分析】由关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0只有一个实数根，则它为一元一次方程，所以m﹣2=0，即m=2；把m=2代入方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）=0得2x2﹣4x+2=0，并且可计算出△=0，由此可判断根的情况．
【解答】解：
∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0只有一个实数根，
∴m﹣2=0，即m=2，
则方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）=0变为：
2x2﹣4x+2=0，
△=42﹣4×2×2=0，
所以方程有两个相等的实数根．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元一次方程和一元二次方程的定义．
5．若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程
x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．
【解答】解：
∵
x2+（a﹣b）x+c2=0，
∴△=b2﹣4ac=
=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）
∵a，b，c为三角形三边，
∴b+c＞a，a+c＞b
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0
∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，
即二次方程
x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．
6．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足
+
=﹣1，则m的值是（ ）
A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1
【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和
+
=﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
【解答】解：
根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∴
=﹣1，
即m2﹣2m﹣3=0，
所以，得
，
解得m=3．
故选A．
【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：
x1+x2=﹣
，x1•x2=
．
7．若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．10C．9或10D．8或9或10
【分析】由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，可求出b，c的值，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．
【解答】解：
∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，
解得：
b=3或2，c=2或3，
△ABC的一边a为4，
①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．
∴△ABC的周长为4+3+3=10
②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．
故选C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出是解题关键．
8．已知α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，且α≠β，则αβ+α+β的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】由于α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，且α≠β，所以α，β是方程x2+x﹣1=0的两个根，则α+β=﹣1，αβ=﹣1，代入αβ+α+β即可求出其值．
【解答】解：
∵α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，且α≠β，
∴α，β是方程x2+x﹣1=0的两个根，
则α+β=﹣1，
αβ=﹣1，
代入αβ+α+β=﹣1﹣1=﹣2．
故选B．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2
+
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件“若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0”知，
、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；然后根据韦达定理求得x1•x2=2，即
•b=2，∴a=
；再将其代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：
∵2a2+5a+1=0，
∴
+5×
+2=0；
又∵b2+5b+2=0，
∴
、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根；
∴由韦达定理，得
x1•x2=2，即
•b=2，
∴a=
；
∴2
+
=2
+
=
．
故选A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值．解答此题时，不要忽视了条件a•b≠1．若在方程2a2+5a+1=0的两边同时乘以2时，那么2a、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根，则a•b=1．
10．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2006B．2007C．2008D．2009
【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
【解答】解：
∵a是方程x2+x﹣2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：
a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009﹣1=2008．
故选：
C．
【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．
11．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0B．1C．2000D．4000000
【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．
【解答】解：
∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，
∴α+β=﹣9，α•β=1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
又∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，
∴α2+9α+1=0，β2+9β+1=0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
=2000α•2000β
=2000×2000αβ，
而α•β=1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）=4000000．
故选D．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12．若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，且x12+x22=7．那么b的值是（ ）
A．1B．﹣7C．1或﹣7D．7或﹣1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=
，x1x2=
．根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2代入数值列出方程解即可．
【解答】解：
x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，
得x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3b．
又x12+x22=7，则（x1+x2）2﹣2x1x2=b2+6b=7，解得b=﹣7或1，
当b=﹣7时，△=49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b=1．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法．
13．如果关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则a+β的取值范围是（ ）
A．α+β≥1B．α+β≤1C．α+β≥
D．α+β≤
【分析】由于关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则判别式△≥0，由此可以确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+β的取值范围．
【解答】解：
∵a=1，b=﹣2（1﹣k），c=k2，
∴△=b2﹣4ac=[﹣2（1﹣k）]2﹣4×1×k2≥0，
∴k≤
，
∵a+β=2（1﹣k）=2﹣2k，
而k≤
，
∴α+β≥1．
故选A．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？
证明你的结论．
【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=
QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：
（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴
（4分）
（2）∵S△ABC=
（5分）
∴当t＜10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）
当t＞10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5
（舍去负值）（7分）
∴当点P运动
秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：
过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=
t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．
15．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：
（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【分析】
（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
【解答】解：
（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣（200+10x）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
80﹣x
40
销售量（件）
200
200+10x
800﹣200﹣（200+10x）
（2）根据题意，得
200×（80﹣50）+（200+10x）×（80﹣x﹣50）+（400﹣10x）（40﹣50）=9000
整理得10x2﹣200x+1000=0，
即x2﹣20x+100=0，
解得x1=x2=10
当x=10时，80﹣x=70＞50
答：
第二个月的单价应是70元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：
利润=售价﹣进价．
16．【分析】
（1）根据已知方程有两个实数根，那么△≥0，可得k的范围，由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=
，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣
中，进而可求k的值；
（2）由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将
+
﹣2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．
【解答】解：
（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，
∴△=16k2﹣4×4k（k+2）=﹣32k≥0，且4k≠0，
解得k＜0；
∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=
，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22
=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9•
=
，
若
=﹣
成立，
解上述方程得，k=
，
∵k＜0，则k=
不成立，
∴不存在这样k的值．
（2）∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=
，且16k2﹣16k（k+2）≥0，即k＜0，
∴
+
﹣2=
﹣2=
﹣2=
﹣2=
，
由此式子的值为整数，得到k=﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3．
∵k＜0，
∴k=﹣5，﹣3，﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．
17．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣
）=0．
（1）求证：
无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
【分析】
（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让﹣
=0即可求得k的值．
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