勾股定理的经典证明方法总结大全.docx
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勾股定理的经典证明方法总结大全
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
b
a
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即
22121
ab4abc4ab222
22，整理得a2b2c2.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角^ab
形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点
在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
•••RtAHAE也RtAEBF,
•••/AHE=/BEF.
•••/AEH+/AHE=90o,
•••/AEH+/BEF=90o.
•••/HEF=180o—90o=90o.
•••四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.
-RtAGDH
•/HGD=
-/HGD+
•/EHA+
-/GHE=90o,
•/DHA=90o+90o=180o.
也RtAHAE,/EHA.
/GHD=90o,/GHD=90o.
又・
A、E、B
•••ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于ab
212
ab4abc
2
a2b2c2
角形拼成如图所示形状.
•••RtADAH
也RtAABE,
./HDA=
/EAB.
•••/HAD+
/HAD=
90o，
./EAB+
/HAD=
90o，
.ABCD是
一个边长为c的正方形
EF=FG=GH=HE
=b—a,
/HEF=90o.
它的面积等于c2.
【证法3】（赵爽证明）
以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角_1ab_
三角形的面积等于2.把这四个直角三
D
C
A
E
B
.EFGH是
」ab
2
b2
•个边长为b—a的正方形，它的面积等于bba2c2
2a
【证法
c2
4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1.
ab
形的面积等于2在一条直线上.
•••RtAEAD
./ADE=
•••/AED+
./AED+
./DEC=180o—90o=90o.
.ADEC是一个等腰直角三角形,
12
c
它的面积等于2.
又•••/DAE=90o,/EBC=90o,.AD//BC.
.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使
也RtACBE,/BEC.
/ADE=90o,/BEC=90o.
A、E、cB
1
.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2
三占
"八\、
1ab221ab1c2-ab2—ab-c
222
2,22
abc
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为ab，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
•••D、E、F在一条直线上,且RtAGEF也RtAEBD,
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜
边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、
F作FN丄PQ,垂足为N.
•••/BCA=
90o,QP/BC,
•••/MPC=
90o,
•••BM丄PQ,
•••/BMP=
90o,
•••BCPM是
一个矩形，
即/MBC
=90o
•••/QBM+
/MBA=
/QBA=
90o,
/ABC+
/MBA=
/MBC=
90o,
•••/QBM=
/ABC,
C三点在一条直线上.
过点Q作QP//BC,交AC于点P.过点B作BM丄PQ,垂足为M;再过点
F
c
bQ
又•••/BMP=90o,ZBCA=90o,BQ=BA=c,
•••RtABMQ也RtABCA.同理可证RtAQNF也RtAAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）
【证法刀（欧几里得证明）
C、
做三个边长分别为ab、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、
B三点在一条直线上，连结
BF、CD.过C作CL丄DE,交AB于点M，交DE于点L.
•••AF=AC,AB=AD,
JFJr
•Z/（
M
f
I/1r
r/
B
/FAB=/GAD，
•••△FAB也△GAD，
12
a
•••△FAB的面积等于2，
△GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，
2
矩形ADLM的面积=a.
2同理可证，矩形MLEB的面积=b
•••正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB
c2a2b2，即a2b2c2.
BC的长度分别为a、b,斜边AB的
【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt△ABC中，设直角边AC、长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D.
在厶ADC和厶ACB中,
•••/ADC=/ACB=90o,
/CAD=/BAC,
△ADCs△ACB.
AD:
AC=AC:
AB,
即AC2AD?
AB.
同理可证，△CDBs△ACB，从而有-AC2BC2ADDB?
ABAB2
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP丄AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E,DE交AF于H.
•••/BAD=90o,ZPAC=90o,•••/DAH=/BAC.
又•••/DHA=90o,ZBCA=90o,AD=AB=c,
•••RtADHA也Rt△BCA.
•••DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知，PBCA是一个矩形,所以RtAAPB也Rt△BCA.即PB=CA=b,AP=a,从而PH=b—a.
•••RtADGT也RtABCA,
RtADHA也RtABCA.
•••RtADGT也RtADHA.
•••DH=DG=a，/GDT=/HDA.又•••/DGT=90o,ZDHF=90o,
/GDH=/GDT+/TDH=/HDA+/TDH=90o,•••DGFH是一个边长为a的正方形.
GF=FH=a.TF丄AF,TF=GT—GF=b—a.
•••TFPB曰
用数字表示面积的编号
S4
c2S1
疋-个直角梯形，上底
（如图）,
S5
S2
S3
S8
S3
S4
S5
S8
S9
S3
S4
b2
-ab
2
S8_b2
TF=b—a,下底BP=b,高FP=a+（b—a）.c为边长的正方形的面积为
则以
Si
①
ab2-ab
=2,
S8
把②代入①,
c2S1-b2
a2
S2
S2
b2
得
b2
S1
S9=
c2
S8
b2
S8
2
a
S9
【证法10】（李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使直线上.
a、
又•••
又•••
用数字表示面积的编号
/TBE=/ABH=90o,
/TBH=
/BTH=/BEA=90o,
BT=BE=b,
RtAHBT也RtAABE.
HT=AE=a.
GH=GT—HT=b—a.
/GHF+/BHT=90o,
/DBC+
/GHF=
（如图）.
/ABE.
/BHT=/TBH+/BHT/DBC.
c.做三个边长
G三点在一条
b（b>a）,斜边的长为
A、E、
DB=EB—ED=b—a,
/HGF=/BDC=90o,
RtAHGF也RtABDC.即S7S2
过Q作QM丄AG，垂足是M.由/BAQ=/BEA=90o,可知/ABE
=/QAM，而AB=AQ=c，所以Rt△ABE也RtAQAM.又RtAHBT也RtAABE.所以RtAHBT也RtAQAM.即S*足.
由RtAABE也RtAQAM，又得QM=AE=a，/AQM=/BAE.
•••/AQM+/FQM=90o，ZBAE+/CAR=90o，ZAQM=/BAE，•••/FQM=/CAR.
又•••/QMF=/ARC=90o，QM=AR=a，
•RtA
.QMF
s
RtAARC.即
S4
S6
2c
S
S2
S3
S4
S5
2a
2
3S6bS3S7S8
又S7
S2
S8
S5
S4
S6
2
.・.a
b2
S1
S6
S3
S7
S8
:
S1
S4
S3
S2
S5
2=c，
卄2,22
即abc.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtAABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为/BCA=90o,点C在。
B上，所以AC是。
B的切线.由切割线定理，得
2
ACAE?
AD
=ABBEABBD
=
:
c
aca
2
2
=
:
c
a
即b2
2c
2
a，
2
.2
2
•a
b
c
【证法12】（利用多列米定理证明
在RtAABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A
作AD//CB，过点B作BD//CA，J则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB?
DCAD?
BCAC?
BD,
AB=DC=c，AD=BC=a，
AC=BD=b，
AB2BC2AC2，即c2a2b2，
•••a2b2c2.
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtAABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtAABC的内切圆。
0,切点分别为D、E、F（如图），设。
O的半径为r.
AE=AF，BF=BD，CD=CE，
••
AC
BC
AB
AE
CE
BD
CD
=
CE
CD=
r+r=
=2r,
即
ab
c
2r
••
ab
2r
c.
2
2
..
ab
2r
c
2
2
2
2
即
ab
2ab
4
r
rcc
SABC
1
ab
-
2
•
2ab
4S
ABC
1
又•••
SABC
S
AOB
S
BOC
SAOC
=2
cr
1
】2r
c
cr
2
=2
=r
rc
..
4r2
rc
4S
ABC
，
4r2
rc
2ab
AFBF
1ar
2
2
b22ab2ab
/.a
【证法14】（利用反证法证明
a2b2
1
br
2
c2
）如图，在Rt△ABC中，设直角边长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D.
假设a2b2c2，即假设AC2
AB2AB?
AB=ABAD
22
AC、
BC的长度分别为a、b,斜边AB的
BC2
BD=AB?
ADAB?
BD
AB2，则由
可知ACAB?
AD，或者BCAB?
BD.即AD:
AC丰AC:
AB，或者BD:
BCMBC:
AB.
在AADC和AACB中,
•••/A=/A，
•••若AD:
AC工AC:
AB，贝U
/ADCmZACB.
在ACDB和AACB中,
•••zb=zb，
•••若BD:
BCMBC:
AB，贝U
ZCDBmZACB.
又•••ZACB=90o，
ZADCm90o，ZCDBm90o.
这与作法CD丄AB矛盾.所以，
2.22
.•・abc
AC2
BC2
AB2的假设不能成立.
【证法15】（辛卜松证明）
ab
2a
b2
ab
a
a
b
b
设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
222
的面积为abab2ab;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个
部分，则正方形ABCD的面积为
a2b22ab2abc2
2.22
abc.
1
4ab
2
2c
=2ab
c2
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长
分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一
条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC，则AD=c.
•••EM=EH+HM=b+a,ED=a，
•••DM=EM—ED=ba—a=b.
又•••/CMD=90o,CM=a，
/AED=90o,AE=b,
也RtADMC.
DC=AD=c.
/MDC,/ADC+/MDC=180o,
/MDC=
/ADC=90o.
作AB//DC,CB//DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
/BAF+/FAD=/DAE+/FAD=90o,/BAF=/DAE.
连结FB,在AABF和AADE中，
•••AB=AD=c,AE=AF=b，/BAF=/DAE,•••AABF也AADE.
•••/AFB=/AED=90o,BF=DE=a.•••点B、F、G、H在一条直线上.
在RtAABF和RtABCG中，
AB=BC=c,BF=CG=a,
•RtAABF也RtABCG.
S2S3S4S5
b2
S1S2S6
aS3S7
S1S5
a2b2
S4S6S7，
S3S7S1S2S6
=S2
S3
S1
S6
S7
=S2S3S4S5
2
=c
22
bc.
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