让教学设计更符合学生的认知高二数学教案模板.docx
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让教学设计更符合学生的认知高二数学教案模板
让教学设计更符合学生的认知_高二数学教案_模板
摘要：
数学教学难点之所以成为难点，一是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，二是由于教师的教学设计难以找到适当的切入点。
新知识应该如何“修剪”得适合学生吸收，如何使学生“活动”起来，做适合他的认知结构的活动。
一、复杂方法简约化；二、前后呼应流畅化；三、实际问题逐步数学化；四、形式理解溯源化；五、借助几何意义动态化。
关键词：
数学教学难点 认知 教学设计 我们在教学实践、观课活动或与同行的交流中，常有这样的同感：
课前对一些内容的教学设计在课堂上实施时，感到不自然，无法与学生产生共鸣，或自圆其说，或越俎代疱，或生拉硬扯。
这些数学内容称之为数学教学难点，数学教学难点之所以成为难点，一是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，二是由于教师的教学设计难以找到适当的切入点。
按照皮亚杰的观点，对客体的认识是一个“同化”的过程，即如何把对象纳入（整合）到已有的认识框架（认知结构）之中；也只有借助于同化过程，客体才获得真正的意义。
与此同时，认识框架本身也有一个不断发展或建构的过程，特别是，在已有的认知结构无法“容纳”新的对象的情况下，主体就必须对已有的认知结构进变革，以使其与客体相适应，这就是所谓的“顺应”。
教学设计就是设计教学情境，帮助学生逐步将数学难点与头脑中已有的数学知识和经验联系起来。
教师的作用是为学生的参与创造适宜的挑战环境，学生思维的发生和发展过程，去了解学生的数学结构，分析他的主观感知有什么问题，新知识应该如何“修剪”得适合学生吸收，如何使学生“活动”起来，做适合他的认知结构的活动。
1、复杂方法简约化人的认识总是不断在反思中发展、前进，思维不断在清晰化——明朗化——简约化的过程中得到提升。
教学设计也应适时地“修剪”、重组教材（教学）中内容、方法，以适合学生吸收。
案例1、正弦定理的向量证法。
C
B
H
A
教材用向量的知识证明正弦定理时，在三角形一个角的顶点作垂直于该角一边的一个单位向量j。
学生觉得单位向量j在三角形的外部，没有与三角形的点或边形成封闭的图形，这与初中平面几何的辅助线作法相差很大。
再者，教材利用j•（+）=j•，再根据分配律将各向量转化为单位向量j上的投影。
此法与学生已有的经验相去较远，理解上费力费时。
我们不妨简化证法，利用学生已有的经验，作某一边上的高，各向量向高所在的向量投影，而不用单位向量。
如：
C B H A 作AH⊥BC于H，∠BAH=90º-B，∠CAH=90º-C，=||•||cos（90º-B），=||•||cos（90º-C），∴||•||cos（90º-B）=||•||cos（90º-C），∴||sinB=||sinC，∴csinB=bsinC，∴=这样，帮助学生“自我调节”，把平面几何知识与平面向量知识整合在一起，内化为个体自身的思维模式。
2、前后呼应流畅化在引入新对象前刚学的知识和经验，对下续新对象的学习起着非常强的“暗示”作用，如果突然中断，而转入另一知识，学生会显得不知所措。
教学设计应顺势利导，产生共鸣。
案例2、等比数列前n项和公式的推导。
在等比数列前n项和公式的推导的教学中，大家除了介绍教材上的方法外，还介绍其他一些方法，但总觉得引入不自然。
因为在学习了等比数列的定义后，推导等比数列前n项和公式，在方法上与以往的经验不一样，学生感到很突然。
如果启发学生联系等比数列的定义，就容易得到：
=q，=q，=q，…，=q……⑴。
转化为 a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q。
各式左右分别相加，得a2+a3+a4+…+an=a1q+a2q+a3q+…+an-1q，即a2+a3+a4+…+an=（a1+a2+a3+…+an-1）q……⑵，往下容易得出：
Sn-a1=（Sn-an）q，∴（1-q）Sn=a1-anq，即（1-q）Sn=a1（1-qn），∴当q≠1时，Sn=。
当然，也可以引导学生对⑴式结合等比性质或对⑵式结合Sn=a1+a2+a3+a4+…+an的特征等方法，让学生在“不知不觉”中发现和“创造”出各种方法。
创设情境，营造交流的氛围，帮助学生把新的问题“同化”到已有的认识框架（认知结构）之中，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，这是优化教学设计的目标。
3、实际问题逐步数学化现实世界自始自终贯穿在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念的”数学化，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高。
观察、比较与识别现实世界中的具体问题，并在类比、归纳的实际经历过程中，建立数学模型，或是找出其共性与规律，形成数学的抽象与概括，也就是学会“数学化”。
案例3、数学归纳法原理。
常见的教学设计是以“多米诺骨牌效应”引入，这个“效应”对学生而言十分直观明了，容易接受，但紧接着引出数学归纳法的两个步骤，特别是第二步归纳假设用于证明的必要性学生不易理解，常常出现没有利用归纳假设的“伪数学归纳法”。
究其原因是从多米诺骨牌效应的“形象化”，未逐步“数学化”，而从直观到抽象一步到位，学生无法从中提炼出数学本质。
不妨经过简单的“数学化”，提炼出数学本质，使学生的认知结构进行变革“顺应”新的知识。
具体步骤是：
第一步：
形象化过程（多米诺骨牌效应的分析）：
一列多米诺骨牌同时具备二个条件：
⑴第一块倒下；⑵假设某一块倒下，可保证它后面的一块也倒下。
结论是什么？
第二步：
简单的数学化过程（让学生将“多米诺骨牌”换成“偶数列”）：
一个数列{an}同时具备二个条件：
⑴第一个数是偶数；⑵假设某一个数是偶数，可证明它后面的一个数也是偶数。
结论是：
所有的数都是偶数。
第三步：
理解数学本质（师生交流、生生交流）：
议题：
将数列问题中一个或二个条件中的“偶数”换成“奇数”，其结论有何变化？
4、形式理解溯源化对形式的理解，首先是对本质的理解。
很多时候要追溯到形式、概念的定义，以及定义的必要性和合理性。
案例4、反函数的表示法。
教材中写道“在函数x=f—1（y）中，y表示自变量，x表示函数。
但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f—1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f—1（x）”。
为什么要把x=f—1（y）改写成y=f—1（x）？
仅仅是因为“习惯”的原因？
学生感到困惑，教师解释时感到理由不够充分。
我想，这要从反函数的定义以及作用来理解，x=f—1（y）与y=f（x）中，x的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐标系中的图象是相同的，但表示的意义是不同的，因为自变量与函数的地位已经互换。
为了使x=f—1（y）与y=f（x）在同一坐标系中有相同地位的量在同一坐标轴上，便于研究它们的相互关系，才“对调函数x=f—1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f—1（x）”，这样一来，x轴就是自变量轴，y轴就是函数轴。
我们可以把这一理解，设计成提问或问题进行交流，在“数学学习的共同体”中，使学生对数学形式和数学本质有一个“个体创造性的理解”的过程。
通过学生自身主动的建构，使新的学习材料在学生头脑中获得特定的意义，这就是在新的数学材料与学生已有的数学知识和经验之间建立实质性的、非任意的联系，不断完善学生个体的认知结构。
五、借助几何意义动态化对数学对象的认识是以头脑中实际建构出这种对象为必要前提的，这种“建构”活动并非简单地理解为如何在头脑中机械地去重复有关对象的形式定义，而是必然包含有一个“具体化”（相对而言）的过程，也即如何把新的数学概念与已有的数学知识和经验联系起来，使之成为对学习主体而言是有意义的、可以理解的、十分直观明了的，也即建立起适当的“心理表征”或“心理意义”。
案例5：
奇偶性与周期性的应用已知函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈（0，1）时，f（x）=-lg3|x|+2，求：
当x∈（1，2）时，f（x）的解析式。
这一类题目的解答通常是：
∵当x∈（0，1）时，f（x）=-lg3|x|+2，∴当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，又∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=-lg3|-x|+2=-lg3|x|+2，当1＜x＜2时，-1＜x-2＜0，又∵y=f（x）是最小正周期为2的函数，∴f（x）=f（x-2）=-lg3|x-2|+2。
学生初次接触此类题目感到很抽象，不知如何才能把两个区间联系起来，不清楚解答中x范围不断变化的目的。
因此，在解答前可启发学生做如下探索：
将条件“当x∈（0，1）时，f（x）=-lg3|x|+2”改为“当x∈（0，1）时，f（x）=-x+2”，并作出图象——（0，1）上的线段AB（如图）。
第一步：
利用“偶函数”这一条件，关于y轴对称得到线段（-1，0）上的AC，第二步：
利用“最小正周期为2”这一条件，向右平移2个单位得到（1，2）上的线段BD，（当然也可以交换这二步的顺序）。
根据这一动态顺序可逐步理解两个条件的作用以及x范围不断变化的目的，然后再根据偶函数与周期的定义，按动态顺序写出解答过程。
在这里，偶函数与周期的几何意义为解题建立起了适当的“心理表征”或“心理意义”，动态顺序对解答过程中逻辑顺序的理解起着重要的作用。
教学设计是将教学过程作有目的、有计划的安排，使各要素尽量达到较优的组合。
这就要求教师不仅要系统地进行教学设计，而且还要进行多种多样的设计；然后根据不同的学情进行对比和选择，促进教学过程的优化，并且把优化教学过程理解为一个不断发展的过程。
参考文献：
唐瑞芬.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社.2001.1
探究活动
能得到什么结论
题目已知且，你能够推出什么结论？
分析与解：
由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一：
改变的范围，可得：
1．且；
2．且；
思路二：
由已知变量作运算，可得：
3．且；
4．且；
5．且；
6．且；
7．且；
思路三：
考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：
8．（其中为实常数）是三次方程；
9．（其中为常数）的图象不可能表示直线。
说明从已知信息能够推出什么结论？
这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑．
探究关系式是否成立的问题
题目 当成立时，关系式是否成立？
若成立，加以证明；若不成立，说明理由。
解：
因为，所以，所以，
所以，
所以或
所以或
所以或
所以不可能成立。
说明：
像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。
不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例适当增加条件，使下列命题各命题成立：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，，则；
（4）若，则
思路分析：
本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解：
（1）
（2）。
当时，
当时，
（3）
（4）
引申发散 对命题（3），能否增加条件，或，，使其成立？
请阐述你的理由。
----《轴对称图形》教学设计
教材简析：
《轴对称图形》是六年《数学》中继“认识圆的特征”，“计算圆的周长和面积”之后的一个学习内容。
在本章教材的编排顺序中起着承上启下的作用。
把它放在圆的后面，一方面可以更好地说明轴对称图形的特点，另一方面可以对所学的各种平面图形中轴对称的情况作全面的了解。
从而更好地发展学生的空间观念。
教学重点：
掌握轴对称图形的概念。
教学难点：
能找出轴对称图形的对称轴。
学生分析：
学生已学过简单平面图形，对平面图形已有一定的认识，且初步了解研究平面图形的方式方法。
高年级的学生具有好胜，好强的特点，班级中已初步形成合作交流，敢于探索与实践的良好学风，学生间相互讨论的气氛较浓。
设计理念：
根据基础教育课程改革的具体目标以及鼓励学生在具体、直观操作中发现知识是《数学课程标准》的一个特点。
改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和经验，实施开放式教学，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。
教学目标：
1、通过教学向学生渗透事物的特殊性存在于普遍性之中，体会对称美。
2、通过操作活动培养学生观察能力，概括能力。
3、使学生直观的认识轴对称图形，在操作中理解掌握轴对称的概念，并能找出轴对称图形的对称轴。
教学流程：
--、创设问题情境，导入课题。
1、（屏幕出示相关图片）观察下面的图形，（折一折，看一看）这些图形有什么特点？
2、指出：
像前三个这样的图形，我们把它叫轴对称图形。
3、引入课题：
轴对称图形
二、学生通过直观感知，操作确认等实践活动，加强对图形的认知和感受。
【实施动手操作，合作交流方式教学，让学生主动参与学习活动，经历和体验检验轴对称图形的方法。
引导学生在课堂教学活动中感悟知识的生成、发展与变化。
】
1、揭示轴对称图形的概念。
思考：
现在你能用什么方法来检验一下这几个图形是轴对称图形。
a、学生试说轴对称图形的概念。
b、教师板书：
轴对称图形的概念（完全重合重点强调）
c、让学生谈谈你是如何理解轴对称图形的。
（以小组为单位，用手中图形举例说明）
【让学生自由组合成小组进行操作活动，让学生从操作中得出结论，从而更牢固的掌握了新知，尤其是让每一个学生都能亲自实验，培养了学生的操作能力和探索精神。
】
d、教师结合图形说明对称轴的概念。
2、完成做一做。
（让学生来汇报，同时电脑演示。
）
3、我们已经学过不少平面图形，现在你动手折一折、看一看哪些图形是轴对称图形，对称轴各有几条，请你画出来。
（汇报从杂乱----有规律）
【这一环节体现了教师注重学法指导，并能鼓励学生运用科学的方法学习。
学生在教师自然而巧妙的引导下，运用多种器官参与观察活动，发展了学生的辨析概括能力，促进学生的思维向纵向发展。
】
4、完成做一做1（口答，屏幕演示）
5、完成做一做2（口答，屏幕演示）
教师小结：
这节课我们学习了轴对称图形，知道如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
并且知道折痕所在的这条直线叫做对称轴，我们还通过动手操作知道我们学过的平面图形中哪些是轴对称图形以及各有几条对称轴。
【教师作为学习过程的组织者、参与者、指导者，与学生共同探索、剖析、整理，层次分明，思维清晰。
起到画龙点睛的作用。
】
6、质疑。
巩固练习：
1、数书P1021（口答）（屏幕）
2、数书P1024（口答）（屏幕）
3、画出每组图形的对称轴。
【让学生不仅能做出正确判断，且能准确画出，进一步发展学生的空间观念，培养学生主动探索，勇于实践的科学精神。
】
4、在自然界和日常生活中具有轴对称性质的事物有很多，你能不能举例说明？
5、欣赏具有轴对称性质的事物。
【突出数学知识与日常生活的紧密联系，从而培养学生自觉的把数学应用于实际的意识和态度，进而培养学生的应用意识。
】
6、判断：
所有的平行四边形都不是轴对称图形（）
所有的平行四边形都是对称图形（）
【在运用中练习，在练习中提高，练习具有目的性、针对性、层次性和趣味性，使学生既巩固了知识又培养了能力。
】
三、小结：
通过这节课的学习你有哪些收获？
【通过这种方式引导学生小结本节课主要知识及学习活动，养成学习----总结----学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的语言表达能力。
】
第一课时一、教材分析
（一）教材所处的地位和作用
“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．
（二）教学目标
1．知识目标：
理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．
2．能力目标：
培养学生数形结合、化归等数学思想．
（三）教学重点、难点、关键
重点：
用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．
难点：
定理的使用条件，合理地应用平均值定理．
关键：
理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．
（四）教材处理
依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．
二、教法分析
（－）教学方法
为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．
（二）教学手段
根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．
三、教学过程（）设计
6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）
（一）导入新课
（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．
（学生活动）学生分组讨论，解决问题．
[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：
方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？
［讨论］
①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：
方案甲：
（元）；
方案乙：
（元）；
方案丙：
（元）．
故降价最少的方案是丙．
②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，
设计意图：
提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．
（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．
［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．
证明：
见课本
［点评］
①强调的充要条件是
②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．
③几何解释，如图。
[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．
证明：
学生运用“”自己证明．
［点评］
①强调；
②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；
②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；
④几何解释（见课本）；
＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．
设计意图：
加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．
（学生活动）与教师一道完成问题的论证．
［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：
［分析］
①应用定理证明；
②研究问题与定理之间的联系；
③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．
证明：
见课本．
设计意图：
巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．
［字幕］练习：
已知都是正数，求证：
（1）；
（2）
设计意图：
掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．
1．重要不等式可以用来证明某些不等式．
2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：
①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．
3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．
设计意图：
培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方
法．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．
1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．
2．注意：
①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．
设计意图：
培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．
（四）布置作业
1．课本作业；习题．1，3
2．思考题：
已知，求证：
3．研究性题：
设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．
设计意图：
课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．
（五）课后点评
1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．
2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．
3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．
4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
作业答案
思考题证明：
因为，所以
．又因为，，，所以，，所以
研究性题 ①．由条件得，…（A） 利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：
．利用①可得．利用①②可得．还有……
第
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