保险精算第二版习题及答案.docx

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保险精算第二版习题及答案

保险精算（第二版）

第一章：

利息的基本概念

练习题

at2

b，如果在o时投资100元，能在时刻

5积累到180元，试确定在时刻

5投资300元,

在时刻8的积累值。

a（0）b1

a（5）25ab1.8

0.8

25

300*100a（5）

180

300

300*100

180

a（8）

300*100

180

（64ab）

508

2.

（1）假设A（t）=100+10t,试确定i1.i3.i5。

i1A（1^0）0.A（3L^

（2）0.083A（5L^（4）。

厲口

A（0）A

（2）A（4）

（2）假设An1001.1n，试确定i1.i3.i5。

i1如0.1.i3迴皿0,.i5壓30.1

A（0）A

（2）A（4）

3.已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5

年后的积累值。

500a（3）500（13iJ620h0.08

800a（5）800（15i1）1120

500a（3）500（1i?

）3620h0.0743363

800a（5）800（1i3）51144.97

4•已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为i110%，第2年的利率为i28%,

第3年的利率为i36%，求该笔投资的原始金额。

A（3）1000A（0）（1ij（1i2）（1is）

A（0）794.1

5.确定10000元在第3年年末的积累值：

（1）名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

（2）名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

•⑷

i12

10000a（3）10000

（1）

4

3

14

（4）

i410000a（3）100001—

11956.18

11750.08

6.设m>1,

按从大到小的次序排列

dd（m）

i（m）

7.如果t

0.01t，求10000元在第12年年末的积累值。

10000a（12）

12

ctdt072

10000e010000e20544.33

8.已知第1年的实际利率为10%,第2年的实际贴现率为第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%,求一常数实际利率,

8%,第3年的每季度计息的年名义利率为6%,

使它等价于这4年的投资利率。

•⑷.⑵

41i4i2

（1i）4（1h）（1d2）1（1-）4（1-）2

42

1.1*1.086956522*1.061363551*1.0506251.333265858

i0.74556336

9.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度t-积累，在时刻t（t=0），两笔

6

基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

a1（t）1.01

12t

4

t

0tdt

a2（t）e0

12t

1.01

投资1元,

a1（t）

则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金

t

1i

Y的积累值。

a2（t）

e#汽j

O.。

1*2。

20.1*20

e4

t2

e忆

e12,t1.432847643

10.基金X中的投资以利息强度t0.01t0.1（0Wtw20）,基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别

1.8221

11.某人

1999

年初借款

3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到

2004年末的积累值为（）

万元。

A.7.19

B.4.04

C.3.31

D.5.21

i⑶

3（1一）

3

3*5

3*1.0215

4.0376

12.甲向银行借款1万元,本金部分为（

每年计息两次的名义利率为6%,甲第2年末还款

4000元，则此次还款后所余

）元。

A.7225

B.7213

C.7136

D.6987

•⑵

i2*24

（1）1.031.1255

2

第二章：

年金

练习题

1.证明vnvmiama^。

mn

./1v1Vnm

Iamani（）vv

ii

2.某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付

10年。

年计息12次的年名义利率为8.7%o计算购房首期付款额A。

/120

1v

1000a莎100079962.96（i8.7%/12）

16000079962.9680037.04

3.已知a^

5.153,a117.036,a诃9.180,计算i。

17

a18a71

1i111

i0.08299

4.某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔

款作为生活费用，拟提取10年。

年利率为10%，计算其每年生活费用。

x12968.7123

5.年金A的给付情况是：

1〜10年，每年年末给付1000元；11〜20年，每年年末给付2000元；21〜30年，每年年末给付1000元。

年金B在1〜10年，每年给付额为K元；11〜20年给付额为0;21〜30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知v10-，计算Ko

2

1020

11

AeOOa何2000_7a狗1000;aig

1i1i

20

1

BKa^K—;

1i

AB

K1800

6.化简a101v1°，并解释该式意义。

’1020

a101vva301

7.某人计划在第5年年末从银行取出17000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存

款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

10

1000a引

2000

a5

17000

i3.355%

1

1元共付20次，第k年的实际利率为斥，计算V

（2）。

1

1

V⑵

1

L

111

（1

i1）（1i2）

9

9,

9

1

L

10

11

28

8.某期初付年金每次付款额为

9.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女,

1

（1i1）L（1i19）

给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分

所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等

，那么v=（）

A.

B.3n

C.

D.3

2vn

2

11.延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为t1,t时刻的利息强度为1/（1+t）,

该年金的现值为（

）

A.52

B.54

C.56

D.58

5|a6

11

5v（t）（t

1）2dt

v（t）

1

11

a（t）e

t

0tdtt1

5|a6

111

5t

-（t1）2dt54

1

第三章：

生命表基础

练习题

X2

1.给出生存函数sxe2500，求：

（1）人在50岁〜60岁之间死亡的概率。

（2）50岁的人在60岁以前死亡的概率。

（3）人能活到70岁的概率。

（4）50岁的人能活到70岁的概率。

P（50

X60）s50s（60）

s50s（60）

10q50

s（50）

P（X

70）s（70）

s70

20p50

s（50）

2.已知Pr:

5vT（60）<6]=0.1895,Pr:

T（60）>5]=0.92094，求q6o。

s65

s（60）

0.92094

s65s（66）

5|q60s（60）0.1895,5P60

q65

s65s（66）

s（65）

0.2058

3.已知q800.07,d803129，求l81。

d80180l81ccr

q800.07

〔80180

240人，第21年和第22年的死亡人数分

4.设某群体的初始人数为别为15人和18人。

求生存函数

3000人，20年内的预期死亡人数为s（x）在20岁、21岁和22岁的值。

s（20）

d1Ld20

I。

0.92,s（21）

drLd?

1

1210.915,s（22）

l0

d1Ld?

2

0.909

5.

如果x

-,0Wxw100,求l°=10000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为

100x

A.2073.92

B.2081.61

C.2356.74

D.2107.56

x

dx

x

s（x）e

x2

0x1100x

Jdx

2

100x

2081.61

6.已知

20岁的生存人数为

1000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则102。

为

（）°

A.0.008

C.0.006

B.0.007

D.0.005

1%仏也0.006

l20

第四章：

人寿保险的精算现值

练习题

1.设生存函数为sx

（0wxw100），年利率i=0.10,计算（保险金额为1元）：

s（x）

（1）趸缴纯保费d；0：

诃的值。

A30诃

（2）这一保险给付额在签单时的现值随机变量

s（xt）1s（x）100xt丄丄dt

1.170

x

100

10t

0vt

Z的方差

Var（Z）。

tPxgx

Pxg

xtdt

10

0.092

Var（Z）

2A1

3010

（A301U]

）2

0V2ttPxgx

tdt0.0922

购买一张保险金额为1

保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算：

（1）该保单的趸缴纯保费。

⑵该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。

（3）

（1）与

（2）的结果为何不同？

为什么？

设年龄为

35岁的人,

（1）法一:

1000A；5：

5

k

4

k1

VkPxqx

0

查生命表l35

979738,d35

1170,d36

1000心

4

k

V

k0

kPxqx

1351.06

法二：

1000A35:

5

1000皿

D35

M40

查换算表1000&5：

弓

1000M35M40

D35

1000p35

1

1000也

1000p36

1000心

C35

1000」

D35

C36

1000」

D36

（2）

t

12

dt0.09220.055

70

1

1.21

000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的

1

35'1.061.06

d35

d36

2

10

1248,d371336,d38

d36d37

1.0621.063

1000g1359°.22

d37d38d39）

1.0631.0641.065）

1437,d391549代入计算:

127469.03

5.747

143.58

1000际阪

144.47

1000g

120110.22

1.126

1.203

1000P37

1000A17:

1

100037

D37

145.94

1.29

1000g

113167.06

1

C38

148.05

1000P38

1000他：

1

1000

1000g—

1.389

D38

106615.43

—1

C39

—150.55

1000P39

1000A39：

1

1000

1000g

1.499

D39

100432.54

1000（P35

P36P37

P38

P39）

6.457

_1_1

.c、A35:

5A3511

（3）门

VP35A36:

1

2T13T1

V92P35A371Vg3P35A381

4T1

vg4P35A391

A35:

5p35p36必7

P38P39

3.设Ax0.25,Ax20

0.40,Ax:

200.55,试计算:

（1）

（2）

A1

X：

10

。

改为求aJr

AxAx^

Ax:

20Ax:

Ax20gAx20

A1

0.25

0.55

9

1|o1|o

22

0.5

试证在UDD假设条件下:

1iiAxnAxn。

_1I1

gnAx：

n—Axn。

（x）购买了一份

则在死亡年末可得保险金

2年定期寿险保险单，据保单规定，若（x）在保险期限内发生保险责任范围内的死亡,

1元，qx0.5,i0,Varz0.1771,试求qx1。

6.已知，A76

0.8,D76400,D77360,i

0.03,求A77。

7.现年30岁的人，付趸缴纯保费5000元,

所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时

5000

A30:

2q1

解：

5000

其中

19

k1

vkP3°q30

l

l30

11

（d30

I301.06

M30M50

D30

d31

（1.06）231

1Gkd30k

l30k

1

丄

l30k0

d30k

3d32L

（1.06）3

查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据

I30,d30,d31,d32Ld49带入计算即可，或者i=0.06

M30,M50,D30带入计算即可。

以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据

11111

忑：

20丄（丄867「917二977L打3144）

30:

209846351.06（1.06）（1.06）（1.06）

0.017785596

R281126.3727

1

8.考虑在被保险人死亡时的那个年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完

m

1

整年数，j是死亡那年存活的完整1年的时段数。

m

（1）求该保险的趸缴纯保费AXm）。

（2）设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明AXm）7（m）Ax。

I

9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：

被保险人在10年内死亡，给付金额为15000

元；10年后死亡，给付金额为20000元。

试求趸缴纯保费。

趸交纯保费为15000儿诃2000。

10|冗5

其中

A35:

101

9

k1

Vkp35q35k

k0

9

k

V

k0

1l35kd35k

l35k

135

l35k

vk

d35k

10|A35

丄（丄d35

I351.06

M35M45

D35

70k

V

k10

1

kp35q35

右（（1.06）

M45

D35

所以趸交纯保费为

036

（1.06）2（1.06）3

13590.2212077.31

127469.03

70k1I35kd35kV

10l35l35k

1

11d45

旦竺0.09475

127469.03

（T^d44）

0.01187

70

l35k

d35k

10

15OOOA35而2000010|a35178.05

18952073.05

10.年龄为40岁的人，以现金10000元购买一份寿险保单。

保单规定：

被保险人在5年内死亡，则在其

死亡的年末给付金额3000元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。

试求R值。

11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：

被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3000

元；如至70岁时仍生存，给付金额为1500元。

试求该寿险保单的趸缴纯保费。

该趸交纯保费为：

3000人询15004。

右

其中

19

119

k1,

Vd50k

k0

11

1

1

（d50

2d51

3d52L

501.06

（1.06）2

（1.06）3

k1

Vkp50q50k

19k

V

k0

1l50kd50k

5050k

I50k0

M50M70

1

（T06T

d69）

D50

查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

12.设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：

若（30）在第一个保单年计划内死亡,

则在其死亡的

保单年度末给付5000元，此后保额每年增加

1000元。

求此递增终身寿险的趸缴纯保费。

该趸交纯保费为:

4000A30

1000（IA）30

4000皿

D30

1000鸟

D30

其中

A30

k

75

k1

Vkp30q30k

0

75

（IA）30

11

（d30

l301.06

M30

D30

75

（k1）vk

k0

（1.06）2

1l30kd30k

l30k

_1

（1.06）3

l30

d31

75

1

kp30q30k

（k

0

l30k

75k

V

0

d30k

11

（d30

l301.06

R30

2d31（1.06）231

d175上严「（k1）Vk1d30k

30l30kl30k0

376_

3d32L76dt05）

（1.06）332（1.06）76105

1）vk

1130

D30

查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

13.某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：

（1）1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。

（2）

这个保险的趸

求这个保险的

1000兀储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，缴纯保费为800元。

若现有1700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，趸缴纯保费。

解：

保单1）精算式为1000Ax：

n750&诃1750鵝1000Ax:

冷750

保单2）精算式为

1000A^n800*：

n1000Axh怡00况n2000Ax：

n800

求解得嚅7/17,Ax:

n1/34，即

11

1700需1700%1700需750

14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：

被保险人在第一个保单年度

内死亡，则给付10000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400

元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。

试求其趸缴纯保费。

15.某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。

其中，给定lx110x,0Wxw110。

fx0.8等于（）

A.

0.24B.0.27

C.

0.33

D.

0.36

锂）

tPxx

fz（z）

lnZ

lnv

S（xt）tS（x）

仏⑵）g（z）

lxt

lx

1/z

170

70lnv

1

70z

2

7z

利息力3=0.05。

Z表示保险人给付额的现值，则密度

fZ（0.8）0.36

16.已知在每一年龄年

UDD

假设成立,

表示式

B.

解:

1

C.

d

D.

（IA）x（IA）x

E（T

1vT）E（Tvt）

E（（1

S）vKS）

Ax

E（vT）

K

E（v

s）（TKS）

1

E（（1S）vs）

E（vs）

0（1s）vsds丄vsdsd

0

17.在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。

保险人给

付额现值记为乙则Var（Z）=（）

A.

2

Pxqxv

2

be

C.

2

.2

2

解：

Pxqxv

b

e

22

B.PxqxVbe

2■22

D.VbqxePx

P（Zbv）qx,P（Zev）Px

P（Z2b2v2）qx，P（Z2e2v2）Px

E（Z）bvqxevpx

22222

E（Z）bvqxevPx

222222

Var（Z）E（Z2）E（Z）b2v2qxe2v2px

2

bvqxevpx

v2qxPx（be）2

第五章：

年金的精算现值

练习题

1.设随机变量T=T（x）的概率密度函数为

f（t）0.015e0.015（t>0），利息强度为3=0.05。

试计算

精算现值ax

ax

fT（t）dt

0.05t

1e0.015t

0.015edt

0.05

15.38

2—

2.设ax10,ax

7.375,Varafi

50。

试求：

（1）

；

（2）Qx。

1axAx

122ax2Ax

110Ax

2—

114.752Ax

122

Varaf列加（代）2）

12——2

50—（2Ax（Ax）2）

0.035

Ax0.65

2

A0.48375

3.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

4.某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止,

所缴付款额也不退还。

而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。

试求此

人每次所获得的年金额。

解：

2000&3囲

R37|&3

2°°0龟乔

37|

其中

：

36]

35

k

VkP2