六年级奥数数论余数问题ABC级学生版.docx
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六年级奥数数论余数问题ABC级学生版
余数问题
知识框架
带余除法的定义及性质一、1、定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
（1）当时：
我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商0r?
（2）当时：
我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲0?
r解模型:
如图
这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质
⑴被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；?
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⑵余数小于除数．
三大余数定理：
二、
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：
23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：
23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
3
，两个余数差2的余数等于5除以7＝16－23，所以1和3的余数分别是5除以16，23例如：
－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：
23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：
23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：
23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
nn除以m的余数相同，那么的余数也相同．与乘方：
如果a与b除以mba弃九法原理三、
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：
检验算式889923?
678967?
178902?
12341898?
18922?
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所
以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：
弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
，但是显然算式是错误的。
0的余数都是9时，等式两边的除以9+9=9例如：
检验算式
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
同余定理四、1、定义：
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b
（modm），左边的式子叫做同余式。
同余式读作：
a同余于b，模m。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
例如：
与除以的余数都是，所以能被整除．3173（17?
11）211
（2）用式子表示为：
如果有a≡b（modm），那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：
为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：
N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
1）整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
2）整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
3）整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
4）整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
5）整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；
6）整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
重难点
理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了
例题精讲
【例1】除以一个两位数，余数是．求出符合条件的所有的两位数．101312
【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例2】有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。
且这个三位数除以5余4，除以11余3。
这个三位数是_
【巩固】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________.
【例3】甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．10883211
【巩固】当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
2222除以13】所得余数是_____.
【例42000个?
】【巩固除以41的余数是多少？
77777?
?
?
7个1996
【例5】著名的斐波那契数列是这样的：
1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
【巩固】有一列数：
1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是．
【例6】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：
A＝135********171921……9799101103。
则数a共有_____位，数a除以9的余数是___。
【巩固】将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数12345678910111213......是________．
【例7】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
【例8】在图表的第二行中，恰好填上这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得98～89的余数都是3．
【巩固】求除以17的余数．351?
?
296478
2a被7除余数相同？
a使与的所有自然数中，有多少个整数】【例9求a20081~2
1000天之后将是星期几？
】今天是星期四，固【巩10
20082除以7的余数是多少？
【例10】20082?
?
?
3130被【巩固】除所得的余数是多少？
133031?
在校对时，发现右边的积）其中11】3，个三位数乘积的算式（【例234235286bca?
?
cab?
abccb?
a?
是正确的，问原式中的的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是多少？
abc
，102有个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是固【巩】8，求两个三位数的和。
第二个数的各个位数字之和是
【例12】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
【巩固】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【例13】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.45,59,101
【巩固】有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。
问这个整数是几?
【例14】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、，求这个自然数和的值.a25a?
aa
【巩固】有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
【例15】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？
【巩固】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
课堂检测
【随练1】除以某个整数后所得的商恰好是余数的倍，那么除数最小可能是。
378221
【随练2】的余数是多少？
7666666?
1995个6
【随练3】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
【随练4】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
1997求】【随练5的最后两位数．3．
家庭作业
【作业1】在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.
【作业2】有三个自然数，，，已知除以，得商3余3；除以，得商9余11。
则除以，得bbbcccaaa到的余数是。
【作业3】有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数21131317是多少？
a?
200820082008，问：
除以13所得的余数是多少？
已】【作业4知a2008个2008
【作业5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：
第二组有多少人?
【作业6】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．（第五届小数报数学竞赛初赛）
【作业7】求的余数．11?
6047?
2461?
135
12342005除以10所得的余数为多少？
8】【作业2005?
3?
412?
?
?
2009的各位数字之和为，的各位数字之和为，设的各位数字之和为，的各位【作业9】2009CCBAAB数字之和为，那么?
DD
【作业10】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
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