第8讲 实际问题与一元一次方程.docx
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第8讲实际问题与一元一次方程
新初一数学
编写人：
***
2011暑期课程讲义
课程开发整体方案说明
课程名称
初一数学秋季班
课程定位
初一数学秋季班
总体课程目标
1、兴趣的培养；2、内容的衔接；3、能力的提升；4、学法的改进。
课程适用区域
（省或直辖市）
全国非五四制地区、不参加初中重点班分班入学考试学生
课程研发
理念和思路
本次研发是在暑假研发的基础上，对学过的‘小学和初中的知识的衔接内容’的一个延伸，是和学校结合的重要内容，也是本学期学生学习的一个非常重要的阶段，所以，不论是对学生还是对授课教师都提出了很高的要求，既要注重培养学生的基本技能，也要培养学生的推理性，归纳能力和技巧性；现阶段的数学教学内容对学生的抽象思维与逻辑推理方面有较高要求，从学生的学习方法和能力上也有较高要求。
同时，在方法上更强调学生自主学习能力，自我归纳，在知识掌握的同时，逐步提高学习的能力。
每一讲的内容都要体现出“重点，难点，疑点”，从每一讲的安排上都力求要让学生学到新的知识。
课程特色
针对学生心理特征、认知规律和衔接知识的生长点，在归纳中整理，在整理中拓展。
不仅对所学知识有结构性再认识，也从能力上为进一步学习形成过程性结构。
同时，还为初一上学期各章节内容搭建合适的阶梯。
主要内容
编号
每讲标题
课程容量
第一讲
有理数
90～100分钟
第二讲
有理数的运算
90～100分钟
第三讲
整式
90～100分钟
第四讲
整式的加减
90～100分钟
第五讲
从算式到方程
90～100分钟
第六讲
解一元一次方程
90～100分钟
第七讲
实际问题与一元一次方程
90～100分钟
第八讲
期中综合复习
（一）
90～100分钟
第九讲
期中综合复习
（二）
90～100分钟
第十讲
直线，射线，线段
90～100分钟
第十一讲
角
90～100分钟
第十二讲
相交线平行线及其判定
90～100分钟
第十三讲
平行线的性质平移
90～100分钟
第十四讲
期末综合复习
（一）
90～100分钟
第十五讲
期末综合复习
（二）
90～100分钟
课程使用说明
新初一秋季的课，是我们在暑假的基础之上建立起来的新课程，课程是为了和学校的衔接而建立的，是我们与学校的结合，是对学校学习的一个有意的补充，我们既要查漏补缺，又要建立课程特色，突出自己特点，同时还要加强课程的实用性，新颖性，方法和技巧性。
在新知识上，我们设计的题面更广，题目更深，突出知识点的结合。
突出对知识的理解和迁移运用能力。
结构上的分析，由点及面的学习，举一反三的学习是我们安排的亮点，我们深信“教会一种方法比教会一道题更重要”。
请老师们时不时翻看中学的数学课本，会有更多理解。
注：
每讲都设有答案，本答案仅是为了方便教学和辅导，请仅作参考，若有不当敬请谅解。
第七讲实际问题与一元一次方程
课程目标
1.加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决问题的能力。
2.通过对实际问题的探索过程，体会数学的价值。
课程重点
利用列方程解决实际问题。
课程难点
找出题中暗含的选题关系，分析方程的解与实际问题是否相符。
教学方法建议
掌握用方程解决实际问题的一般方法，学会分析题目中的数量关系，并能将相等关系转化为方程，求解方程后又能将方程的解转化为实际问题的解答。
【课堂引入】
知识块
基本知识
发散知识
综合方法
学习说明
实际问题与一元一次方程
列一元一次方程解应用题的一般步骤、列一元一次方程解应用题。
列一元一次方程解应用题
常见的应用题型的归纳、总结
近几年来，列方程解应用题常见于创新题，以及与现实生活密切相关的解答题中。
一，基础知识和发散知识
考点一，列方程解应用题的一般方法和步骤：
列方程解应用题的关键是从问题中找出一个相等关系，然后恰当地设出未知数，把相等关系中的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样就可列出方程。
列方程解应用题的方法步骤可概括为：
（1）审题：
分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系；
（2）设未知数，一般是求什么就设什么为x，但有时也可以设间接未知数，就是把题目中与要；求的未知量相关的另一些量设为未知数，先求出这些量后，再求问题中要求的量；
（3）列方程：
把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程；
（4）解方程：
求出未知数的值；
（5）检验，看方程的解是否符合题意；
（6）写出答案（包括单位）。
考点二，常见应用题型的归纳总结
1：
市场经济、打折销售问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
例1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？
优惠价是多少元？
[分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式
进价
折扣率
标价
优惠价
利润率
60元
8折
X元
80%X
40%
等量关系：
商品利润率=商品利润/商品进价
解：
设标价是X元，
解之：
x=105
优惠价为
例2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
X元
8折
（1+40%）X元
80%（1+40%）X
15元
等量关系：
（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15
解：
设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125
答：
进价是125元。
课堂练习：
1．一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为________元．
2．某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元．
3．某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（）．
A．25%B．40%C．50%D．1
4．两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（）．
A．赢利16.8元B．亏本3元C．赢利3元D．不赢不亏
5.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？
若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）
A.45%×（1+80%）x-x=50B.80%×（1+45%）x-x=50
C.x-80%×（1+45%）x=50D.80%×（1-45%）x-x=50
参考答案：
1.60；2.180；3.C；4.B.
2：
方案选择问题
一件产品（或一项工作）在生产（或进行）时，常常要有一种或几种设计方案，从中选择出一个最优方案，这种问题通常称之为优化设计问题或最优方案选择问题。
例：
某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：
如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：
尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？
为什么？
解：
方案一：
获利140×4500=630000（元）
方案二：
获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）
方案三：
设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．
依题意得
=15解得x=60
获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）
因为第三种获利最多，所以应选择方案三．
课堂练习：
1．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：
“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．
（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？
2．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？
应交电费是多少元？
参考答案：
1.解：
（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．
（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．
即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．
（3）由0.2x+50=120，解得x=350
由0.4x+50=120，得x=300
因为350>300
故第一种通话方式比较合算．
2.解：
（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90
所以0.36×90=32.40（元）
答：
九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
3：
行程问题的意义
路程、速度、时间三者关系为：
，也可得两个变形式：
（路程、速度、时间的单位分别是
）
行船问题：
平均速度问题：
例1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）分析：
相遇问题，画图表示为：
等量关系是：
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480 解这个方程，230x=390
答：
快车开出
小时两车相遇
分析：
相背而行，画图表示为：
等量关系是：
两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，
由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120 ∴x=
答：
小时后两车相距600公里。
（3）分析：
等量关系为：
快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600 50x=120 ∴x=2.4
答：
2.4小时后两车相距600公里。
分析：
追及问题，画图表示为：
等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴x=9.6
答：
9.6小时后快车追上慢车。
分析：
追及问题，等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90（x+1）+480 50x=570 ∴x=11.4
答：
快车开出11.4小时后追上慢车。
例2.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
[分析]]追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。
狗跑的总路程=它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解：
设甲用X小时追上乙，根据题意列方程
5X=3X+5解得X=2.5，狗的总路程：
15×2.5=37.5
答：
狗的总路程是37.5千米。
例3.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
[分析]这属于行船问题，这类问题中要弄清：
（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；
（2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。
相等关系为：
顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
解：
设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为（x-10）千米，
由题意得，
答：
A、B两地之间的路程为32.5千米。
课堂练习
1．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
2.已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？
3.一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。
问：
若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？
若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？
参考答案：
1.解：
设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为
分．过完第二铁桥所需的时间为
分．依题意，可列出方程
+
=
解方程x+50=2x-50得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：
第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．
2.设甲的速度为
千米/小时，依题意得，
3.
（1）
（2）
4.银行存贷问题
（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
（2）利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）
（3）
例1.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。
半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？
（不计利息税）
[分析]等量关系：
本息和=本金×（1+利率）
解：
设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7，解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
答：
银行的年利率是21.6%
一年
2.25
三年
2.70
六年
2.88
例2.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：
（1）直接存入一个6年期；
（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；
（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？
[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。
解：
（1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053
（2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，
Y（1+2.7%×3）（1+2.7%×3）=20000，X=17115
（3）设存入一年期本金为Z元，
Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894
所以存入一个6年期的本金最少。
课堂练习：
1.利息税的计算方法是：
利息税=利息×20%．某储户按一年定期存款一笔，年利率2.25%，一年后取出时，扣除了利息税90元，据此分析，这笔存款的到期利息是____元，本金是_______元，银行向储户支付的现金是________元．
2．小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．
3.为了准备小明三年后上高中的学费，他的父母准备现在拿出3000元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为1.98%，二年期利率为2.25%，三年期利率为2.52%，请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多．
参考答案：
1.4502000020360；
2.解：
设这种债券的年利率是x，根据题意有
4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，解得x=0.03
答：
这种债券的年利率为0.03．
3.解：
利用公式分三种情况（一年期、二年期、三年期）进行计算，再进行比较即可获得答案．
一年期：
设利息为x元，则x=3000×1.98%×1=59.4（元）
二年期：
设利息为x元，则x=3000×2.25%×2=135（元）
三年期：
设利息为x元，则x=3000×2.52%×3=226.8（元）
∵59.4<
∴三年期储蓄利息最多．
5.工程问题
工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
例1.一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？
[分析]甲独作10天完成，说明的他的工作效率是
乙的工作效率是
等量关系是：
甲乙合作的效率×合作的时间=1
解：
设合作X天完成,依题意得方程
答：
两人合作
天完成
例2.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，
答：
乙还需
天才能完成全部工程。
例3.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
[分析]等量关系为：
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
解：
设打开丙管后x小时可注满水池，
由题意得，
答：
打开丙管后
小时可注满水池。
课堂练习：
1.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
2.一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？
参考答案：
1.解：
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．
根据题意，得
×
+（
+
）x=1解这个方程，得x=
=2小时12分
答：
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
2.设还需
6.数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
例1.一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数
[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和为17。
解：
设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X
X+X+7+3X=17解得X=2
X+7=9，3X=6答：
这个三位数是926
例2.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数
等量关系：
原两位数+36=对调后新两位数
解：
设十位上的数字X，则个位上的数是2X，
10×2X+X=（10X+2X）+36解得X=4，2X=8，答：
原来的两位数是48。
课堂练习：
1.一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？
2.有一个三位数，百位数字是1，若把1移到最后，其他两位数字顺序比变，所得的三位数比原数的2倍少7，求原来这个三位数。
3.若有一个七位自然数，它的第一位数字是5，若把5移到末位，其他数位上的数字顺序不变，则原数等于这个新数的3倍还多8，求原来的七位数。
7.若干应用问题等量关系的规律
（1）和、差、倍、分问题此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
（2）等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式
V=底面积×高＝S·h＝
r2h
②长方体的体积
V＝长×宽×高＝abc
课堂练习
1..某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的
问每个仓库各有多少粮食？
2.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，
≈3.14）．
参考答案：
1.解：
设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
·（
）2x=300×300×80
x≈229.3
答：
圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
2.设乙的高为
课后练习
1.某
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