第六章 实数 三维目标教案 新版人教七年级数学下册.docx
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第六章实数三维目标教案新版人教七年级数学下册
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第六章实数
单元（章）教学计划
1、地位与作用：
本章<实数>是人教版八年级数学上册第三十章内容。
学习算术平方根，平方根，立方根之后，为学习实数打下基础；由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。
运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。
因此，本章是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。
2、目标与要求：
知识与技能
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；会用计算器求算术平方根；使学生理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
学会平方根的表示法和求非负数的平方根；进一步认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯
过程与方法
通过了解平方与开平方的关系，培养学生逆向思维能力；能对具体情景中的数学信息作出合理的解释和推断、解决问题，能由实际问题抽象成数学问题，让学生讨论、类比提出自己的见解，并在探索的同时较好的获得新知；经历在具体例子中抽象出概念的过程，培养学习的主动性，提高数学运算能力。
情感态度与价值观
通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。
3、重点与难点：
重点：
算术平方根、平方根、立方根的概念和运算；实数的认识。
难点：
算术平方根与平方根联系与区别；有理数与无理数的区别。
4、教法与学法：
教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法.
5、活动步骤：
一、创设导入；二、探索归纳；三、应用；四、练习；五、课堂总结；六、布置作业；
6、时间安排：
6.1平方根3课时
6.2立方根1课时
6.3实数2课时
复习与小结2课时
6.1.1平方根（第一课时）
【教学目标】
知识与技能：
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；
过程与方法：
通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。
情感态度与价值观：
通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。
教学重点：
算术平方根的概念和求法。
教学难点：
算术平方根的求法。
教具准备:
三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。
教学方法:
自主探究、启发引导、小组合作
【教学过程】
一、情境引入：
问题：
学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
二、探索归纳：
1.探索：
学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：
边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为。
接下来教师可以再深入地引导此问题：
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、，那么正方形的边长分别是多少呢？
学生会求出边长分别是1、3、4、6、，接下来教师可以引导性地提问：
上面的问题它们有共同点吗？
它们的本质是什么呢？
这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。
2.归纳：
⑴算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。
⑵算术平方根的表示方法：
a的算术平方根记为，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开方数。
三、应用：
求下列各数的算术平方根：
⑴⑵⑶⑷⑸
解：
⑴因为所以的算术平方根是，即；
⑵因为，所以的算术平方根是，即；
⑶因为，所以的算术平方根是，即；
⑷因为，所以的算术平方根是，即；
⑸因为，所以的算术平方根是，即。
注：
①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；
②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；
③0的算术平方根是0。
由此例题教师可以引导学生思考如下问题：
你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？
任意一个负数有算术平方根吗？
归纳：
一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
即：
只有非负数有算术平方根，如果有意义，那么。
注：
且这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。
求下列各式的值：
（1）
（2）（3）（4）
分析：
此题本质还是求几个非负数的算术平方根。
解：
（1）
（2）（3）（4）
求下列各数的算术平方根：
⑴⑵⑶⑷
解：
（1）因为，所以；
⑵因为，所以；
⑶因为，所以；
⑷因为，所以。
根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：
1、由，，可得
2、由，，可得
教师需强调时对两种情况都成立。
四、随堂练习：
1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。
2、求下列各式的值：
，，，
3、求下列各数的算术平方根：
，，，，
4、已知求的值。
五、课堂小结
1、这节课学习了什么呢？
2、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3、怎样求一个正数的算术平方根？
六、布置作业课本第47页习题6.1第1、2题
6.1.2平方根（第2课时）
【教学目标】
知识与技能：
会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。
过程与方法：
通过折纸认识第一个无理数，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。
用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：
通过探究的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点：
①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。
②会用算术平方根的知识解决实际问题。
教学难点：
认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。
教学方法:
自主探究、启发引导、小组合作
教学过程：
一、通过实验引入：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为，则，由算术平方根的意义可知，
所以大正方形的边长为。
二、讨论的大小：
由上面的实验我们认识了，它的大小是多少呢？
它所表示的数有什么特征呢？
下面我们讨论的大小。
因为＜＜，所以＜＜.
因为，，所以＜＜。
因为，，所以＜＜
因为，，所以＜＜
……
如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。
=……
注：
这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。
=……，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如等，圆周率π也是一个无限不循环小数。
三、用计算器求算术平方根：
大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。
用计算器求下列各式的值：
；（精确到
解：
（1）依次按键，显示：
56.所以
（2）依次按键2=，显示：
，这是一个近似值。
所以
注：
不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。
四、探索规律：
（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
…
…
…
…
（2）用计算器计算（结果保留4个有效数字），并利用你发现的规律写出，，的近似值。
你能根据的值求出的值吗？
学生通过计算器可求出
（1）的答案，依次是：
。
从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。
由可得
，由的值不能求出的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出。
此题学生可独立完成。
五、实际应用：
例1、小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
的长方形纸片，使它的长与宽之比为：
，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：
“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。
”你同意小明的说法吗？
小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
分析：
学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。
通过计算和讲解纠正这种错误的认识。
解：
设长方形纸片的长为，宽为。
根据边长与面积的关系可得：
，，，
∴长方形纸片的长为。
因为﹥，所以﹥，从而﹥
即长方形纸片的长应该大于，而已知正方形纸片的边长只有，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。
答：
不能同意小明的说法。
小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
六、随堂练习：
1.用计算器求下列各式的值：
（1）
（2）（3）（精确到）
2、估计大小：
（1）与
（2）与
3、已知，求，，，的值。
七、课堂小结
1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；
2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
4、怎样的数是无限不循环小数？
八、布置作业
课本第47页习题6.1第5、6题
教学反思：
6.1.3平方根（第三课时）
【教学目标】
知识与技能
了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根
过程与方法
通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。
通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。
情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。
通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点:
了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。
教学难点:
平方根与算术平方根的区别和联系。
教学方法:
自主探究、启发引导、小组合作
教学过程
一、情境导入
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
讨论：
这样的数有两个，它们是3和－3.注意中括号的作用．
又如：
，则x等于多少呢？
二、探索归纳：
1、平方根的概念：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：
如果=a，那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：
3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．
2、观察：
课本P73的图14.1-2.
图14.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．并根据这个关系说出1,4,9的平方根．
例4求下列各数的平方根。
（1）100
（2）（3）0.25
3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？
0的平方根是多少？
负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：
正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示．
例5求下列各式的值。
（1），
（2）－，（3）（4），
归纳：
平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
三、练习
课本P75小练习1、2、3
四、小结：
1、什么叫做一个数的平方根？
2、正数、0、负数的平方根有什么规律？
3、怎样求出一个数的平方根？
数a的平方怎样表示？
五、作业
P47习题6.1第3、8题。
教学反思
6.2立方根
【教学目标】
知识与技能：
1了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；
2会用计算器求一个数的立方根。
过程与方法：
从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。
情感态度与价值观：
通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。
教学重点：
立方根的概念和求法
教学难点：
立方根的求法。
教学过程：
一、情景引入：
要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
二、探索归纳：
1.探索：
设这种包装箱的边长为，则，
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
因为，所以，即这种包装箱的边长应为。
2.归纳：
1立方根的概念：
一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。
2立方根的表示方法：
如果，那么叫做的立方根。
记作，读作三次根号。
其中是被开方数，3是根指数，中的根指数3不能省略。
3开立方的概念：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。
3、探索立方根的特点：
根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？
（1）因为，所以8的立方根是（）；
（2）因为，所以的立方根是（）；
（3）因为，所以0的立方根是（）；
（4）因为，所以的立方根是（）；
（5）因为，所以的立方根是（）。
学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：
填空：
因为＿＿＿，＿＿＿，所以＿＿＿；
因为＿＿＿，＿＿＿，所以＿＿＿
由上面两个例子可归纳出：
一般地，。
注：
这个关系对于正数、负数、零都成立。
求负数的立方根时，可以先求出这个负数的
绝对值的立方根，然后再确它的相反数。
三、应用：
例1、求下列各式的值：
（1）
（2）（3）
分析：
根据立方根的意义求解。
解：
（1）
（2）（3）
例2、求下列各式中的值：
分析：
此题的本质还是求立方根
（1）
（2）（3）
解：
（1）∵∴∴
（2）∵∴∴
（3）∵∴∴
例3、用计算器计算，，，，的值，你发现了什么？
并总结出来。
利用你前面发现的规律填空：
已知，则＿＿＿，＿＿＿。
分析：
在用计算器求立方根时按键顺序是：
、被开立方的数字、=，
这样即可显示出计算结果
解：
，，，，
由此发现：
一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。
，。
四、随堂练习：
1、立方根等于本身的数是＿＿＿，如果则＿＿＿。
2、的立方根是＿＿＿＿，的立方根是＿＿＿＿。
3、已知的立方根是4，求的算术平方根。
4、已知，求的值。
5、比较大小：
（1）＿＿，
（2）＿＿，（3）3＿＿
五、课堂小结
1.立方根和开立方的定义．
2.正数、0、负数的立方根的特征．
3.立方根与平方根的异同．
六、布置作业
课本第51页习题6.2第1、2、3题；
教学反思：
6.3.1实数
第一课时
【教学目标】
知识与技能：
1了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
2知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。
情感态度与价值观：
1通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；
2敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点：
1了解无理数和实数的概念；
2对实数进行分类。
教学难点：
对无理数的认识。
【教学过程】
一、复习引入无理数：
利用计算器把下列有理数写成小数的形式，它们有什么特征？
发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
即：
归纳：
任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，
反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，
把无限不循环小数叫做无理数。
比如等都是无理数。
…也是无理数。
二、实数及其分类：
1、实数的概念：
有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：
按照定义分类如下：
实数
按照正负分类如下：
实数
3、实数与数轴上点的关系：
我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。
物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？
活动1：
直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
活动2：
在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是。
事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。
归纳：
①实数与数轴上的点是一一对应的。
即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
三、应用：
例1、下列实数中，无理数有哪些？
，，，，，，，π，。
解：
无理数有：
，，π
注：
①带根号的数不一定是无理数，比如，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。
比如。
例2、把无理数在数轴上表示出来。
分析：
类比的表示方法，我们需要构造出长度为的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。
解：
如图所示，
由勾股定理可知：
以原点为圆心，以长度为半径画弧，
与数轴的正半轴交于点,则点就表示。
四、随堂练习：
1、判断下列说法是否正确：
⑴无限小数都是无理数；
⑵无理数都是无限小数；
⑶带根号的数都是无理数；
⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。
2、把下列各数分别填在相应的集合里：
，，，，，，，，。
3、比较下列各组实数的大小：
（1），
（2）π，（3）（4）
五、课堂小结
1、无理数、实数的意义及实数的分类.2、实数与数轴的对应关系.
六、布置作业
P57习题6.3第1、2、3题；
教学反思：
6.3.2实数
第二课时
【教学目标】
知识与技能：
1掌握实数的相反数和绝对值；
2掌握实数的运算律和运算性质.
过程与方法：
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。
情感态度与价值观：
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。
教学重点：
1会求实数的相反数和绝对值；
2会进行实数的加减法运算；
3会进行实数的近似计算。
教学难点：
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。
【教学过程】
一、复习引入：
有理数的一些概念和运算性质运算律：
1、相反数：
有理数的相反数是。
2、绝对值：
当≥0时，，当≤0时，。
3、运算律和运算性质：
有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。
二、实数的运算：
1.实数的相反数：
数的相反数是。
2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。
三、应用：
例1、
（1）求的绝对值和相反数；
（2）已知一个数的绝对值是，求这个数。
解：
（1）因为，所以，
（2）因为，所以绝对值为的数是或。
例2、计算下列各式的值：
（1）；
（2）。
分析：
运用加法的结合律和分配律。
解：
（1）
；
（2）
例3、计算：
（1）（精确到）
（2）（结果保留3个有效数字）
解：
（1）
；
（2）
。
四、随堂练习：
1、计算：
（1）；
（2）；
（3）；（4）。
2、计算：
（1）（精确到0.01）；
（2）（精确到十分位）。
3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是
。
（1）依次连接，围成的四边形是一个什么图形？
（2）求这个四边形的面积。
（3）将这个四边形向下平移个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？
五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律。
2、实数的相反数和绝对值的意义
六、布置作业
课本P57习题6.3第5、6、7题；
教学反思：
本章复习
本章的知识网络结构：
知识梳理
一．数的开方主要知识点：
【1】平方根：
1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：
。
因此：
2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：
。
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1.
（1）的平方是64，所以64的平方根是；
（2）的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是
（4）当x时，有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？
这个正数是多少？
【算术平方根】：
1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：
“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：
0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质：
具有双重非负性，即：
。
3.算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
。
例2.
（1）下列说法正确的是（）
A．1的立方根是B．C.的平方根是D.0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（）
A.B.C.D.
（3）的算术平方根是。
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