八年级上册勾股定理练习题及答案doc.docx
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八年级上册勾股定理练习题及答案doc
八年级勾股定理练习题及答案
1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2BC2AC2的值是（）
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件
ABCD，AD∥BC，斜腰
DC的长为
10cm，
∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______cm（结果不取近似值）.
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，
旗杆在断裂之前高多少m
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底
部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.
“路”
3m
4m
第2题图
第5题图
6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机
距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米
7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有
一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
第7题图
8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。
求CD的长.
第8题图
8.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.
第9题图
10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，
他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所
走的最短路程是多少
11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米
18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
13m5m
第11题
12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用
两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：
00甲先出发，他以6千米/时的
速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：
00，甲、乙二人相
距多远还能保持联系吗
第一课时答案：
，提示：
根据勾股定理得
BC
2
AC
2
2
BC
2
AC
2
1，所以AB
=1+1=2；
，提示：
由勾股定理可得斜边的长为
5
m，而3+4-5=2m，所以他们少走了
4步.
3.60，提示：
设斜边的高为
x，根据勾股定理求斜边为
122
52
16913，再
13
15
1
60
利用面积法得，
12
13
x,x
；
2
2
13
4.解：
依题意，AB=16m，AC=12m，
在直角三角形ABC中,由勾股定理,
BC2AB2AC2162122202,
所以BC=20m,20+12=32（m）,
故旗杆在断裂之前有32m高.
6.解:
如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得
BC=50002400023000（米）,
3
所以飞机飞行的速度为540（千米/小时）
20
3600
7.解：
将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CE⊥AB于E.
在Rt
CEF,
CEF90
，EF=18-1-1=16（cm），
CE=
1
30（cm），
60
2.
由勾股定理，得
CF=
2
2
30
2
16
2
34（）
CE
EF
cm
8.解：
在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得
BC2
AC2
AB2
32
42
25
在直角三角形
CBD中，根据勾股定理，得
2
2
2
2
CD=BC+BD=25+12=169，所以CD=13.
9.解：
延长BC、AD交于点E.（如图所示）
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，
设AB=x，则AE=2x，由勾股定理。
得（2x）2
x2
82,x
8
3
3
10.如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则
Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=17km
11.解：
根据勾股定理求得水平长为132
52
12m，
地毯的总长为12+5=17（m），地毯的面积为
17×2=34（m2），
铺完这个楼道至少需要花为：
34×18=612（元）
12.解：
如图，甲从上午8：
00到上午10：
00一共走了2小时，
A′B就是最短路线.在
A′
MPN
A
DB
第10题图
走了12千米，即
=12．
B
OA
乙从上午9：
00到上午10：
00一共走了1小时，
A
O
走了5千米，即
=5．
OB
在Rt△
中，
2
=122十52＝169，∴
=13，
OAB
AB
AB
因此，上午
10：
00时，甲、乙两人相距
13千米．
∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．
勾股定理的逆定理
（2）
一、选择题
1.
下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（
）
，12，15B.
5
3
，，
，41，9
1,
4
4
2.
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（
）
A.三个内角比为
1∶2∶1
B.
三边之比为1∶2∶
5
C.三边之比为
3∶2∶
5
D.三个内角比为1∶2∶3
3.
已知三角形两边长为
2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（
）
A.
2B.
2
10
C.
4
2或210D.以上都不对
4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）
ABCD
二、填空题
5.
△ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是
.
6.
三边为9、12、15的三角形，其面积为
.
7.
已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a
b10,ab18，c8，则此三角形为
三角形.
8.
在三角形ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则BC边上的高为AD=
cm.
三、解答题
9.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
第9题图
10.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，
CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，
问△AEF是什么三角形请说明理由.
AD
F
BEC
第10题
11.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处
有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴
子从
处滑到地面
，再由
B
跑到
，已知两猴子所经路程都是
15m，求树高.
D
B
C
AB
A
.
12.如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道公里，问几天才能把隧道AB凿通
勾股定理的逆定理答案：
一、；；，提示：
当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边
=22
62
210;当6
为斜边时，第三边为直角边=62
22
42；4.C；
二、°提示：
根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为
D
90°.，提示：
先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为191254.7.直角，
2
提示：
（ab）2100,得a2b22ab100,a2b21002186482c2；
8.60，提示：
先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得
13
1125113AD；
22
三、9.解：
连接AC，在Rt△ABC中，
22222
AC=AB＋BC=3＋4=25，∴AC=5.
222
在△ACD中，∵AC＋CD=25＋12=169，
22
而AB=13=169，
222
∴AC＋CD=AB，∴∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=1AB·BC＋1AC·CD=1×3×4＋1×5×12=6＋30=36.
2222
22
10.解：
由勾股定理得AE=25，EF=5，
2
=20，∵
2=
2
+
2
，
AF
AE
EF
AF
∴△AEF是直角三角形
11.设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴（x+10）2+52=（15-x）2，解得x=2，∴10+x=12（米）
12.解：
第七组，a27115,b27（71）112,c1121113.
第n组，a2n1,b2n（n1）,c2n（n1）1
勾股定理的逆定理
（3）
图18－2－7
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（
6.已知△ABC的三边分别为
k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：
△ABC是直角三角形.
）
A.三内角之比为1∶2∶3
B.
三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5
D.
三内角之比为3∶4∶5
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件
ABCD，AD∥BC，斜腰
DC的长为
10cm，
二、综合·应用
∠D=120°，则该零件另一腰
AB的长是________cm（结果不取近似值）.
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是
2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直
角三角形吗为什么
图18图18－2－5图18－2－6
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，
则AB的长为_________.
8.已知：
如图
18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且
2
CD=AD·BD.
4.如图18－2－6，已知正方形
ABCD的边长为
4，E为AB中点，F为AD上的一点，且
AF=1AD，
求证：
△ABC是直角三角形.
4
试判断△EFC的形状.
图18－2－8
5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零
9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB
件各边尺寸：
AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗
是直角三角形吗借助于网格，证明你的结论
.图18－2－9
10.已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
12.已知：
如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：
四边形ABCD
的面积.
图18
－2－10
参考答案
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5
思路分析：
判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：
①有一个角是直角或两锐角互
余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.
由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
答案：
D
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件
ABCD，AD∥BC，斜腰
DC的长为
10cm，
∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________cm（结果不取近似值）.
图18－2－4
解：
过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5cm.
根据勾股定理的逆定理得，
DE=102
52
53cm.
∴AB=102
52
5
3cm.
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，
则AB的长为_________.
图18－2－5
图18－2－6
思路分析：
因为△ABC是Rt△，所以
2
2
2
=S3，所以S3
2
BC+AC=AB,即S1+S2
=12，因为S3=AB,所以
AB=S3
1223.
答案：
23
4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD，
4
试判断△EFC的形状.
思路分析：
分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解：
∵E为AB中点，∴BE=2.
2
2
2
2
2
∴CE=BE+BC=2+4=20.
同理可求得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=25.
EF
=AE+AF=2+1=5,CF
=DF+CD=3+4
∵CE2+EF2=CF2,
∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：
AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗
图
18－2－7
思路分析：
要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，
这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
22222
解：
在△ABD中，AB+AD=3+4=9+16=25=BD，所以△ABD为直角三角形，∠A=90°.
在△BDC中,
222222
BD+DC=5+12=25+144=169=13=BC.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB=90°.
因此这个零件符合要求.
6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：
△ABC是直角三角形.
思路分析：
根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.
证明：
∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=（k－1）2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.
∵（k2－1）2+（2k）2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=（k2+1）2,
∴△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直
角三角形吗为什么
思路分析：
如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直
角三角形（例2已证）.
解：
略
2
8.已知：
如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD=AD·BD.
求证：
△ABC是直角三角形.
2
2
2
2
2
OB=OB+BB=2+4=20,
1
1
2
2
2
2
2
=10,
AB=AC+BC=1+3
∴OA2+AB2=OB2.
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
图18－2－8
10.阅读下列解题过程：
已知
a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC
思路分析：
根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.
的形状.
2
2
2
2
2
2
证明：
∵AC=AD+CD，BC=CD+BD，
2
2
2
2
2
解：
∵a2c2－b2c2=a4－b4，（A）∴c2（a2－b2）=（a2+b2）（a2－b2），（B）∴c2=a2+b2，（C）∴△ABC是直
∴AC+BC=AD+2CD+BD
2
2
角三角形.
=AD+2AD·BD+BD
=（AD+BD）2=AB2.
问：
①上述解题
过程是从哪一步开始出现错误的请写出该步的代号
_______；
∴△ABC是直角三角形.
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
思路分析：
做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽
9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB
视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.
是直角三角形吗借助于网格，证明你的结论.
答案：
①（B）
②没有考虑
a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰
三角形或直角三角形.
11.已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
图18－2－9
思路分析：
（1）移项，配成三个完全平方；
（2）三个非负数的和为0，则都为0；（3）已知a、
思路分析
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