菱形得判定.docx
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菱形得判定
菱形的判定
菱形的判定
（1）四条边相等的四边形是菱形；
（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
01 基础题
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是（）
A．AB＝CDB．AD＝BC
C．AB＝BCD．AC＝BD
第1题图第2题图
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（）
A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°
3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：
四边形AEDF是菱形．
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件（答案不唯一），使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）
5．（2017·岳阳）求证：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．
知识点3 四条边相等的四边形是菱形
6．（2016·大庆）下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形
7．（2017·宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：
四边形ABMD是菱形．
02 中档题
8．（2017·聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）
A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC
9．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：
分别以点A和点B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）
A．矩形B．菱形C．一般的四边形D．平行四边形
10．（2016·兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2
，DE＝2，则四边形OCED的面积为（）
A．2
B．4
C．4
D．8
11．（2016·沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：
12．（2016·聊城）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：
四边形ADCF是菱形．
03 综合题
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.
（1）求证：
AD＝BC；
（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：
线段EF与线段GH互相垂直平分．
一．选择题
1．下列命题正确的是（）
A．邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．下列命题中，正确的是（）
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形
1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）
A．AB=CDB．AC=BD
C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC=90°时，它是矩形
2．下列命题不正确的是（）
A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;
B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;
C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.
二．填空题
1．在平行四边形ABCD中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD为______形．
2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是______形．
3．（方案设计题）小华为班级设计了一个班徽，图中有一菱形，为了检验小华所画的菱形是否准确，请你以带有刻度的三角尺为工具，帮小华设计一个检验的方案．
4．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________．
三．解答题
1.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E
.求证:
四边形AFCE是菱形.
2.如图所示，O是矩形对角线交点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于E，F，若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积．
3.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：
AD⊥EF．
4.（2017安顺）已知：
如图11所示，在
中，
分别是
边上的中点．
（1）求证：
四边形
是菱形
（2）若
，求菱形
的周长．
5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？
为什么？
6．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试说明四边形AEDF是菱形．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由．
8.如图所示，过
ABCD的对角线的交点O作互相垂直的两条直线EG，FH，与平行四边形各边分别交于E，F，G，H，求证：
四边形EFGH是菱形．
7..如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：
四边形ACEF是菱形.
8.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.
9．如图所示，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：
△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．
10.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：
四边形EFGH是菱形.
11.（2017青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
（1）求证：
△ABE≌△AD′F；
A
B
C
D
E
F
D′
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
证明你的结论．
12．在如图中，若△ADE≌△CBF，点E、F分别为AB、CD的中点，BD是对角线AG//DB交CB的延长线于G。
①求证：
四边形ABCD是平行四边形；
②若四边形BFDE是菱形，则四边形AGBD是矩形；
③在②中应增加什么条件，才能判别矩形AGBD是正方形。
13．如图，已知O是矩形ABCD对角线BD的中点，过点O作BD的垂线交DC于F，交AB于E，说明四边形DEBF的形状．
14.如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形吗？
说明你的理由．
15．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？
说说你的理由．
16.（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：
△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？
并说明理由．
17.已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：
△PBE∽△PDF；
（2）连接PC，当PE＋PF＋PC取最小值时，求PB的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，以PO为半径（PO＞0）的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．
A
B
C
D
E
P
F
第21题图1
O
A
B
C
D
E
P
F
第21题图2
A
B
C
D
O
第21题备用图2
A
B
C
D
O
第21题备用图1
如图，在四边形
中，点
，
分别是
的中点，
分别是
的中点，
满足什么条件时，四边形
是菱形？
请证明你的结论．
（第27题图）
是等边三角形，点
是射线
上的一个动点（点
不与点
重合），
是以
为边的等边三角形，过点
作
的平行线，分别交射线
于点
，连接
．
（1）如图（a）所示，当点
在线段
上时．
①求证：
；
②探究四边形
是怎样特殊的四边形？
并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点
在
的延长线上时，直接写出
（1）中的两个结论是否成立？
（3）在
（2）的情况下，当点
运动到什么位置时，四边形
是菱形？
并说明理由．
A
G
C
D
B
F
E
图（a）
A
D
C
B
F
E
G
图（b）
第25题图
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