天津科技大学高等数学试题库定积分答案.docx

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天津科技大学高等数学试题库定积分答案

定积分

一、填空题

难度系数0.2以下:

12的值是.1.由定积分的几何意义可知，定积分1,xdx,/4,0

a2222.由定积分的几何意义知_________.axx,,da,/2,,a

23.由定积分的几何意义知________.xxd,3/2,,1

4.由定积分的几何意义知__0______.sindxx,,,,

25.一物体以速度做直线运动，则物体在到这段时间内行vttms,，3（）t,0t,3

进的路程为________.45/2

11236.比较大小，_______.（用“”、“”或“”填空）,,,,xxdxxd,,00

2237.比较大小，_______.（用“”、“”或“”填空）,,,,xxdxxd,,11

,3228.比较大小，__,__.（用“,”、“,”或“”填空）,sindxxsindxx,,00

5529.比较大小，__,___.（用“,”、“,”或“,”填空）lndxx（ln）dxx,,33

1d210.0.sindxx,,0dx

d2211..sinxsindxx,,dx

xd2212..tt,sinxsind,0xd

0d2213..xx,,sinxsind,xxd2xd2414..tt,2xsinxsind,0xd

x22,t-x15._________________________.dedt,edx，，,0

1sintsinx,,16.ddt,_________________________.,dx,,,xtx,,

xsinx,,217._________________________.dxdsindtt,,,,0,,2x

x2tedt,118.求极限____________________.e,lim,1xlnx

x2sindtt1,019.求极限____________________.,lim3,0x3x

x2arctandtt,0120.求极限.,lim33,0xx

a121.若，则的值等于________2____________.xx,，a（2+）d3ln2,1x

a22.若，则________-2____________.a,（21）d4xx,,,,a

2223.已知，则_______9__________.fxx（）d3,[（）+3]dfxx,,,00

222224.由不等式所确定区域的面积A,.xya，,,a

22xy25.由椭圆所围成图形的面积A,.，,1,ab22ab

122226.由圆与直线所围成图形的面积A,.yax,,y,0,a2

1227.由圆与直线所围成图形的面积A,.xy,,1,x,02

28.由曲线，，与直线所围成图形的面积A,2.y,2yx,x,0

29.由曲线A,yx,sin与直线,xx,,0,,所围成图形的面积2.y,0

30.由曲线与直线,所围成图形的面积A,1.yx,cosy,0xx,,0,2

22A,31.由不等式所确定区域的面积.14,，,xy3,

难度系数0.2—0.4:

xe,,x21.dlndxt,_________________________.x（e,2lnx）,,2,x,,

lnx2.设为上的连续函数，且，fx（）[1,），,Fxftt（）（）d,,1

1,则________.Fx（）,Fxfx（）（ln）,x

x2（3sin）dttt，,013.求极限.lim,22,0x3x

sinx2,tetd,04.求极限______1____________.,lim,x0x

1，,1x5..ex,ed2,1x

1xx,6.0.xeex（）d，,,,1

325xxsin7.0.,dx24,,5，，1xx

5x,18..dx,42arctan2,,1x

2x,219.设连续，且，则.fx（）f

（2）,fttx（）d3,,,41

2x1,，tt1,10.若，则.f

（1）,fxt（）d,,2301，，tt

4311..,,（1sin）d,,,,,03

aa12.若，则.2bxxxbasind（0）,,xxxx（sincos）d，,,,,0a

x,xA,13.由曲线，，与直线所围成图形的面积y,ey,ex,11.e，,2e

，，A,14.由曲线，在0,上所围图形的面积yx,sinyx,cos,,4，，

.2,1

2A,15.用定积分表示由曲线与直线及所围成图形的面积y,x,4x,1x,3

4.

22216.由圆所围图形绕轴旋转一周形成一个球体，其体积值=xya，,xV43.,a3

难度系数0.4—0.6:

，,11.反常积分x，当取时收敛.dk,1kk,2xx（ln）

a32222..2a（）dxaxx，,,,,a

xt3.函数在上的最大值是2.[0,1]fxet（）d,,0

224.由单位圆所围图形绕轴旋转一周形成一个球体，其体积值=xy，,1yV4.,3

5.用定积分表示曲线方程上对应一段弧长的弧长的值=yx,lns38,,x

13.1ln，22

难度系数0.6以上:

xelnt,1.若，则1.xfxx（）d,fxt（）d,,,11t

xx1Fxfttt,，2.设正值函数在上连续，则函数在上fx（）[,]ab（）（）dd（,）ab,,abft（）至少有1个根.

23.一立体以抛物线与直线围成区域为底，而用垂直于轴的平面截得的yx,xx,4

截面都是正方形，则平行截面面积Sx（）=;其体积=.4xV32

二、单项选择题

难度系数0.2以下:

121.定积分值的符号为（B）.xxxlnd1,2

（A）大于零;（B）小于零;（C）等于零;（D）不能确定.2.下列等于1的积分是（C）.

11111（A）;（B）;（C）;（D）.xxd

（1）dxx，1dxdx,,,,00002

1xx,3.（D）.（+）deex,,0

121（A）;（B）;（C）;（D）.2ee，e,eee

xx224.（B）.（sin+cos）dx,,022

,,（A）;（B）;（C）;（D）0,,，1222

15.，则（C）.k,（2+）d2xkx,,0

（A）0;（B）-1;（C）1;（D）2.

e11x6.与的大小关系是（A）.nx,mex,dd,,10x

（A）;（B）;（C）;（D）无法确定.mn,mn,mn,

7.下列式子中，正确的是（C）.

1122232（A）;（B）;xxxxdd,lndlndxxxx,,,,,0011

2211xx,2（C）;（D）.xxxxdd,exexdd,,,,,1100

8.已知自由落体运动的速度，则落体运动从到所走的路成为tt,vgt,t,00（C）.

222gtgtgt2000（A）;（B）;（C）;（D）.gt0326

b9.积分中值定理，其中（B）.fxxfba（）d（）（）,,,,a

（A）是[,]ab内任一点;（B）是[,]ab内必定存在的某一点;,,

（C）是[,]ab内唯一的某一点;（D）是[,]ab的中点.,,

x10.设在连续，，则（A）.fx（）[,]ab,（）（）dxftt,,a

（A）是在上的一个原函数;,（）xfx（）[,]ab

（B）是的一个原函数;fx（）,（）x

（C）是在上唯一的原函数;,（）xfx（）[,]ab

（D）是在上唯一的原函数.fx（）,（）x[,]ab

b11.设且在连续，则（B）.fx（）[,]abfxx（）d0,,a

A）;（fx（）0,

（B）必存在使;fx（）0,x

（C）存在唯一的一点使;fx（）0,x

（D）不一定存在点使.fx（）0,x

12.函数在上连续是在上可积的（B）.fx（）[,]abfx（）[,]ab（A）必要条件;（B）充分条件;

（C）充要条件;（D）无关条件.

13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（C）.

331（A）;（B）;lndxxdx,,102,x

02（C）tandxx;（D）.cotdxx,,,,,42

xsindtt,014.极限（C）.,limx,0xttd,0

（A）-1;（B）0;（C）1;（D）2.

0d215.（B）.sintdt,,xdx

22（A）;（B）;sinx,sinx

22（C）;（D）.,2sinxx,sint

b16.定积分（B）.（）（）dxaxbx,,,,a

33（）ba,（）ab,（A）;（B）;66

333（）ba,ba,（C）;（D）.63

a17.设函数在上的连续，则（C）.fx（）[,],aafxx（）d,,,a

a（A）;（B）0;2（）dfxx,0

aa（C）;（D）.[（）（）]dfxfxx，,[（）（）]dfxfxx,,,,00

6618.已知为偶函数且，则（D）.fx（）fxx（）d8,fxx（）d,,,,06（A）0;（B）4;（C）8;（D）16.

22,x19.（D）.exd,,,2

2200422,u,t,x,x2（A）;（B）;（C）;（D）.eudetd2dex2dex,,,,,2,22,2

22xy20.由椭圆所围成图形的面积A,（A）.，,194

（A）;（B）;（C）;（D）.6,9,12,36,

221.由圆与直线所围成图形的面积A,（B）.yx,,4y,0

（A）;（B）;（C）;（D）.,2,3,4,

2222.由圆与直线所围成图形的面积A,（A）.xay,,x,0

1112222（A）;（B）;（C）;（D）.,,a,aa,a324

xA,23.由曲线与轴，直线，所围成图形的面积（B）.yx,sinx,x,02

112（A）;（B）;（C）;（D）（32

2222A,24.由不等式所确定区域的面积（,）.axya,，,4

2222（A）;（B）;（C）;（D）.,a2,a3,a4,a

难度系数0.2—0.4:

lnx,1.设，其中为连续函数，则（A）.fx（）Fx（）,Fxftdt（）（）,1,x

1111（A）;（B）;fxf（ln）（），fxf（ln）（），2xxxx

1111（C）;（D）.fxf（ln）（）,fxf（ln）（）,2xxxx2.下面命题中错误的是（A）.

b（A）若在上连续，则存在;fx（）（,）abfxx（）d,a

（B）若在上可积，则在上必有界;fx（）[,]abfx（）[,]ab

（C）若在上可积，则在上必可积;fx（）[,]abfx（）[,]ab

（D）若在上有界，且只有有限个间断点，则在上必可积.fx（）[,]abfx（）[,]ab3.下列积分值为零的是（C）.

,2222A）（;（B）;（xxxcosdxxxcosd,,,0,2

0222（C）;（D）xxxcosd.xxxsind,,,,,,22

4.下列反常积分收敛的是（B）.

，,，,11（A）;（B）;dxdx2,,11xx

，,，,1x（C）;（D）.exddx,,11x

5.下列反常积分收敛的是（C）.

，,，,lnx1（A）;（B）;xdxd,,eexxxln

，,，,11xx（C）d;（D）.d2,,eexx（ln）xxln

116.（D）.,dx2,,1x

（A）2;（B）-1;（C）;（D）不存在.

x7.函数在上的平均值为（B）.2[0,2]

333（A）;（B）;（C）;（D）.ln23ln222ln22

3,

48.定积分的值是（C）.sin2dxx,0

1133（A）;（B）;（C）;（D）.,,2222

19.关于反常积分，下列结论正确的是（C）.lndxx,0

（A）积分发散;（B）积分收敛于0;（C）积分收敛于-1;（D）积分收敛于1.

222210.由不等式所确定区域的面积（,）.A,axya,，,2

2222（A）;（B）;（C）;（D）.（21）,,a3,a,a2,a

11.由相交于点及的两条曲线，且（,）xy（,）,（）xyxx,yfxygx,,（）,（）112212

所围图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积=（B）.fxgx（）（）0,,xV

xx22222，，（A）;（B）;,fxgxx（）（）d,,fxgxx（）（）d,,,,,，，xx11

xx22222（C）;（D）.,[f（x）,g（x）]dx,fxgxx（）（）d,,,,,xx11

难度系数0.4—0.6:

sinx3421.设，，当时，是的（B）fx（）gx（）gxxx（）,，x,0fxtt（）sind,,0

无穷小量.

（A）高阶;（B）同阶非等价;（C）高阶;（D）低价.

xt2.设，则fx（）（A）.fxtet（）

（1）d,,,0

（A）有极小值;（B）有极大值;2,ee,2（C）有极大值;（D）有极小值.2,ee,2

x3.设在上连续且为奇函数，，则（B）.fx（）[,],aaFxftt（）（）d,,a

（A）是奇函数;（B）是偶函数;Fx（）Fx（）（C）是非奇非偶函数;（D）（A）、（B）、（C）都不对.Fx（）

11，x24.（C）.coslndxx,1,,1,x2

1（A）1;（B）-1;（C）0;（D）.2

bdx5.广义积分的收敛发散性与的关系是（B）.（）ba,kk,a（）xa,

A）时收敛，时发散;（B）时收敛，时发散;（k,1k,1k,1k,1（C）时收敛，时发散;（D）时收敛，时发散.k,1k,1k,1k,1

6.曲线，，，（）及轴所围图形面积（,）.A,yx,lnya,lnyb,lny0,,ab

abeelnblnbxy（A）;（B）;（C）;（D）.lndxxedxlndxxedyba,,,,eelnalna

7.曲线与直线、所围图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积y,0yyx,x,4

（C）.V,

424（A）;（B）;,xxd,yyd,,00

2244（C）;（D）.32d,,,yy16d,,,yy,,00

难度系数0.6以上:

2xtanarctandttt,,01.若，则（D）.k,lim0,,ck,0xx

（A）3;（B）4;（C）5;（D）6.

12,,,,,,2.设连续，已知，应是（C）.fu（）nnxfxxtftt

（2）d（）d,,,00

1（A）2;（B）1;（C）4;（D）.2

A,3.由心形线所围成图形的面积（D）.r,，22cos,

2,1222（A）;（B）;，,,（22cos）d（22cos）d，,,,,002

,122（C）;（D）.，,,（22cos）d，,,（22cos）d,,002

三、计算题

难度系数0.2以下:

11.（（23）dxx，,0

112.解:

（23）d（3）4xxxx，,，,,00

2122.（（）dxxx,，,1x

211152232解:

.（）d[ln]ln2xxxxxx,，,,，,,1,1x2360x3.（（cos）dxex，,,,

00xx,,解:

.（cos）d（sin）1xexxee，,，,,,,,,,

1424.（（3x，2x,1）dx,0

132442531解:

.（321）d[]xxxxxx，,,，,,0,05315a5.（（x,a）（x，a）dx,0

332aa2xaaa2233解:

（（）（）d（）d,xaxaxxaxaa,，,,,,,,,0,,00333

916.（x（1，）dx,4x

9911228443/29

（1）d（）d[2]24x，x,x，x,x，x,,,解:

（4,,44333xx,217.（dx,,3，1x

21,2,ln2解:

（dx,ln1，x,0,ln2,,3,,31，x

,8.（sin（）dxx，,,33

,,,,,,解:

.sin（）dsin（）d（）cos（）0xxxxx，,，，,,，,,,,,,3333333,9.（（sincos）dxxx,,0

,解:

.（sincos）d（cossin）（11）02xxxxx,,,，,,,,,,,00

310.（（sinsin2）dxxx,,0

,3113解:

.,,,，,,（sinsin2）d（coscos2）xxxxx,0240,11.（（1,2sinx）dx,0

,解:

（（1,2sinx）dx,,，2cosx,,，2（,1,1）,,,40,0

2212.（cosdxx,,,2

,,21cos211，x,,,222解:

（cosddsin2xxxxx,,，,,,,,,,,,2222,,,22,2,213.（（1cos）d,,,,0

,,,1cos211,,,22解:

（1cos）dsindd（sin2）,,,,,,,,,,,,,,,,00022220

π,2214（（cosd,,02

πππ,,1cos，1π，22222解:

（,,cosdd,,，,（sin）|,,0,,002224

415.（sectandxxx,0

,44解:

（sectandsec21xxxx,,,0,0

3dx16.（,21/31，x

3dx,,,3arctan解:

（,x,,,,21/31/33661，x1dx217.（,021,x

1dx,,1/22解:

（,arcsinx,,0,0,02661,x1dx18.（,204,x

x1d（）11,dxx2解.,,,arcsin,,20026x,4x02,1（）2

2119.（dx,204，x

21x1,2arctan解:

.,dx,0,202284，x

21x20.（dx2,01，x

22111xx，,111,1解:

（dd

（1）d[arctan]1xxxxx,,,,,,,0,,,2220001114，，，xxx31221.（（）dxx，,2x

3391119322解:

（（）d

（2）d（2ln）lnxxxxxxx，,，，,，，,，,,24x222x2

42x1,22.dx（,31x

4222xx,1111792解:

xxx（d,（,）d,[，],,1,1,,332118xx2x82

41x23.（dx2,01，x

144111xx,，111123解:

dx,d

（1）d（arctan）xxxxxx,,，,,，2,,,220001，x113，，xx0

2,.,,43

2112，x24.（dx122,xx

（1），3

122211112，x1111，，xx解:

dx,dxdxx,，,,，（）（arctan）111,,,2222221xx

（1），xxxxx

（1）1，，3333

.,,1，312

e125.x（d,1xx，（21）

eeee11211xx,,（）解:

,，xx（）dddd21,,,,1111xxxx（），，2121xx，21

ee.,,，,，,，ln|ln（21）|1ln3ln（21）xxe11

3dx26.22,1xx

（1），

333d11x13,3解:

.,,（）dx,,,,,,arctan1x,,2222111xxxx

（1）1，，x31212527.（

（1）dxx,,1

22115562解:

（

（1）d

（1）d

（1）

（1）xxxxx,,,,,,,1,,1166

3dx28.（,42（8,2x）

33xxd1d（8,2）111173解:

（,,,,（,）,2,,44322384xxx26864（8,2）（8,2）6（8,2）

1sin3/,x29.（dx,22/,x

1sin,,3/3/111113/,x解:

（xd,,sind（）•,cos,,0,2/,,,22/2/,,2xxx2x

4sinx30.（dx,1x

444sinx解:

（d2sind2cos2（cos1cos2）xxxx,,,,,,,111x

1arctanx31.（dx,201，x

1211arctan1x,2解:

（,,,darctand（arctan）（arctan）xxxx,,200，1232x0

elnx32.（dx,1x

e13eeln222x22解:

（,d（ln）dln（ln）（10）xxxx,,,,,,11x3331

xln3e33.（dxx,01，e

xln3ln3e1ln3xx解:

（dd

（1）ln

（1）2ln2xee,，,，,0,,xx0011，，ee

a2x34.（xexd,0

aa2221112xxxaa解:

（xexexee,,,,dd

（1）0,,00222

3235.（x1，xdx,0

33111722223/23解:

（x1，xdx,1，xd（1，x）,（1，x）,（8,1）,0,,003233

236.（sincosdttt,0

,,112222解:

（,,,,,sincosdcosdcoscostttttt,,00022,437.（cosxsinxdx,0

,1445,解:

（cosxsinxdx,sinxdsinx,sinx,00,,0052,1cos2,x38.（dx,02

222,,,,1cos2,x解:

dsindsindsindxxxxxxx,,,,,,,000,2

2,,,cosx，cosx,4.0,1xx39.（2dex,0

x1（2e）2e,11xx,解:

.2dex,0,0ln（2e）1，ln2

5140.（dx,113，x

2t,12解:

令，则.于是13，,xtxxtt,,,dd33

4544112224.dddxtttt,,,,,,,,122t333313，x24141.（dx,11，x

2解:

令，则x,t,dx,2tdt.于是x,t

42212d13tt,,,,2.d21d2[ln

（1）]21lnxttt,,,,,，,,1,,,,,,,111112，，tt1，x,,,,9xdx42.（,1，1x

2解:

令，则，，于是x,tx,tdx,2tdt

2933xt1,,,，dx2dt2（t1）dt,,,111，，1t1t，1x

233（,,，，tt42ln

（1）,，42ln211

1x43.（dx,,1,54x

2解:

令，则，，于是x,（5,t）/45,4x,tdx,,tdt/2

323113xttt（5）11,12（dd（5）d（5）xxttt,,,,,,,,,,,13168883t54,x1

2344.（tanxdx,0

,,,,,22333解:

（3tand（sec1）dtan30xxxxx,,,,,,,,,,,000333,2245.（cotdxx,,4

,,,22222解:

（csc1）（cot