全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结.docx

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全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结

邯郸学院本科毕业论文

题目全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨

学生柴云飞

指导教师闫峰教授

年级2009级本科

专业数学与应用数学

二级学院数学系

（系、部）

邯郸学院数学系

2013年6月

郑重声明

本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．

论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．

毕业论文作者（签名）：

年月日

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨

摘　要

全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．

关键词：

数学建模竞赛统计学方法数学规划图论

CommonlyUsedModelingMethodof

ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling 

ChaiyunfeiDirectedbyProfessorYanfeng

Abstract

TheChinaundergraduatemathematicalcontestinmodelinghasbeenattentionbymoreandmorepeopleasabasicsubjectofthelargestnationalcollegecompetition.Themethodofmodelingcompetitionhasbecomemoreandmoreimportant.Openquestionsgraduallyincreasedwiththedevelopmentofcompetition.Mostofthegamescanbesolvedbylotsofsolutions.Sometimesthesemethodscanbeusedtogether.Andthereisalsoalotofdatawhichputsforwardhigherrequirementontheabilityofplayers.Themodelingmethodsistoonumeroustomention,sothisarticlemainlyfourkindsCommonlyusedmodelingmethodareintroducedthatdifferentialanddifferenceequationsmodelingmethod,Mathematicalprogrammingmodelingmethod,Statisticsmodelingmethod,graphtheoryandinterpretswithcalendaryear’stestquestions.

KEYWORDS：

MathematicalcontestinmodelingStatisticsmethodMathematicalprogrammingGraphtheory

前　言

全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．

竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．

竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：

（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；

（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．

纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：

初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．

本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．

1微分方程与差分方程建模

在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.

如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．

1.1微分方程建模

1.1.1微分方程建模的原理和方法

一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．

例1.1有一容器装有某种浓度的溶液，以流量

注入该容器浓度为

的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以

的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．

解注意到溶液浓度=

，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化．

不妨设t时刻容器中溶质质量为

，初始值为

时刻容器中溶液体积为

，初始值为

，则这段时间

内有

，

（1）

其中

表示单位时间内注入溶液的浓度，

表示单位时间内流出溶液的浓度，当

很小时，在

内有

.

（2）

对式

（1）两端同除以

，令

，则有

.（3）

即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．

实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段

去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．

常用微分方程建模的方法主要有：

（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．

此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．

（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．

求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元

，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．

（3）近似模拟法．

在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．

1.1.2微分方程建模应用实例

例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS传播的预测．

2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：

（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；

（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．

问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.

传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者

，感病者

，移出者

三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：

，

利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为

，

其中

，其解为

.

其中

为初始值．

但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.

为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．

1.2差分方程建模

1.2.1差分方程建模的原理和方法

差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：

根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离"^2L*n9G4v4T散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．

差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．

建立差分方程模型一般要注意以下问题：

（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；

（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．

1.2.2差分方程建模应用实例

例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.

题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.

问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.

通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．

首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.

在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．

在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.

2数学规划建模

数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：

线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．

在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．

2.1线性规划建模的一般理论

线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．

一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．

优化模型的一般形式为:

（4）

（5）

.

由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．

称为目标函数，

称为约束条件．

在优化模型中，如果目标函数

和约束条件中的

都是线性函数，则该模型称为线性规划．

建立实际问题线性规划模型的步骤如下：

（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．

（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．

（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．

需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：

（1）优化条件：

问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．

（2）选择条件：

有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．

（3）限制条件：

达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．

此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．

线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．

2.2线性规划建模应用实例

例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.

题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以

为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.

问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.

首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如

岁,

岁,

岁及

岁以上

组．每组中按照

种疗法和

个治疗阶段（如

周，

周，

周，

周），构造

个决策单元．取

种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的

值与开始治疗时

值的比值为输出.

然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：

对第

年龄组疗法

和

在整个治疗中效率较高，在第

阶段仍然有效；对第

年龄组疗法

在第

，

阶段有效；对第

年龄组疗法

，

，

在第

阶段有效；对第

年龄组疗法

，

在第

，

阶段有效．表明只有

岁的年

种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法．

随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．

3统计学建模方法

在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．

如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．

3.1聚类分析

3.1.1聚类分析的原理和方法

该方法说的通俗一点就是，将

个样本，通过适当的方法选取

聚类中心，通过研究8d（~$M1S9u,f,r各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．9c.}-@%}"s:

y,d,[9e$^结果利用sas软件或者spss软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．

聚类分析的类型可分为：

型聚类（即对样本聚类）和

型聚类（即对变量聚类）．

&^/r  T:

C.B,C:

D-z'n7X+h+_:

B（f  M%`（x7O9u%S通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.#}.n.~+E&G:

d%h-s-X聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要9|!

B.K"C2r"Q,S7[注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的（B3}1U4h（|/B;I方法步骤大致如下：

（1）首先把每个样本自成一类；

（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；

（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；

（4）重复第2步，直到只剩下一个类.

3.1.2聚类分析应用实例

例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.

题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：

（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；

（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.

问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.

由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．

该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．

3.2回归分析

回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．

3.2.1回归分析的原理与方法

回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：

建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．

回归分析的主要步骤为：

（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．

（2）解出回归系数．

（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．

（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.

需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．

3.2.2回归分析应用实例

例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.

题目同例2.1．

问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.

问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．

以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法

用一次模型较优，且一次项系数为负，即

在减少，从数值看疗法

优于疗法

和

；疗法

用二次模型较优，即

先增后减，在

左右达到最大．可以通过

条回归曲线进行比较，显示疗法

在

周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法

与

无显著性差异，而疗法

与

，

与

，

与

均有显著性差异．

4图论建模方法

图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广