111课时作业.docx
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111课时作业
课时作业（六十）
一、选择题
1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有（ ）种走法？
A．8 B．23
C．42D．24
答案 B
解析 由一层到二层有2种选择，
二层到三层有2种选择，
三层到四层有2种选择，
∴23＝8.
2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有（ ）
A．6种B．9种
C．10种D．12种
答案 B
解析 找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：
其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．
3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．5B．4
C．6D．8
答案 D
解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：
1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为：
1,3,9，当公比为
时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．
4．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有（ ）
A．9种B．16种
C．20种D．28种
答案 D
解析 当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．
5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为（ ）
A．42B．30
C．20D．12
答案 A
解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42（种）．
6．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有（ ）
A．32个B．27个
C．81个D．64个
答案 D
解析 可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.
7．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有（ ）
A．6种B．5种
C．4种D．3种
答案 C
解析 若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4（种）不同的选派方法．
8．（2011·大纲全国）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种B．10种
C．18种D．20种
答案 B
解析 依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：
第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C
＝6（种）．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10（种），选B.
9．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．
答案 12
解析 分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．
10．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．
答案 10
解析 设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，b1）（a2，b2），（a2，c），（b1，b2），（b1，c）（b2，c），共10种．
11．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．
答案 162个
解析 一位数8个，两位数8×9＝72个．
3位数
1
×
×
有9×9＝81个，
另外
2
×
×
1个（即200），
共有8＋72＋81＋1＝162个．
12．（2011·北京理）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．（用数字作答）
答案 14
解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．
13.
如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．
答案 180种
解析 按区域分四步：
第一步A区域有5种颜色可选；
第二步B区域有4种颜色可选；
第三步C区域有3种颜色可选；
第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180（种）
14．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
（1）若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
（2）若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
解析
（1）若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．
（2）若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．
15．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？
答案 7
解析 可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．
设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500，（x，y∈N*，有x≥3，y≥2）按购买x片分类；
x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法；
x＝4，则y＝2,3，共2种方法；
x＝5，则y＝2，共1种方法；
x＝6，则y＝2，共1种方法．
依分类计数原理不同的选购方式有
N＝3＋2＋1＋1＝7（种）．
答：
不同的选购方式有7种．
探究 本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．
1．某外商计划在4个侯选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A．16种B．36种
C．42种D．60种
答案 D
解析 第一类：
每个城市不超过1个，则有A34＝4×3×2＝24；第二类：
有一个城市投资两个项目，则有：
C14·C23·C13＝4×3×3＝36，共有24＋36＝60，故选D.
2．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有（ ）
A．30种B．10种
C．16种D．24种
（提示：
按有几个开关闭合分类）
答案 C
解析 5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16（种）．
3．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．
答案 8
解析 当A＝Ø时，集合B＝{a，b}；当A只1个元素时，B可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A＝{a，b}时，集合B＝Ø，{a，}，{b}，此时有3种情况，综上可知，符合条件的A、B共有1＋4＋3＝8种．
4．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．
答案 14个
解析 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7（个）；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7（个）．则共有14个点．
5．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．
答案 63
解析 对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理．
可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63（种）
6．给如图所示的4个区域涂上颜色，可得一个漂亮的“太极图”，现有红、黑、黄、蓝4种颜料供选用，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方法的种数为（ ）
A．24B．72
C．84D．60
答案 D
解析 若用4种颜料涂色，则有A
＝24种；若用3种颜料涂色，则有A
＝24种；若用2种颜料涂色，则有
A
＝12种，故共有24＋24＋12＝60种．
1．（2012·海淀模拟）有这样一种数字游戏：
在3×3的表格中，要求要每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1（如图①），则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的（如图②），则此游戏共有________种不同的填法．
1
① ②
答案 4 12
解析 对于图①，第1行有2种填法，其余空格有2种填法，故共有4种填法．对于图②，第1行有6种填法，其余空格有2种填法，故共有6×2＝12（种）填法．
2．设直线方程为Ax＋By＝0，从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数为（ ）
A．20B．19
C．18D．16
答案 C
解析 确定直线只需依次确定系数A，B即可．先确定A，有5种取法，再确定B有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20种，但是x＋2y＝0与2x＋4y＝0,2x＋y＝0与4x＋2y＝0表示相同的直线，所以不同的直线条数为20－2＝18（条）．
3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L形图案），那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是（ ）
A．16B．32
C．48D．64
答案 C
解析 每四个小正方形图案，都可画出四个不同的L形图案，该图中共有12个这样的正方形，故可画出不同位置L形图案的个数为4×12＝48个．
4．（2011·浙江温州第一次适应性测试）已知数列{an}是公比为q的等比数列，集合A＝{a1，a2，…，a10}，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为________．
答案 24
解析 当公比为q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为
时，满足题意的等比数列有7种，当公比为q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为
时，满足题意的等比数列有4种，当公比为q3时，满足题意的等比数列有1种，当公比为
时，满足题意的等比数列有1种，因此满足题意的等比数列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24（种）．
5．（2011·湖北理）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．（结果用数值表示）
答案 21 43
解析
（1）当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C
＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C
＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．
（2）将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为
（1）的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43种．
6．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1458），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．
答案 1359
解析 渐升数由小到大排列，形如
1
2
×
×
的渐升数共有：
6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个），如123×，个位可从4,5,6,7,8,9六个数字选一个，有6种等；形如
1
3
4
×
的渐升数共有5个；形如
1
3
5
×
的渐升数共有4个，故此时共有21＋5＋4＝30个，因此从小到大的渐升数的第30个必为1359，所以应填1359.
7．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？
解析 从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．
（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．
8．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？
解析 由抛物线过原点知c＝0，由（－
，
）在第一象限得
，⇒
∴a<0，b>0，c＝0.
由分步乘法计数原理．
得N＝3×3×1＝9.
即符合条件的抛物线有9条．
9．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
解析 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．
当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染色；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．
方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色．
第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3（1×3＋2×2）＝420种．
方法三 按所用颜色种数分类．
第一类，5种颜色全用，共有A
种不同的方法；
第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有2×A
种不同的方法；
第三类，只有3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A
种不同的方法．
由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A
＋2×A
＋A
＝420种．
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