海淀高三一模度海淀高三数学一模答案解析.docx

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海淀高三一模度海淀高三数学一模答案解析

海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案

2020.春

一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.A2.B3.B

4.D5.C

6.C7.D8.C

9.A10.B

二、填空题:

本大题共5小题,

每小题5分，共25分.

11.x=-\

12.24：

13.0；

14.4^2;2^6；15.

（1）

（2）

三、解答题：

本大题共6小题，共85分.

16.（共14分）

（1）.

AB丄平面88CC

C】Bu平面BB.C.C,

AB1C\B

又4BC_&BG为三棱柱

AB=BB、=2BC=2"

BB]=2=CC[,BC=1

BC\=8e

.•.在A5CG中，SC2+C,52=CC,2b

:

.C}B1BC

•;BCn」B=By圣

BCcWiABC,ABc\^ABC./

CXB1平面"C

⑵

CXB丄平面如C

:

.QB1BC

又vAB丄平面B8CC

ABLBC,ABLBC,

•••以8为空间直角坐标系原点，昭为x轴，BQ為轴，时为:

轴建系如图

8（0,0,0）,C（l,0,0）,C,（0,也0）,E（-}右,1）

而=（—?

M,1）网=（1,0,0）

设平面BCB^］法向量为〃=（x,y,z）

.・.n丄BE.n丄BCn•BE=0,nBC=0

x+>/3y+z=0

x=0

/.x=0

令=则:

=-3h=（0,a/3,-3）

BC,丄平^ABC

17.（共14分）解：

（I）/（O）=2cos0+sin0=2；

（II）当取①口1=1,勿2=2时f（x）-2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+l=V2sin（2x+^-）+l

••当2当=号时，即一等

/（叽宀（-等）=7

T=7V

当取②＜y,=L口2=1时，

/（x）=2cos2x+sinx=—2sin2x+sinx+2。

7t兀

256

则/'（x）=gQ）=-2〃+，+2/e-I,：

所以加血=g（0mm=g（-1）=-2-1+2=-1

并且T=2兀请关注“海淀数学教研”微信公众平台。

謁

18.（共14分）

解：

（1）.由题意可知，从2010年到2019年共10年，其中研发投入占当年营收的百分比超过10%的有9年；设从2010年到2019年随机选取一年，研发投入占当年营收的百分比超过10%为事件A.所以P（N）=畚

（2）.由图可知，研发投入超过500亿元的年份的有5个，未超过500亿元的年份有5个。

由题意可知X的可取值为：

0,1,2.

尸1厂*1

p（x=i）=#

。

10

所以X的分布列为:

P

0

1

2

X

2

9

5

9

2

9

252

所以£（X）=0x—+lx^+2x—=1.

999

（3）,由题意可知从2010年到2019年共10年，其中该年研发投入占当年营收的百分比超过,0%的有9年;而且从研发投入上看研发投入基本都在每年增加。

可见该公司在发展的过程中比较重视研发。

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農

19.（共15分）解：

（I）①切线方程为y=l;

②/'（x）=e"-1,令f\x）=0,得x=0；

所以，当x变化时，_f（x）与/'（X）的变化情况如下表所示:

X

（-8,0）

0

（0,1）

r（x）

—

0

+

/（x）

所以/«,n=/（O）=h

（II）当

ae（-2,0）珅，曲线y=_/（x）与y=\-\nx有目只有一个交点等价于

P（x）=e*+ax+lnx—l（x>0）有且只有一个零点;

方法一:

F'（x）=e'+a+丄（x>0）

X、

①当xg（0,1）时，ex>\,—>1,-20■

所以F（x）在（0,1）上单调递增;

②当xe[l,+oo）,e'2e,0<-<1,—20,

所以万（X）在［1,+8）上单调递增;

综上可知：

P（x）在（0,+8）上单调递增;

又因为F（3）=+3a+In3—1>0,F（e_l）=ee"+-+Inie-1）-1

由零点存在定理可知：

F（x）=ex+ax+\nx-l在（丄,3）上存在唯一零点，记为x°；e

所以当ag（-2,0）时，曲线_y=，（x）与*=1-Inx有且只有一个交点一

方法二：

F'（x）=ex+a+—其中xg（0,+co）,ae（-2,0）

x

设g（x）=F'（x）g'（x）=e、-$,g'（x）单调递增，且&'

（1）>0浦'修）<0,女。

1）使g，（x。

）=K一丄=0,此时『。

=丄所以g（x）,g'（x）随x的变化情况如下表：

（0,X。

）

g'（x）

—

g（x）

X。

（%+8）

0

+

极小值

/

x。

扃X。

，

g（Xo）=B'（Xo）=e*°+a+—=F+a+—

因为丄>L」r>l,所以g（x°）>0所以尸（X）在X€（0,+8）单调递增,e<4<2",所以芒<2,又因为。

£（一2,0）,

F（e）-ee+ae-]+]ee>e1>1ae>-2e>-6F（e）-ee+ae-\+\>0根据零点存在性定理可得一定存在一个气使得”毎）=/'+气-l+lnX|=0

所以当czg（-2,0）时，曲线_y=/（x）与_y=1Tnx有且只有一个交点.

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讒

20.（共14分）

解:

（1）曰题得｛

解得:

a2+b2=c2

椭圆C的方程为:

y+/=l.

⑵方法一：

设地g,（x"0,±2）.•.手+%2=1

可求得直线AtM:

y=^^（x+2）,直线A.B:

-+y=\x0+22

联立：

y=^L-（X+2）

X°+2,解得：

’

-+J^=1

2

扣2》0-4外+4

+2坊+2.2x0-4y0+4-4y0

-4^o

yx0-2y0-2

Xo+2no+2‘Xo+2%+2）

同理：

直线&W:

y=豊」（x—2）,

x°_2

直线A,B:

—+y=]可求得疽》。

-饥+4,_^4y,_）一2x0-2yn-2x0-2y0-2

可求得：

r2s2

\BQf=XQ2+（1-均）2=端+言=号，|时「=宀（]_梢2=宀字竽,

而

v22_/2x0-4^0+42-2x0-4y0+42

xq~xp_（—島―_（；厂）

工0+2坊+2X。

-2坊-2

=/|[（Xo_2j，o+2尸（Xo+2;vo_2尸]

x0+2y0+2x0-2y0-2

=4（》0-2儿+2IXo+2y°-2）（x°-2v°+2》。

+2儿一2）

x0+2y0+2x0-2y0-2x0+2y0+2x0-2y0-2其屮

工0一2打+2IXo+2vo-2

Xo+2%+2Xo_2%_2

=（xo—2yo+2）（x°_2%_2）+（xo+2yo-2）（气+2为+2）

（Xo+2%+2）（Xo-2月一2）

=（》0-2,o）24+（X。

+2坊）2_4

（x（）+2y0+2）（x0-2y0-2）

2%（）2+8^02—8°

（x0+2y0+2）（x0-2y0-2）

■■■\BQf=\BPf即\BQ\=\BP\

:

.\BPQ为等腰二角形

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篇

方法二:

设M（x°，为），3。

部,±2）.・.3+坊2=1.

可求得直线A,M:

y=^—（,x+2'）,直^.A2B:

-+y=\

Xo+22

联立：

、=旦%（"2）

*°+2，解得…

-+y=l

2

工=2》0~4光+4

x°+2%+2q（2xo~4vo+4~4口）

—4月X。

+2坊+2'%+2义）+2

y—

X。

一2坊_2

同理：

直线A2M:

y=^^（x-2）,

可求得户（一2旳-4无+4-4ya

工0-2坊-2，Xo_2、o_2）

线"。

的中点H,湍成点泠=呑岩=|

■■xQ-xP

—2[（Xo—2vo+2）（x°—2为一2）+（Xo+2vo—2）（X（）+2坊+2）]（x0+2^0+2）（x0-2y0-2）

（x0+2y0+2）（x0-2y0-2）

lxo2+8^（|2—8_o

（x0+2y0+2）（x0-2y0-2）

PQ的斜率不存在

PQ丄AH

:

.^BPQ为等腰三角形.请关注“海淀数学教研”微信公众平台。

疆方法三：

...02x。

-4、。

+4,-4丁）

工0+2%+2'X。

+2为+2

P（_2xo-4m）+4-4j,o）

X。

一2为一2x0-2y0-2

Y2r2

秒。

|2=xQ2+（\-yQ）2=xQ2+-^-=

I明2=X；+（l-'p）2=Xp+~^-=

而

Y2_Y2=z2x0-4^0+42_-2x0-4y0+42。

Px0+2y0+2x0-2y0-2

=4[（M"j"4）2]

Xo+2%+2x0-2y0-2

=*Xq_2j，o+2IXo+2y°_2）（工0_2）>0+2X0+2y0_2）

x0+2y0+2x°_2月_2x0+2y0+2x0-2y0-2

其中

2、o+2iXo+2V。

-2

Xo+2%+2x0-2y0-2

二（x。

—2儿+2）（工0-2坊—2）+（x°+2j，o—2）（x°+2为+2）

（吒+2%+2）（工0-2坊-2）

=（^（，-^（，尸-彳+显+⑵儿尸—彳

（x0+2y0+2）（x0-2y0-2）

_2%02+8^0_—8_°

（x0+2y0+2）（x0-2y0-2）

■■■\BQf=\BPf即\BQ\=\BP\

.■.△BPQ为等腰三角形.请关注“海淀数学教研”微信公众平台。

靈

21.（共14分）

解

（1）①具有性质寸

（2）;②不具有性质他

（2）.

⑵充分性：

Vn€N*,a^n-i>an-.Q2n>an,因此Q2”._i+O2n>2a„._等号成立当且仅当吻“一«2n-i—an>若｛如｝非常数列，设&=min（z€N*|働丰⑶｝,显然比>2.若2|k,则a*=ak=ai；若2彳k,则％=ak-i=alt矛盾.因此｛。

异为常数列.必要性：

因为VneN*,an=<7，i,因此+a2n.=2q】=2a„-

⑶Qi=1,Qi+。

2=4。

1,可知。

2=3,因此。

3+=钿2=12且电N4.

若=4,则Q4=8,。

5+。

6N9+10>16=4。

3,矛盾；若>6,则。

4<6,矛盾.因此。

3=5,«4=7.下证=2n—1.假设该命题不成立，

设k=min｛ieN*|吻-1丰®—3或尹4今一1）,显然A;>3.

考虑数列｛如｝，其中如=Qn+2卜4一4住一2）,则数列｛如｝也具有性质机4）,

且bl=a2k-3-4（fc-2）=4fc-7-4（fc-2）=1,同理有缶=5,饥=7,

即。

3+2心一4一4（k—2）=5,Q4+2A-4—4（fc—2）=7,

有Q2k_1=4k-3且Q2Ar=4k-1,矛盾.证毕.

技㊂海淀数学教研