第五章 学案6.docx

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第五章学案6

学案6　向心加速度

[学习目标定位]1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题．

一、对圆周运动的认识

1．圆周运动的速度方向不断变化，一定是变速运动，必定有加速度．

2．实例分析

（1）地球受太阳的引力方向指向地球轨迹圆的圆心；地球加速度的方向也指向圆心．

（2）光滑桌面上的小球由于细线的牵引绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受重力、支持力、拉力的作用，合力指向圆心，加速度的方向指向圆心．

二、向心加速度

1．定义：

任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度．

2．大小：

an＝

＝ω2r.

3．方向：

总是沿着圆周运动的半径指向圆心.

一、向心加速度的方向

[问题设计]

如图1甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动（近似的）；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．分析地球和小球的运动，并回答以下问题：

甲　　　　　　　　　　　　乙

图1

（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？

若变化，变化的原因是什么？

（2）分析地球受到什么力的作用？

这个力沿什么方向？

小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？

（3）根据牛顿第二定律，分析地球和小球的加速度方向变化吗？

匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？

答案　

（1）地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化．运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用．

（2）地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心．小球受到重力、支持力、绳的拉力作用，合力等于绳的拉力，方向沿半径指向圆心．

（3）物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是沿半径指向圆心．

加速度的方向时刻指向圆心，所以方向不断变化．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．

[要点提炼]

1．向心加速度的方向：

总指向圆心，方向时刻改变．

2．向心加速度的作用：

向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响．

3．圆周运动的性质：

不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动．

二、向心加速度的大小

[问题设计]

1．阅读教材“做一做：

探究向心加速度大小的表达式”，了解向心加速度的推导过程．

答案　物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ，如图所示，因为vA与OA垂直，vB与OB垂直，且vA＝vB，OA＝OB，所以△OAB与vA、vB、Δv组成的矢量三角形相似．

用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有

＝

或Δv＝Δl·

用Δt除上式得

＝

·

当Δt趋近于零时，

表示向心加速度an的大小，此时弧AB对应的圆心角Δθ很小，弧长和弦长相等，所以Δl＝rΔθ，代入上式可得an＝

＝

·

＝ω2r，又由v＝ωr可得an＝

.

2．请利用ω、v、T的关系推导向心加速度与ω或T的关系．

答案　由an＝

和v＝ωr可得an＝ω2r

由an＝ω2r和ω＝

可得an＝（

）2r

由an＝（

）2r和n＝

可得an＝（2πn）2r

[要点提炼]

1．向心加速度公式

（1）基本公式：

①an＝

，②an＝ω2r

（2）拓展公式：

①an＝

r，②an＝ωv.

2．向心加速度的物理意义：

描述线速度方向变化的快慢．

3．向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心．

[延伸思考]

甲同学认为由公式an＝

知向心加速度an与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式an＝ω2r知向心加速度an与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？

说一说你的观点．

答案　他们两人的观点都不正确．当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比．（an与r的关系图象如图所示）

一、对向心加速度的理解

例1

　下列关于向心加速度的说法中正确的是（　　）

A．向心加速度的方向始终指向圆心

B．向心加速度的方向保持不变

C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化

解析　向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故B、C、D错误．

答案　A

针对训练　关于向心加速度，下列说法正确的是（　　）

A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量

B．向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量

C．向心加速度时刻指向圆心，方向不变

D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝

来计算

答案　B

解析　加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错、B对．虽然向心加速度时刻指向圆心，但是沿不同的半径指向圆心，所以方向不断变化，C错．加速度公式a＝

适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错．

二、向心加速度大小的计算

例2

　如图2所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的

.当大轮边缘上P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？

图2

解析　同一轮子上的S点和P点角速度相同：

ωS＝ωP，由向心加速度公式an＝ω2r可得：

＝

，则anS＝anP·

＝12×

m/s2＝4m/s2.

又因为皮带不打滑，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：

vP＝vQ.

由向心加速度公式an＝

可得：

＝

.

则anQ＝anP·

＝12×

m/s2＝24m/s2

答案　4m/s2　24m/s2

例3

　如图3所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）

图3

A．A物体运动的线速度大小不变

B．A物体运动的角速度大小不变

C．B物体运动的角速度大小不变

D．B物体运动的角速度与半径成正比

解析　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝

可知，A物体的线速度大小不变，故A对，B错；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体的角速度大小不变，故C对，D错．

答案　AC

1．（对向心加速度的理解）关于向心加速度，下列说法正确的是（　　）

A．向心加速度是描述线速度变化的物理量

B．向心加速度既改变线速度的方向，又改变线速度的大小

C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用an＝

来计算

答案　D

解析　加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A、B错；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错，D对．

2．（对向心加速度的理解）如图4所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是（　　）

图4

A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR

B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同

C．线速度vP＞vQ＞vR

D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同

答案　C

解析　圆环各处的角速度相等由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正确．由于向心加速度总是指向圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于半径，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误．

3．（向心加速度公式的应用）关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（　　）

A．它们的方向都是沿半径指向地心

B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴

C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大

D．北京的向心加速度与广州的向心加速度大小相同

答案　B

解析　如图所示，

地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径R＝R0cosφ，其向心加速度为an＝ω2R＝ω2R0cosφ.由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项C、D错误．

4．（向心加速度大小的计算）滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图5所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的1/4圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度（不计各种阻力）．

图5

答案　50m/s2，方向竖直向上　0

解析　运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝

＝

m/s2＝50m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上．运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.

题组一　对向心加速度的理解

1．下列关于向心加速度的说法中正确的是（　　）

A．向心加速度越大，物体速率变化得越快

B．向心加速度的大小与轨道半径成反比

C．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

答案　C

解析　向心加速度只改变速度方向，故A不正确．向心加速度可用an＝

或an＝ω2r表示，不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度的大小与轨道半径的关系，故B错误．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误．

2．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1＞a2，下列判断正确的是（　　）

A．甲的线速度大于乙的线速度

B．甲的角速度比乙的角速度小

C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小

D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快

答案　D

解析　由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错．向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1＞a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D对．

3．下列说法正确的是（　　）

A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度

B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度

C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速（曲线）运动

D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动

答案　BD

解析　加速度恒定的运动才是匀变速运动，向心加速度的方向时刻改变．匀速圆周运动是速度的大小不变、而速度的方向时刻变化的运动，所以B、D正确．

4．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）

A．由an＝

可知，an与r成反比

B．由an＝ω2r可知，an与r成正比

C．由v＝ωr可知，ω与r成反比

D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比

答案　D

解析　物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.

题组二　向心加速度大小的计算

5．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min.则两球的向心加速度之比为（　　）

A．1∶1B．2∶1C．4∶1D．8∶1

答案　D

解析　由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ω

RA∶ω

RB＝8∶1，D正确．

6．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度大小为an，则（　　）

A．小球相对于圆心的位移不变

B．小球的线速度大小为

C．小球在时间t内通过的路程s＝

D．小球做圆周运动的周期T＝2π

答案　BD

解析　小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变．

由an＝

得v2＝Ran，所以v＝

小球在时间t内通过的路程s＝vt＝t

小球做圆周运动的周期T＝

＝

＝2π

7．如图1所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下列说法中正确的是（　　）

图1

A．A、B两轮转动的方向相同

B．A与B转动方向相反

C．A、B转动的角速度之比为1∶3

D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1

答案　BC

解析　A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对．A、B两轮边缘的线速度大小相等，由ω＝

知，

＝

＝

，C对．根据a＝

得，

＝

＝

，D错．

8．如图2所示，一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速转动，A、B为球体上两点．下列说法中正确的是（　　）

图2

A．A、B两点具有相同的角速度

B．A、B两点具有相同的线速度

C．A、B两点具有相同的向心加速度

D．A、B两点的向心加速度方向都指向球心

答案　A

解析　A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动，转一周所用的时间相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，选项A正确．A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直，交点为圆心，故A点做圆周运动的半径为rA＝Rsin60°；同理，B点做圆周运动的半径为rB＝Rsin30°，所以A、B两点的线速度分别为：

vA＝rAω＝

Rω，vB＝rBω＝

Rω，显然vA＞vB，选项B错误．A、B两点的向心加速度分别为：

aA＝rAω2＝

Rω2，aB＝rBω2＝

Rω2，显然，A、B两点的向心加速度不相等，且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心，并不指向球心，故选项C、D错误．

9．如图3所示，一小物块以大小为a＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1m，则下列说法正确的是（　　）

图3

A．小物块运动的角速度为2rad/s

B．小物块做圆周运动的周期为πs

C．小物块在t＝

s内通过的位移大小为

m

D．小物块在πs内通过的路程为零

答案　AB

解析　因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝

＝2rad/s，周期T＝

＝πs，选项A、B正确；小物块在

s内转过

，通过的位移为

m，在πs内转过一周，通过的路程为2πm，选项C、D错误．

题组三　综合应用

10．如图4所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么（　　）

图4

A．加速度为零

B．加速度恒定

C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心

答案　D

解析　由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．

11．一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方

处钉有一颗钉子．如图5所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则（　　）

图5

A．小球的角速度突然增大

B．小球的线速度突然减小到零

C．小球的向心加速度突然增大

D．小球的向心加速度不变

答案　AC

解析　由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由a＝

知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误．

12．如图6所示，一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°.求：

图6

（1）此过程中轿车的位移大小；

（2）此过程中轿车通过的路程；

（3）轿车运动的向心加速度大小．

答案　

（1）85m　

（2）94.2m

（3）15m/s2

解析　如图所示，v＝30m/s，

r＝60m，θ＝90°＝

.

（1）轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度，

即x＝

r＝

×60m≈85m.

（2）路程等于弧长，即l＝rθ＝60×

m＝94.2m.

（3）向心加速度大小：

an＝

＝

m/s2＝15m/s2

13．如图7所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小．

图7

答案　

π2g

解析　设乙下落到A点所用时间为t，

则对乙，满足R＝

gt2，得t＝

，

这段时间内甲运动了

T，即

T＝

①

又由于a＝ω2R＝

R②

由①②得，a＝

π2g.