第八章平面解析几何质量检测.docx
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第八章平面解析几何质量检测
第八章平面解析几何
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是（ ）
A. B.C．|a|D．－
解析：
由已知焦点到准线的距离为p＝.
答案：
B
2．过点A（4，a）与B（5，b）的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝（ ）
A．6B.C．2D．不确定
解析：
由题知＝1，∴b－a＝1.
∴|AB|＝＝.
答案：
B
3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为（e,0），则p的值为（ ）
A．2B．1C.D.
解析：
依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝x，故＝2，得p＝.
答案：
D
4．若直线ax＋2by－2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为（ ）
A．1B．5C．4D．3＋2
解析：
由（x－2）2＋（y－1）2＝13，得圆心（2,1），
∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．
∴a＋b＝1.
∴＋＝（＋）（a＋b）＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时取等号，
∴＋的最小值为3＋2.
答案：
D
5．若双曲线－y2＝1的一个焦点为（2,0），则它的离心率为（ ）
A.B.C.D．2
解析：
由a2＋1＝4，∴a＝，
∴e＝＝.
答案：
C
6．△ABC的顶点A（－5,0），B（5,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1（x＞3）D.－＝1（x＞4）
解析：
如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1（x＞3）．
答案：
C
7．双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝x（e为双曲线离心率），则有（ ）
A．b＝2aB．b＝aC．a＝2bD．a＝b
解析：
由已知＝e，
∴＝×，∴c＝b，又a2＋b2＝c2，
∴a2＋b2＝5b2，∴a＝2b.
答案：
C
8．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A.B.C．－D．－
解析：
准线方程为y＝，
由定义知－yM＝1⇒yM＝－.
答案：
C
9．已知点A、B是双曲线x2－＝1上的两点，O为坐标原点，且满足
·
＝0，则点O到直线AB的距离等于（ ）
A.B.C．2D．2
解析：
本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由
·
＝0⇒OA⊥OB，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点B为直线y＝－x与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到AB的距离就为点A或点B的横坐标的值，由⇒x＝.
答案：
A
10．（2019·全国卷Ⅱ）双曲线－＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r>0）相切，则r＝（ ）
A.B．2C．3D．6
解析：
双曲线的渐近线方程为y＝±x即x±y＝0，圆心（3,0）到直线的距离d＝＝.
答案：
A
11．（2019·四川高考）已知双曲线－＝1（b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P（，y0）在该双曲线上，则
·
＝（ ）
A．－12B．－2C．0D．4
解析：
由渐近线方程y＝x得b＝，
点P（，y0）代入－＝1中得y0＝±1.
不妨设P（，1），∵F1（2,0），F2（－2,0），
∴
·
＝（2－，－1）·（－2－，－1）
＝3－4＋1＝0.
答案：
C
12．（2019·天津高考）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝
（ ）
A.B.C.D.
解析：
如图过A、B作准线l：
x=-
的垂线，垂足分别为A1，B1，
由于F到直线AB的距离为定值．
∴＝.
又∵△B1BC∽△A1AC.
∴＝，
由拋物线定义＝＝.
由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－，
∴AB：
y－0＝（x－）．
把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
∴|AF|＝|AA1|＝.
故＝＝＝.
答案：
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）
13．已知点（x0，y0）在直线ax＋by＝0（a，b为常数）上，则的最小值为________．
解析：
可看作点（x0，y0）与点（a，b）的距离．而点（x0，y0）在直线ax＋by＝0上，所以的最小值为点（a，b）到直线ax＋by＝0的距离＝.
答案：
14．（2019·福建高考）过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：
由焦点弦|AB|＝得|AB|＝，
∴2p＝|AB|×，∴p＝2.
答案：
2
15．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．
解析：
所求椭圆的焦点为F1（－1,0），F2（1,0）,2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解．
答案：
＋＝1
16．过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若
＝
，
·
＝48，则抛物线的方程为______________．
解析：
设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，
故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，
|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，
∴∠ABC＝30°，|
|＝2p，
·
＝4p·2p·cos30°＝48，
解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
答案：
y2＝4x
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知：
圆C：
x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：
ax＋y＋2a＝0.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
解：
将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋（y－4）2＝4，则此圆的圆心为（0,4），半径为2.
（1）若直线l与圆C相切，则有＝2.
解得a＝－.
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7，或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
18．（本小题满分12分）过点P（2,4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：
法一：
设点M的坐标为（x，y），
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为（2x,0），B的坐标为（0,2y）．
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P（2,4），
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝，kPB＝，（x≠1），
∴·＝－1（x≠1）．
整理，得x＋2y－5＝0（x≠1）．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为（2,0），（0,4），
∴线段AB的中点坐标是（1,2），它满足方程
x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：
设M的坐标为（x，y），则A、B两点的坐标分别是（2x,0），（0,2y），连结PM，
∵l1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.
而|PM|=
，
|AB|=
∴2
.
化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程．
法三：
设M的坐标为（x，y），
由l1⊥l2，BO⊥OA，知O、A、P、B四点共圆，
∴|MO|=|MP|，即点M是线段OP的垂直平分线上的点．
∵kOP=
=2，线段OP的中点为（1,2），
∴y-2=-
（x-1），
即x+2y-5=0即为所求．
19．（本小题满分12分）（2019·南通模拟）已知动圆过定点F（0,2），且与定直线L：
y＝－2相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0,2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：
AQ⊥BQ.
解：
（1）依题意，圆心的轨迹是以F（0,2）为焦点，L：
y＝－2为准线的抛物线．
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹是x2＝8y.
（2）证明：
因为直线AB与x轴不垂直，
设AB：
y＝kx＋2.
A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.
所以AQ⊥BQ.
20．[理]（本小题满分12分）给定抛物线C：
y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．
（1）求
·
的值；
（2）设
＝λ
，当△OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．
解：
（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），
设直线l的方程为x＝my＋1，
将其与C的方程联立，消去x可得y2－4my－4＝0.
设A，B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1>0>y2），
则y1y2＝－4.
因为y＝4x1，y＝4x2，
所以x1x2＝yy＝1，
故
·
＝x1x2＋y1y2＝－3.
（2）因为
＝λ
，
所以（1－x1，－y1）＝λ（x2－1，y2），
即
又y＝4x1，③
y＝4x2，④
由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，将其代入①，注意到λ>0，解得x2＝.从而可得y2＝－，y1＝2，
故△OAB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝＋，
因＋≥2恒成立，所以只要解＋≤即可，
解之得≤λ≤.
20．[文]（本小题满分12分）已知圆（x－2）2＋（y－1）2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2（a>b>0）的离心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
解：
∵e＝＝＝，∴a2＝2b2.
因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，
又∵AB为直径，（2,1）为圆心，即（2,1）是线段AB的中点，
设A（2－m,1－n），B（2＋m,1＋n），则
⇒
⇒得2b2＝16.
故所求椭圆的方程为x2＋2y2＝16.
21．（本小题满分12分）已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（－2,0），B（2,0），|
|＝2，
＝（
＋
）．
（1）求E点的轨迹方程；
（2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．
解：
（1）设E（x，y），由
＝（
＋
），可知E为线段BD的中点，
又因为坐标原点O为线段AB的中点，
所以OE是△ABD的中位线，
所以|
|＝|
|＝1，
所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上，
又因为A，B，D三点不在一条直线上，
所以E点不能在x轴上，
所以E点的轨迹方程是x2＋y2＝1（y≠0）．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），中点为（x0，y0），椭圆的方程为＋＝1，直线MN的方程为y＝k（x＋2）（当直线斜率不存在时不成立），
由于直线MN与圆x2＋y2＝1（y≠0）相切，
所以＝1，解得k＝±，
所以直线MN的方程为y＝±（x＋2），
将直线y＝±（x＋2）代入方程＋＝1，
整理可得：
4（a2－3）x2＋4a2x＋16a2－3a4＝0，
所以x0＝＝－.
又线段MN的中点到y轴的距离为，
即x0＝－＝－，解得a＝2.
故所求的椭圆方程为＋＝1.
22．[理]（本小题满分14分）（2019·东北四市模拟）已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足
＝
，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4,0），直线PM交曲线C于另外一点Q.
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值．
解：
（1）设A（a,0），B（0，b），P（x，y），
则
＝（x－a，y），
＝（－x，b－y），
∵
＝
，∴∴a＝x，b＝y.
又|AB|＝＝8，∴＋＝1.
∴曲线C的方程为＋＝1.
（2）由
（1）可知，M（4,0）为椭圆＋＝1的右焦点，
设直线PM方程为x＝my＋4，
由消去x得
（9m2＋25）y2＋72my－81＝0，
∴|yP－yQ|＝
＝.
∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×
＝＝＝
≤＝，
当＝，
即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.
[文]（本小题满分14分）设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解：
设A（x1，y1），B（x2，y2），那么A、B的坐标是方程组的解．
由ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减，得
a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（y1＋y2）（y1－y2）＝0，
因为＝－1，
所以＝，
即＝，＝＝，所以b＝a.①
再由方程组消去y得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0，
由|AB|＝＝
＝＝2，
得（x1＋x2）2－4x1x2＝4，即（）2－4·＝4.②
由①②解得a＝，b＝，
故所求的椭圆的方程为＋＝1.
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