平面直角坐标系全章知识点加习题加测试.docx

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平面直角坐标系全章知识点加习题加测试

第12章平面直角坐标系

12.1.1有序实数对

在日常生活中，我们常常会碰到这样的问题：

到电影院看电影你怎样找到自己的位置？

在地图上你怎样确定一个地点的位置？

下象棋时，有人说“炮二平八”，你怎么走棋子？

这些都说的是用两个数确定一个物体的位置，那么怎样确定一个物体的位置呢？

一、有序数对

下面是根据教室平面图写的通知：

请以下座位的同学：

（1，5）、（2，4）、（4，2）、（3，3）、（5，6），今天放学后参加数学问题讨论.

怎样确定教室里座位的位置？

可用排数和列数两个不同的数来确定位置。

排数和列数的先后顺序对位置有影响吗？

举例说明。

排数和列数的先后顺序对位置有影响，如（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”，则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。

这就是说用两个数表示物体的位置是有顺序的。

假设我们约定“列数在前，排数在后”，请你在课本图6.1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。

上面提到的问题都是通过像“几排几号”这样含有两个数的词来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前面的表示“排数”，后面的表示“列数”。

我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。

利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。

生活中利用有序数对表示位置的情况是很常见的。

你能再举出一些例子吗？

二、例题

写出表示学校里各个地点的有序数对.

12.1．2平面直角坐标系

（一）

数轴上的点可以用什么来表示？

可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个点的坐标。

[投影1]如图，点A的坐标是2，点B的坐标是－3。

坐标为－4的点在数轴上的什么位置？

在点C处。

这就是说，知道了数轴上一个点的坐标，这个点的位置就确定了。

类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢?

一、平面直角坐标系

我们知道，平面内的点的位置可以用有序数对来表示，为此，我们可以在平面内画出两条互相垂直、原点重合的数轴组成直角坐标系来表示。

如图，水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。

二、点的坐标

如图,由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说A点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对（3,4）就叫做点A的坐标,记作A（3,4）

类似地,请你根据课本41面图6.1-4,写出点B、C、D的坐标.

B（-3,4）、C（0,2）、D（-3,0）.

注意：

写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后。

三、四个象限

建立了平面直角坐系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限。

思考:

1、原点O的坐标是什么?

x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？

原点O的坐标是（0,0）,x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。

2、各象限内的点的坐标有什么特点?

第一象限上的点,横坐标为正数,纵坐标为正数;

第二象限上的点,横坐标为负数,纵坐标为正数;

第三象限上的点,横坐标为负数,纵坐标为负数;

第四象限上的点,横坐标为正数,纵坐标为负数.

四、课堂练习

1、点A（-2,-1）与x轴的距离是________，与y轴的距离是________.

注意：

纵坐标的绝对值是该点到x轴的距离，横坐标的绝对值是该点到y轴的距离。

2、点A（3,a）在x轴上,点B（b,4）在y轴上,则a=______,b=______.

3、点M（-2,3）在第象限,则点N（-2,-3）在____象限.，点P（2,-3）在____象限，点Q（2,3）在____象限.

五、课堂小结

1、平面直角坐标糸及有关概念；

2、、已知一个点，如何确定这个点的坐标.

3、坐标轴上的点和象限点的特点。

12.1．2平面直角坐标系

（二）

写出图中点A、B、C、D、E的坐标。

.由点的位置可以写出它的坐标，反之，已知点的坐标怎样确定点的位置呢？

一、例题

例请你画出一个平面直角坐标系，并在这个平面直角坐标系中描出下列各点:

A（4,5）,B（-2,3）,C（-4,-1）,D（2.5,-2）,E（0,4）.

二、建立直角坐标糸

探究：

如图,正方形ABCD的边长为6.

（1）如果以点A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是哪条线?

y轴是AD所在直线.

（2）写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.

A（0,0）,B（0,6）,C（6,6）,D（6,0）.

（3）请你另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少?

与同学交流一下.

可以看到建立的直角坐标系不同,则各点的坐标也不同.你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？

要尽量使更多的点落在坐标轴上。

四、课堂练习

1、在平面直角坐标系中,顺次连结A（-3,4）,B（-6,-2）,C（6,-2）,D（3,4）四点,所组成的图形是________.

五、课堂小结

1、已知点的位置可以写出它的坐标，已知点的坐标可以描出点的位置。

点与有序数对（坐标）是一一对应的关系。

2、为了方便地描述物体的位置，需要建立适当的直角坐标糸。

第十二章复习一（12.1）

一、双基回顾

1、点的坐标：

过平面内任意一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的坐标a、b分别叫做点P的，有序数对（a，b）叫做P点的。

注意：

平面上的点与有序实数对（坐标）一一对应。

〔1〕已知点P的坐标是（－2，3），则点P到x轴的距离是，到y轴的距离是.

2、象限

〔2〕如果点M到y轴的距离是4，到x轴的距离是3，则M的坐标为.

3、坐标轴上点的特征：

x轴上点的坐标的特点是，y轴上点的坐标的特点是，原点的坐标是.

〔3〕如果点A（m，n）的坐标满足mn=0，则点A在（）

A.原点上B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上

4、建立直角坐标系

〔4〕如图所示，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，-2），“象”位于点（3,-2），则“炮”位于点.

二、例题导引

例1如果点M（a+b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第________象限；若a＝0，则M点在.

例2已知长方形ABCD中，AB=5，BC=3，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），求点C的坐标.

例3已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），求四边形ABCD的面积。

12.2．1用坐标表示地理位置

一、用坐标表示地理位置

探究：

根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．

小刚家：

出校门向东走150米，再向北走200米．

小强家：

出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米．

小敏家：

出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米．

我们知道，在平面内建立直角坐标系后，平面内的点都可以用坐标来表示，为此，要确定区域内一些地点的位置，就要建立直角坐标系。

思考：

以什么位置为原点？

如何确定x轴、y轴？

选取怎样的比例尺？

小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立直角坐标系。

取比例尺1：

10000（即图中1格相当于实际的100米）．

点（150，200）就是小刚家的位置。

请你在课本50面图6.2－2上画出小强家、小敏家的位置，并标明它们的坐标。

归纳一下，利用平面直角坐标系确定区域内一些地点的位置的步骤是什么？

（1）建立直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，定出坐标系中的单位长度；

（3）在坐标平面内画出表示地点的点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

注意：

（1）通常选择比较有名的地点，或者较居中的位置为坐标原点；

（2）坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向；（3）要标明比例尺或坐标轴上的单位长度．

三、课堂练习

下图是小红所在学校的平面示意图，请你指出学校各地点的位置。

四、课堂小结

怎样利用坐标表示地理位置？

12.2．1用坐标表示平移

上节课我们学习了用坐标表示地理位置，体现了直角坐标系在实际中的应用，本节课我们研究直角坐标系的另一个应用——用坐标表示平移。

．

一、图形的平移与图形上点的变化规律

首先我们研究点的平移规律。

如图，

（1）将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出它的坐标，点A的坐标发生了什么变化？

把点A向上平移4个单位长度呢？

将点A向右平移5个单位长度，横坐标增加了5个单位长度，纵坐标不变；将点A向上平移4个单位长度，纵坐标增加了4个单位长度，横坐标不变.

（2）把点A向左或向下平移4个单位长度，点A的坐标发生了什么变化？

将点A向左平移4个单位长度，横坐标减少了4个单位长度，纵坐标不变；将点A向下平移4个单位长度，纵坐标减少了4个单位长度，横坐标不变.

从点A的平移变化中，你知道在什么情况下，坐标不变吗？

在什么情况下，坐标增加或减少吗？

将点向左右平移纵坐标不变，向上下平移横坐标不变；将点向右或向上平移几个单位长度，横坐标或纵坐标就增加几个单位长度；向左或向下平移几个单位长度，横坐标或纵坐标就减少几个单位长度。

简单地表示为

再找几个点，对他们进行平移，观察他们的坐标是否按你发现的规律变化？

二、图形上点的变化与图形平移，对称的规律

1、点的平移：

对一个图形进行平移，就是对这个图形上所有点的平移，因而这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．

例如图

（1），三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．

（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

解：

如图

（2），所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．

思考：

（1）如果将这个问题中的“横坐标都减去6”“纵坐标都减去5”相应的变为“横坐标都加3”“纵坐标都加2”，分别能得出什么结论？

画出得到的图形。

（2）如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得到什么结论？

画出得到的图形。

归纳上面的作图与分析，你能得到什么结论？

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，得到的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，得到的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度。

简单地表示为

2、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

在与

轴平行的直线上，所有点的相等；点A、B的纵坐标都等于；

在与

轴平行的直线上，所有点的相等；点C、D的横坐标都等于；

3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：

若点P（

）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标；

若点P（

）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标；

4、点到x轴与y轴的距离

在平面直角坐标系中，已知点P

，则

（1）点P到

轴的距离为，即该点纵坐标的绝对值；

（2）点P到

轴的距离为，即该点横坐标的绝对值。

7、点的对称

a）点P

关于

轴的对称点为

，即；

b）点P

关于

轴的对称点为

，即；

c）

点P

关于原点的对称点为

，即；

关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称

本章小结

一、知识结构

二、回顾与思考

1、在日常生活中，我们可以用有序实数对来描述物体的位置。

有序实数对（x,y）与（y,x）是否相同，请你举一个例子说明。

2、什么是平面直角坐标系建立了平面直角坐标系平面叫做坐标平面。

坐标平面由哪几部分组成？

3、坐标平面内的点与有序实数对（坐标）是一一对应的。

已知点怎样写出它的坐标？

已知点的坐标怎样描出这个点？

4、第一、二、三、四象限的点有什么特征？

坐标轴上的点有什么特征？

原点在什么地方？

5、怎样用坐标表示地理位置？

6、对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点坐标的某种变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的平移。

图形平移与坐标变化的规律是什么？

三、例题导引

例1如图，这是某市部分地区的简图，请你用坐标表示各地的位置。

例2如图，

（1）描出A（–3，–2）、B（2，–2）、C（–2，1）、D（3，1）四个点，线段AB、CD有什么关系？

（2）顺次连接A、B、C、D四点组成的图形是什么图形？

（3）这个图形的面积是多少？

例3如图，△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为（x+3，y+2），画出它作同样平移后的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标.

四、练习提高

1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是〔〕

A．（4，2）B．（－2，－4）C．（－4，－2）D．（2，4）

2、将某图形的纵坐标都减去2，横坐标不变，则该图形〔〕

A．向右平移2个单位B．向左平移2个单位

C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位

3、与图1中的三角形相比，图2中的三角形发生的变化是（）

A．向左平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度

C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度

第3题图第5题图

4、一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是_________。

5、如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说“如果我用（1，3）表示左眼，用（3，3）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成。

6、已知点A（2，－3），线段AB与坐标轴没有交点，则点B的坐标可能是〔〕

A．（－1，－2）B．（3，－2）C．（1，2）D．（－2，3）

7、线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为〔〕

A．（2，9）B．（5，3）C．（1，2）D．（–9，–4）

8、已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是________________.

9、如图，第二象限的图形可以由第四象限图形经过怎样的平移得到？

对应点的坐标有什么变化？

第9题图第10题图

10、如图，三角形ABC中任意一点P（x0,y0）经平移后对应点为P1（x0+5,y0+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，求A1,B1,C1的坐标。

11、如图，

（1）请写出在直角坐标系中的房子的A、B、C、D、E、F、G的坐标。

（2）小影想把房子向下平移3个单位长度，你能帮他办到吗？

请作出相应图案，并写出平移后的7个点的坐标.

12、如图所示的直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0,0），B（6,0），C（5,5）。

（1）求三角形ABC的面积；

（2）如果将三角形ABC向上平移1个单位长度，得三角形A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到三角形A2B2C2。

试求出A2、B2、C2的坐标；（3）三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状有什么关系。

13、如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标，并观察它们之间的关系。

如果三角形ABC中任意一点M的坐标为（x,y），那么它的对应点N的坐标是什么？

第十二章测同步试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、根据下列表述，能确定位置的是〔〕

A．红星电影院2排B．北京市四环路C．北偏东30°D．东经118°，北纬40°

2、已知点A（4，－3）到x轴的距离为〔〕

A、4　B、－4C、3　D、－3

3、在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比〔〕

A、向右平移了3个单位B、向左平移了3个单位

C、向上平移了3个单位D、向下平移了3个单位

4、若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为〔〕

A．（3，0）B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3）D．（0，3）或（0，–3）

5、若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，n）所在的象限是〔〕

A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限

6、明明从家里出发，先向东走350米到冬冬家，然后他们又向南走500米到老师家，如果以老师家的位置为坐标原点，向东为轴的正方向，向北为轴的正方向，建立直角坐标糸，那么明明家的位置可记为〔〕

A．（350，500）B．（－350，－500）C．（350，－500）D．（－350，500）

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是〔〕

A、A与D的横坐标相同B、C与D的横坐标相同

C、B与C的纵坐标相同D、B与D的纵坐标相同

7题10题

8、三角形A’B’C’是由三角形ABC平移得到的，点A（－1，－4）的对应点为A’（1，－1），则点B（1，1）的对应点B’、点C（－1，4）的对应点C’的坐标分别为〔〕

A、（2，2）（3，4）B、（3，4）（1，7）

C、（－2，2）（1，7）D、（3，4）（2，－2）

9、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1，–1）、（–1，2）、（3，–1），则第四个顶点的坐标为〔〕

A．（2，2）B．（3，2）C．（3，3）D．（2，3）

10、如图，把长方形四个顶点O、A、B、C的横坐标都乘以2，纵坐标不变，则所得图形与原图形相比，下列说法正确的是〔〕

A、被横向拉长2倍B、形状不变，面积为原来的4倍

C、被纵向拉长2倍D、形状改变，面积为原来的2倍

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、小刚位于某住宅楼12层B座，可记为B12，按这种方法小红家住8层A座应记为.

12、小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了3个单位长度，平移前猫眼的坐标为（–4，3）、（–2，3），则移动后猫眼的坐标为。

13、点P在第三象限，横坐标是纵坐标的2倍，写出一个满足条件的P点的坐标.

14、如图，小强告诉小华图中A、B两点的坐标分别为（–3，5）、（3，5），小华一下就说出了C在同一坐标系下的坐标.

第14题图第16题图

15、A（－3，－2）、B（2，－2）、C（－2，1）、D（3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB与CD的关系是_________________

16、已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图,点B的坐标为（3，－2），则矩形OABC的面积是.

17、已知AB在y轴上，A点的坐标为（0，3），并且AB＝5，则B的坐标为.

18、已知矩形ABCD的顶点B在坐标原点，BC在x轴的正方向，AB在y轴的正方向，D点的坐标是（5，3），将矩形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后，再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合，此时点B的坐标是________.

三、解答下列各题（共66分）

19、这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法.（10分）

第19题图第20题图

20、图中标明了李明同学家附近的一些地方。

（1）根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校，邮局的坐标；

（2）某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿着（－2,－1）、（－1,－2）、（1,－2）、（2,－1）、（1,－1）、（1,3）、（－1,0）、（0,－1）的路线转了一下，写出他路上经过的地方；（3）连接他在

（2）中经过的地点，你能得到什么图形？

（12分）

21、已知，如图在平面直角坐标系中，S△ABC=24，OA=OB，BC=12，求△ABC三个顶点的坐标.（10分）

22如图，△ABC在直角坐标系中，

（1）请写出△ABC各点的坐标.

（2）求出S△ABC.（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐标.（10分）

23、如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（-2,8），（-11,6），（-14,0），（0,0），

（1）求这个四边形的面积；

（2）如果D点的坐标不变，把原来A、B、C点的横、纵坐标都减少2，所得的四边形面积与原四边形的面积有什么关系？

（12分）

24、如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3。

（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是＿＿＿＿，B4的坐标是＿＿＿＿。

（2）若按第

（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿。

（12分）