勾股定理的证明.docx

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勾股定理的证明

第一章勾股定理

一、勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？

练习：

如图字母B所代表的正方形的面积是（）

A.12B.13C.144D.194

1、在△ABC中,∠C=Rt∠.

（1）若a=2,b=3则以c为边的正方形面积=    

（2）若a=5,c=13.则b=    .

（3）若c=61,b=11.则a=    .

（4）若a∶c=3∶5且c=20则b=     .

（5）若∠A=60°且AC=7cm则AB=    cm，BC2=    cm2.

2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于   cm.

3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为   cm.

4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD=   cm.

5、已知：

△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=

DB=2cm,则BC      cm,AB=      cm,AC=     cm.

6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。

7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。

8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A、25B、14C、7D、7或25

9、小丰妈妈买了一部29英寸（74cm）电视机,下列对29英寸的说法中正确的是

　　A.小丰认为指的是屏幕的长度;B.小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;

C.小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长;D.售货员认为指的是屏幕对角线的长度

10、

二、你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？

练习：

三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.

1、在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠A+∠C＝°。

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

（A）直角三角形（B）锐角三角形

（B）（C）钝角三角形（D）以上答案都不对

已知三角形的三边长分别是2n+1,2n

+2n,2n

+2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.

3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

阅读材料：

三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。

因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。

下面介绍其中的几种证明。

最初的证明是分割型的。

设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。

考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。

将A分成六部分，将B分成五部分。

由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：

斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。

这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。

如上证明方法称为相减全等证法。

B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。

其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibnQorra（826～901）已经知道。

（如：

右图）下面的一种证法，是H·E·杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。

用的也是一种相加全等的证法。

如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

下图的证明方法，据说是L·达·芬奇（daVinci,1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。

欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。

由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。

华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。

其证明的梗概是：

（AC）2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

同理，（BC）2=KEBL

所以

（AC）2+（BC）2=ADKL+KEBL=（BC）2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。

如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。

其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。

很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。

事实上，

婆什迦罗还给出了下图的一种证法。

画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

c/b=b/m，

c/a=a/n,

cm=b2

cn=a2

两边相加得

a2+b2=c（m+n）=c2

这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯（Wallis,1616～1703）重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。

G·华盛顿曾经是一个著名的测量员。

T·杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。

A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。

更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield,1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。

在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。

证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。

如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。

用不同公式，求相同的面积得

即

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

证法1如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。

我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。

因为

AB=AE，AC=AG∠CAE=∠BAG，

所以△ACE≌△AGB

而

所以

SAEML=SACFG

（1）

同法可证

SBLMD=SBKHC

（2）

（1）+

（2）得

SABDE=SACFG+SBKHC，

即c2=a2+b2

证法2如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

SCFGH=SABED+4×SABC，

所以a2+b2=c2

证法3如图26-4（梅文鼎图）。

在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。

可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。

设

五边形ACKDE的面积=S

一方面，

S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

=c2+ab

（1）

另一方面，

S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

+2倍△ABC面积

=b2+a2+ab.

（2）

由

（1），

（2）得

c2=a2+b2

证法4如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。

可以证明（从略），GF的延长线必过D。

延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

设五边形EKJBD的面积为S。

一方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab

（1）

另一方面，

S=SBEFG+2·S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

由

（1），

（2）得

c2=a2+b2

杨作枚图；

何梦瑶图；

陈杰图；

华蘅芳图

都是用面积来进行验证：

一个大的面积等于几个小面积的和。

利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）