竖直水平面内圆周运动中的临界问题与周期性问题有解答doc.docx
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竖直水平面内圆周运动中的临界问题与周期性问题有解答doc
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水平面内圆周运动中的临界问题
一、圆周运动问题的解题步骤：
1、确定研究对象
2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径
3、分析研究对象的受力情况，画受力图
4、确定向心力的来源
2
5、由牛顿第二定律Fnmanmvm2rm
（2）2r⋯⋯列方程求解
rT
二、临界问题常见类型：
1、按力的种类分类：
（1）、与弹力有关的临界问题：
接触面间的弹力：
从有到无,或从无到有
绳子的拉力：
从无到有，从有到最大，或从有到无
（2）、与摩擦力有关的弹力问题：
从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦
2、按轨道所在平面分类：
（1）、竖直面内的圆周运动
（2）、水平面内的圆周运动
三、竖直面内的圆周运动的临界问题
1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：
特点：
绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力
mg
mg
O
O
轨道
①临界条件：
绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg=mv2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
即此时小球所受重力全部提供向心力
②能过最高点的条件：
v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：
v＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）
例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为l=60cm，
求：
（g取10m/s2）
A、最高点水不留出的最小速度？
B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？
答案：
（1）6m/s
（2）2.5N
.
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变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖
mg
直面内作圆周运动.
（1）若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点
O
的速度分别是多少？
小球的受力情况分别如何？
（2）若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？
2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：
汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度
vgr时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．
例2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，
如图所示。
今给小物体一个水平初速度v0Rg，则小物体将（）
A.沿球面下滑至M点
B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动
Ｃ.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题
物体（如小球）在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹
力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与
轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又
可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁
产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．
（一）轻杆模型
如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．
（1）能过最高点的临界条件是：
v0．这可理解为恰好转过或恰好不
能转过最高点的临界条件，此时支持力Nmg．
（2）当0vRg时，0Nmg，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，
.
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（3）当vRg时，N＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件．
（4）当vRg时，N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，
例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，
现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。
已知水平地面上的C点位于O点正下方，且
到O点的距离为1.9L。
不计空气阻力。
（1）求小球通过最高点A时的速度vA;
（2）若小球通过
最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断
裂，求小球落地点到C点的距离。
解：
（1）小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公
式有：
2
mvA
mg=L
解得:
vAgL。
（2）小球在B点时根据牛顿第二定律有
vB
2
T-mg=mL
其中T=6mg
解得小球在B点的速度大小为vB=5gL
细线断裂后，小球从
B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得
:
1gt2
竖直方向上1.9L-L=
2
（2分）
水平方向上x=vBt
（2分）
解得:
x=3L
（2分）
即小球落地点到C点的距离为3L。
答案:
（1）
gL
（2）3L
㈡管道模型
质点（小球）在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动（圆管截面半径r远小于
球的圆周运动的半径R），如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种
情况：
（1）
刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为
v
Rg．
（2）
当v
Rg时，对下管壁有压力，此时Nmg
mv2
，故0Nmg。
R
.
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（3）当vRg时，对上管壁有压力，此时Nmv2mg。
R
实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．
例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为
R（比细管的半径大得多）
，圆
管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）
。
A球的质量为m1
2
。
，B球的质量为
m
它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为
v0。
设A球运动到最低点时，球恰好运
动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，
那么m1，m2，R与v0
应满足关系式是
。
解：
首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图
4-1所示。
A球
在圆管最低点必受向上弹力
N1，此时两球对圆管的合力为零，
m2必受圆管
向下的弹力N2
，且N1
=N2。
据牛顿第二定律
A球在圆管的最低点有：
N1
mgm1
v02
同理m2在最高点有：
N2
mg
m2
v12
R
R
1
2
1
2
m2球由最高点到最低点机械能守恒：
2m2gR
2m2v1
2
m2v0
N1
N2
由上述方程可得：
v0
（5m2
m1）gR
m2
m1
【小结】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。
找出其中的联系就能很好地解决问题。
四、水平面内圆周运动中的临界问题：
解决圆周运动中临界问题的一般方法
1、对物体进行受力分析
2、找到其中可以变化的力以及它的临界值
3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值
4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值
例5、水平转盘上放有质量为
m的物快，当物块到转轴的距离为
r时,若物块始终相对转盘静止，
物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多
O
大？
解：
由
mgm2r
A
g
O’
得：
r
.
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点评：
提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值
变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？
解：
FN
m
2
r
g
得
FN
mg
r
例6、如图所示，两绳系一质量为
m＝0.1kg的小球，上面绳长
L＝2m，两端都拉直时与轴的夹
角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，
两绳始终张紧，当角速度为
3rad／s时，上、
下两绳拉力分别为多大？
A
解：
当ω渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。
30°
B
当AC绳与杆夹角为
30°时，BC绳处在虚直状态。
之后ω再增大，
45°
BC绳上也会有拉力。
所以
BC绳虚直为临界状态。
C
g
10
10
0
3
2.4rad/s
o
2
o
Lcos30o
3
mgtan30
Lsin30
2
m0
2
∴0，BC绳上有拉力。
分析小球，由牛顿第二定律：
A
TACcos30oTBCcos45o
mg
30°
TACsin30oTBCsin45o
m
2Lsin30o
B
3TAC
2TBC
45°
mg
TAC
3
1N
2
2
10
C
1TAC
2TBC
1m2L
TBC
172
6N
2
2
2
20
变式6-1：
如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，
θ
上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ
=60°。
此时小球静止于光滑水平面上。
.
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g
（1）当小球以
L
做圆锥摆运动时，绳子张力多大？
桌面支持力多大？
4g
（2）当小球以
L
做圆周运动时，绳子张力多大？
桌面受到的压力多大？
FN
1
答案：
（1）T=mg
mg
2
FN
0
（2）T=4mg
变式6-2、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之
间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，
另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀
速圆周运动。
1
⑴当v＝6gL时，求绳对物体的拉力；
3
⑵当v＝2gL时，求绳对物体的拉力。
T
θ
N
mg
解：
物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N提供向心力，当角速度ω
很小时，物体在圆锥体上运动。
Tsin
Ncos
m
v2
（1）
Lsin
Tcos
Nsin
mg
（2）
T
mg
Nsin
cos
由
（2）得：
mgtan
v2
N（tansincos）m
代入
（1）得：
Lsin
由此可得，当
v增大时，N减少。
∴当ω大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹
角将变大。
显然当球与锥面虚接触（即
N=0，θ=30°）时的线速度值为物体的临界速度。
对球分析，由牛
.
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T
2mv02
（3）
2
L
3T
mg
（4）
顿第二定律：
2
T
2
3mg
v0
3gL
6
3
Tsin
Ncos
m
v12
gL
（1）
v1
v0
Lsin
6
Tcos
Nsin
mg
（2）
⑴当
，所以N>0。
N
mg
Tcos
sin
由
（2）得：
T（sin
cot
cos）
mgcot
m
v12
Lsin
代入
（1）得：
gL
m
v02
mgcot
m
1
mg
3
Lsin
6L
3
3
1
T
2
1.03mg
cot
cos
1
3
6
mg
sin
2
3
2
v2
3gL
v0
2
30°
⑵当
，此时N=0，但夹角变大，不为
Tsin
m
v2
（5）
Lsin
Tcos
mg
（6）
T
mg
sin
m
v2
cos
mg
Lsin
由（6）得：
（7），代入（5）得：
cos
sin2
v2
3gL
2
1.5
cos
gL
gL
60o代入（7）得：
T2mg
例7、如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为
2N。
现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？
（g＝10m／s2）
.
5
3rad/s
5
15rad/s
（ω的范围是：
3
3
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M
ro
即2.9rad／s＜ω＜6.5rad／s）
m
变式7：
在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转
台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。
设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力
的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。
求：
（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动的角速度ω满足什么条件，物体M才能随转台转动？
（2）物体M随转台一起以角速度ω匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。
230rad/s
M
答案：
（1）
3
（
2）
2
5rad/s
m
例8、如图所示，在水平转台上放有
A、B两个小物块，它们距离轴心
O分别为rA
0.2m，
rB
0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的
0.4倍，取g
10m/s2
。
（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；
（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。
OAB
0
10
rad/s
2
25rad/s
答案：
（1）
3
（2）
.
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变式8：
如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两
个小物块。
A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的
最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：
（1）若细线上没张力，圆盘转动的角速度应该满足什么条件？
O
（2）欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少？
（3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？
B
A
230rad/s
答案：
（1）3
（2）4rad/sO’
（3）A继续做圆周运动，B做离心运动五、圆周运动的周期性问题：
利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。
圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。
在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。
同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例9：
如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，
其正上方
h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为
B，则小
球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。
【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了
一定角度的圆周运动。
1
解：
①小球做平抛运动，在竖直方向上：
h＝2gt2
2h
则运动时间t＝
g
R
g
又因为水平位移为
R，
所以球的速度
v＝t
＝R·
2h
②在时间t内，盘转过的角度θ＝n·2π，又因为θ＝ωt
n2
g
则转盘角速度：
ω＝
t
＝2nπ2h（n＝1，2，3⋯）
.
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【总结】上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动，这两种不同运动规律在解决同一
问题时，常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。
变式9-1：
如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，
有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q
球的角速度ω应满足什么条件？
【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必
须满足时间相等这个条件。
解：
设P球自由落体到圆周最高点的时间为
t，由自由落体可得
1
2h
2gt2=h
求得t=
g
Q球由图示位置转至最高点的时间也是
t，但做匀速圆周运动，周期为
T，有
T
2π
2π
2h
t=（4n+1）4（n=0，1，2，3⋯⋯）
两式联立再由T=
得
（4n+1）=
g
π
g
所以ω=2（4n+1）
2h（n=0，1，2，3⋯⋯）
【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置，故具有重复性。
在做这类题目时，应该考虑圆周运动的周期性
六、圆周运动中的临界问题练习：
1、如图所示，水平转盘上放有质量为
m的物块，当物块到转轴的距离为
r时，
r
连接物块和转轴的绳刚好被拉直
（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力
o
是其下压力的μ倍。
求：
μg
ω
⑴当转盘角速度ω1＝
T1。
时，细绳的拉力
2r
⑵当转盘角速度ω2＝
3μg
时，细绳的拉力
T2。
2r
1
mg
答案：
（1）0
（2）2
.
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2、
（ABD）
3、
（BD）
.
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4、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所
示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（B）
M
mg
M
mg
A．mR
B．
mR
M
m
g
Mg
C．
mR
D．
mR
5、在光滑的水平面上钉有两个钉子
A和B.相距20cm.用一根长度为
1m的细绳.一端系一个质
量为0.4kg的小球.另一端栓在钉子
A上.使小球
开始位于A的左边.并以2m/s的速率在水平面
AB
上绕A做匀速圆周运动.若绳子承受4N
的拉力
就会断.那么从开始运动到绳被拉断
.小球转的半圆周数（B
）
A.2
B.3
C.4
D.5
6.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg
的A、B两个物块，物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力
传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的
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