解析：
选A 由
＝
得x＝y，A正确，易知B、C、D错误．
2．（2012·湖南高考）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠
，则tanα≠1B．若α＝
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
解析：
选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”．
3．（2012·温州适应性测试）设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且（A∩B）⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：
____________________.
解析：
原命题的条件：
在△ABC中，∠C＝90°，
结论：
∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．
答案：
“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”
5．下列命题中所有真命题的序号是________．
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
解析：
①由2>－3⇒/22>（－3）2知，该命题为假；②由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知，该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．
答案：
②③
1.充分条件与必要条件的两个特征
（1）对称性：
若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
（2）传递性：
若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件．
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
2．从逆否命题，谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
四种命题的关系及真假判断
典题导入
[例1] 下列命题中正确的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－3
是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④D．①④
[自主解答] ①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．
[答案] B
由题悟法
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
以题试法
1．以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．
①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：
对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f（x）＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：
②④
充分必要条件的判定
典题导入
[例2]
（1）（2012·福州质检）“x<2”是“x2－2x<0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（2012·北京高考）设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[自主解答]
（1）取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0（2）当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
[答案]
（1）B
（2）B
由题悟法
充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．
以题试法
2．下列各题中，p是q的什么条件？
（1）在△ABC中，p：
A＝B，q：
sinA＝sinB；
（2）p：
|x|＝x，q：
x2＋x≥0.
解：
（1）若A＝B，则sinA＝sinB，即p⇒q.
又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b.
故A＝B，即q⇒p.
所以p是q的充要条件．
（2）p：
{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：
{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，
∵AB，
∴p是q的充分不必要条件．
充分必要条件的应用
典题导入
[例3] 已知p：
－4（x－2）（x－3）<0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为________．
[自主解答] 设q，p表示的范围为集合A，B，
则A＝（2,3），B＝（a－4，a＋4）．
由于q是p的充分而不必要条件，则有AB，
即
或
解得－1≤a≤6.
[答案] [－1,6]
由题悟法
利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：
（1）若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p；
（2）若p是q的必要不充分条件，则p⇒/q，且q⇒p；
（3）若p是q的充要条件，则p⇔q.
以题试法
3．（2013·兰州调研）“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（3，＋∞） B.
∪
C.
D.
∪
解析：
选D 由2x2－5x－3≥0得x≤－
或x≥3.
∵x∈{3，a}是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a≠3，
∴a≤－
或a>3.
1．（2012·福建高考）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（ ）
A．x＝－
B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
解析：
选D a⊥b⇔2（x－1）＋2＝0，得x＝0.
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：
选B 原命题的逆命题是：
若一个数的平方是正数，则它是负数．
3．（2013·武汉适应性训练）设a，b∈R，则“a>0，b>0”是“
>
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选D 由a>0，b>0不能得知
>
，如取a＝b＝1时，
＝
；由
>
不能得知a>0，b>0，如取a＝4，b＝0时，满足
>
，但b＝0.综上所述，“a>0，b>0”是“
>
”的既不充分也不必要条件．
4．已知p：
“a＝
”，q：
“直线x＋y＝0与圆x2＋（y－a）2＝1相切”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 由直线x＋y＝0与圆x2＋（y－a）2＝1相切得，圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有
＝1，a＝±
.因此，p是q的充分不必要条件．
5．（2012·广州模拟）命题：
“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：
选D x2<1的否定为：
x2≥1；－1若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
6．（2011·天津高考）设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x（x－2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，
∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．
7．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：
选A 对于A，其逆命题是：
若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：
若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：
若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．
8．对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 若y＝f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），
∴|f（－x）|＝|－f（x）|＝|f（x）|，
∴y＝|f（x）|的图象关于y轴对称，但若y＝|f（x）|的图象关于y轴对称，如y＝f（x）＝x2，而它不是奇函数．
9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．（填“真”或“假”）
解析：
其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．
答案：
假
10．已知集合A＝{x|y＝lg（4－x）}，集合B＝{x|x“x∈A”是Q：
“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
A＝{x|x<4}，由题意得AB结合数轴易得a>4.
答案：
（4，＋∞）
11．（2013·绍兴模拟）“－3＋
＝1表示椭圆”的____________条件．
解析：
方程表示椭圆时，应有
解得－3故“－3答案：
必要不充分
12．若“x2>1”是“x解析：
由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：
－1
13．下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sinα＝sinβ，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：
对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2⇒/A2C1，所以③正确；④显然正确．
答案：
①③④
14．已知集合A＝
，B＝{x|log4（x＋a）<1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
由
x2－x－6<1，即x2－x－6>0，解得x<－2或x>3，故A＝{x|x<－2，或x>3}；由log4（x＋a）<1，即0答案：
（－∞，－3]∪[6，＋∞）
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“Acos2B”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C 由大边对大角可知，A由正弦定理可知
＝
，故a而cos2A＝1－2sin2A，cos2B＝1－2sin2B，
又sinA>0，sinB>0，所以sinAcos2B.
所以acos2B，即“Acos2B”的充要条件．
2．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）
A．x＋y＝2B．x＋y>2
C．x2＋y2>2D．xy>1
解析：
选B 命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．
若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；
而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.
对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.
对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，故不能推出x>1或y>1.
对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故选B.
3．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
，则m的取值范围是________．
解析：
由题意知：
“
”是“不等式|x－m|<1”成立的充分不必要条件．
所以
是{x||x－m|<1}的真子集．
而{x||x－m|<1}＝{x|－1＋m所以有
解得－
≤m≤
.
所以m的取值范围是
.
答案：
4．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，给出下列命题：
①若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；
②若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；
③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b<0；
④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b<0；
⑤若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；
⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.
其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________（按要求的顺序填写）．
解析：
“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.
答案：
①③②④
5．设条件p：
2x2－3x＋1≤0，条件q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：
条件p为：
≤x≤1，条件q为：
a≤x≤a＋1.
綈p对应的集合A＝
，綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1，或x∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴BA，∴a＋1>1且a≤
或a＋1≥1且a<
.
∴0≤a≤
.故a的取值范围是
.
6．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|（x－a）·（x－8）≤0}．
（1）求M∩P＝{x|5（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5解：
（1）由M∩P＝{x|5（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|51．（2012·济南模拟）在命题p的四种形式的命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为f（p），已知命题p：
“若两条直线l1：
a1x＋b1y＋c1＝0，l2：
a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f（p）＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选B 若两条直线l1：
a1x＋b1y＋c1＝0与l2：
a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，有2个正确命题，即f（p）＝2.
2．条件p：
<α<
，条件q：
f（x）＝logtanαx在（0，＋∞）内是增函数，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B ∵f（x）＝logtanαx在（0，＋∞）内是增函数，
∴tanα>1，得α∈
，k∈Z，而
（k∈Z）．
∴p是q的充分不必要条件．
3．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
解：
法一：
写出逆否命题进行判断．
原命题：
若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：
若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
判断如下：
∵x2＋x－a＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－
<0，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．
法二：
利用原命题与逆否命题同真同假（即等价关系）判断．
∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，
∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，
∴方程x2＋x－a＝0有实根．
故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．
又因原命题与其逆否命题等价，
所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．
法三：
利用充要条件与集合关系判断．
令A＝{a∈R|a≥0}，
B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝a∈Ra≥－
，
则AB.
∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真，其逆否命题也为真．
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