二次根式教学设计说明.docx
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二次根式教学设计说明
7 二次根式
第1课时 二次根式的概念和性质
教学目标
【知识与技能】
1.了解二次根式及最简二次根式的概念.
2.会化简二次根式.
3.理解并掌握二次根式的性质.
【过程与方法】
经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.
教学重难点
【重点】
理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.
【难点】
化简二次根式.
教学过程
一、知识回顾,引入新课
师:
同学们还记得平方根的概念吗?
生:
记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
师:
什么叫做算术平方根呢?
生:
正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.
师:
很好!
非负数a的算术平方根用（a≥0）表示.一般地,例如（a≥0）的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的容.
二、讲授新课
师:
请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?
,,,（其中b=24,c=25）.
生:
它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.
师:
很好!
一般地,例如（a≥0）的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?
下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:
= ,×= ;
= ,×= ;
= ,×= ;
= ,÷= .
学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.
= ,÷= .
师:
请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?
你能用字母表示你发现的规律吗?
学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.
师:
通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:
（1）积的算术平方根的性质:
积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）,即=·（a≥0,b≥0）;
（2）商的算术平方根的性质:
商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（被除式必须是非负数,除式必须是正数）,即=（a≥0,b>0）.
师:
知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.
三、例题讲解
【例1】 化简:
（1）;
（2）;（3）.
【答案】
（1）=×=9×8=72;
（2）=×=5;
（3）==.
例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
【例2】 化简:
（1）;
（2）;（3）.
【答案】
（1）==×=5;
（2）===;
（3）==.
判断最简二次根式的方法:
通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.
【例3】 先化简,再求出下面算式的近似值（精确到0.01）.
（1）;
（2）;（3）.
（合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.）
【答案】
（1）===·=12≈20.78;
（2）===≈1.01;
（3）===×=10-2×=0.01×≈0.02.
四、巩固练习
1.化简:
;
（2）;（3）;（4）
【答案】
（1）165
（2）4 （3） （4）
2.化简:
-
【答案】 原式=-=.
3.若b>0,x<0,化简:
-.
【答案】 原式=-=-=-=.
五、课堂小结
师:
通过这节课的学习,同学们有什么收获?
能与大家分享一下吗?
学生发言,教师予以点评.
第2课时 二次根式的运算
（1）
教学目标
【知识与技能】
1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.
2.会进行简单的二次根式乘除以及加减运算.
3.会进行二次根式的四则混合运算.
【过程与方法】
让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.
【情感、态度与价值观】
培养学生努力探索事物之间在联系的学习习惯.
教学重难点
【重点】
二次根式的乘除以及加减运算.
【难点】
熟练地进行二次根式的四则混合运算.
教学过程
一、复习归纳
1.二次根式的性质:
（1）（）2=a（a≥0）
（2）= （3=·）（a≥0,b≥0） （4）=（a≥0,b>0）
2.想一想:
你能计算吗?
（1）× ;
（2）× ;（3）× .
师:
先计算每组数中的左边的式子,再计算右边的式子.它们相等吗?
你发现了什么?
学生先独立完成,然后分组讨论交流,再集体订正.
3.提出问题.
（1）两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨?
（2）两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨?
这是以前学过的多项式加减法,同类项可以合并,想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗?
请尝试计算以下几题.
（1）3+4;
（2）+;（3）++4.
二、讲授新课
1.在学生进行练习后进行总结.
①二次根式的乘除运算法则.
=·（a≥0,b≥0）
=（a≥0,b>0）
即将二次根式的性质等式左右两边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则.
②二次根式的加减运算法则.
师:
与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.
下列计算结果哪些正确,哪些不正确?
+=;a+=a;-=;
a+b=（a+b）;
-=-=0.
学生回答,教师予以订正.
③二次根式的四则混合运算.
二次根式即可以进行乘除运算,也可以进行加减运算.以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.说说下列算式的运算顺序,并计算出结果.
（+）·
（+）·56
×+×
2.例题学习.
【例1】 计算.
（1）×;
（2）; （3）.
（归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:
（1）运用法则,化归为根号的实数运算;
（2）完成根号乘除运算;（3）化简二次根式.）
【答案】
（1）×===;
（2）==;
（3）====.
【例2】 计算:
（1）3×2;
（2）×-5;（3）（+1）2;
（4）（+3）（-3）;（5）-×;
（6）
【答案】
（1）3×2=3×2×=6;
（2）×-5=-5=-5=6-5=1;
（3）（+1）2=（）2+2+1=5+2+1=6+2;
（4）（+3）（-3）=（）2-32=13-9=4;
（5）（-）×=×-×=-=6-1=5;
（6）=+=+=2+3=5.
【例3】 计算:
（1）+;
（2）-;（3）（+）×.
【答案】
（1）+3=+=×+=4+=5;
（2）-=-=-=;
（3）（+）×=+=+=2+3=5.
三、课堂小结
师:
本节课我们学习了哪些知识?
还有什么疑惑的地方吗?
师生共同总结.
第3课时 二次根式的运算
（2）
教学目标
【知识与技能】
1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.
2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
【过程与方法】
引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.
【情感、态度与价值观】
体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.
教学重难点
【重点】
进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.
【难点】
熟练进行二次根式的四则混合运算.
教学过程
一、引入新课
师:
通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.
二、例题讲解
【例1】 先化简,再求出近似值（精确到0.01）.
--
（二次根式加减运算的一般步骤是:
先化简,再合并.）
【答案】 原式=--=2--=（2--）=≈1.73.
【例2】 计算.
（1）-3×;
（2）（-3）·;
（3）（-）÷.
（说明:
（1）二次根式混合运算的运算次序是:
先乘除,后加减;
（2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简.）
【答案】
（1）原式=3-6=-3;
（2）原式=·-3·=-3=-9;
（3）原式=÷-÷=-=4-3=1.
【例3】 计算:
（1）-;
（2）-8+;
（3）（-）÷;（4）+-.
【答案】
（1）-=-
=-=;
（2）-+=-+
=3-2+=;
（3）（-）÷=÷-÷
=-=-=-=2-=;
（4）+-=+-=+-3=-+.
在上面第（4）题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同,因此,结果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.
三、课堂小结
师:
本堂课我们学到了什么新知识?
学生发言,教师予以补充.
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