数值计算方法试题及答案.docx
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数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一
一、填空题(每空1分,共17分)
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在( )。
3、已知是三次样条函数,则
=( ),=( ),=( )。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则
(),( ),当时()。
5、设和节点则
和 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则 。
8、给定方程组,为实数,当满足 ,且时,SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是
阶方法。
10、设,当( )时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足( )条件时,这种分解是唯一的。
二、二、选择题(每题2分)
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是( )。
(1),
(2),(3),(4)
2、在牛顿-柯特斯求积公式:
中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1),
(2),(3),(4),
3、有下列数表
x
0
1
2
f(x)
-2
-1
2
所确定的插值多项式的次数是( )。
(1)二次;
(2)三次;(3)四次;(4)五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为( )。
(1),
(2),(3),(4)
三、1、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:
19
25
30
38
2、(15分)用的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算时,
(1)
(1) 试用余项估计其误差。
(2)用的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。
四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式
(1)对应迭代格式;
(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。
2、(8分)已知方程组,其中
,
(1)
(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
(2)
(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。
五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。
2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足
,,,
六、(下列2题任选一题,4分)
1、1、 数值积分公式形如
(1)
(1) 试确定参数使公式代数精度尽量高;
(2)设,推导余项公式,并估计误差。
2、2、 用二步法
求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题:
(共16分,每小题2分)
1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。
( )
2、当时,Newton-cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
( )
3、形如的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
( )
4、矩阵的2-范数=9。
( )
5、设,则对任意实数,方程组都是病态的。
(用)()
6、设,,且有(单位阵),则有。
()
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的,且唯一。
()
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解:
,则的值分别为2,2。
()
二、填空题:
(共20分,每小题2分)
1、设,则均差
__________,__________。
2、设函数于区间上有足够阶连续导数,为的一个重零点,Newton迭代公式的收敛阶至少是__________阶。
3、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量,矩阵,则
__________,__________。
5、为使两点的数值求积公式:
具有最高的代数精确度,则其求积基点应为__________,__________。
6、设,,则(谱半径)__________。
(此处填小于、大于、等于)
7、设,则__________。
三、简答题:
(9分)
1、1、 方程在区间内有唯一根,若用迭代公式:
,则其产生的序列是否收敛于?
说明理由。
2、2、 使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术?
3、3、 设,试选择较好的算法计算函数值。
四、(10分)已知数值积分公式为:
,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
五、(8分)已知求的迭代公式为:
证明:
对一切,且序列是单调递减的,
从而迭代过程收敛。
六、(9分)数值求积公式是否为插值型求积公式?
为什么?
其代数精度是多少?
七、(9分)设线性代数方程组中系数矩阵非奇异,为精确解,,若向量是的一个近似解,残向量,证明估计式:
(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。
八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数,试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式,并导出其余项。
0
1
2
0
1
2
-1
1
3
3
九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列,为的零点,
是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,为高斯型求积公式,证明:
(1)
(1)当时,
(2)
(3)
十、(选做题8分)
若,
互异,求的值,其中。
数值计算方法试题三
一、(24分)填空题
(1)
(1) (2分)改变函数()的形式,使计算结果较精确
。
(2)
(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。
(3)(3) (2分)设,则
(4)(4) (3分)设是3次样条函数,则
a=,b=,c=。
(5)(5) (3分)若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用个求积节点。
(6)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
,迭代矩阵为,
此迭代法是否收敛。
(7)(7) (4分)设,则,。
(8)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题,为保证算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为
二.(64分)
(1)
(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。
(2)
(2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。
(3)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(4)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值,要求误差限为。
(5)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
(6)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(7)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。
三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(1)
(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:
,,,,
(2)
(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:
(3)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于,取特征向量的初始近似值为。
(4)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式,使其精度尽量高,其中,,i=0,1,…,N,
(5)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三
一、(24分)填空题
(9)
(1) (2分)改变函数()的形式,使计算结果较精确
。
(10)
(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。
(11)(3) (2分)设,则
(12)(4) (3分)设是3次样条函数,则
a=,b=,c=。
(13)(5) (3分)若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用个求积节点。
(14)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
,迭代矩阵为,
此迭代法是否收敛。
(15)(7) (4分)设,则,。
(16)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题,为保证算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为
二.(64分)
(8)
(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。
(9)
(2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。
(10)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(11)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值,要求误差限为。
(12)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
(13)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(14)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。
三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(6)
(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:
,,,,
(7)
(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:
(8)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于,取特征向量的初始近似值为。
(9)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式,使其精度尽量高,其中,,i=0,1,…,N,
(10)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案
一、一、填空题(每空1分,共17分)
1、(10)2、()3、=(3),=(3),=
(1)
4、
(1)、()、()5、6、6、9
7、08、9、210、()、()
二、二、选择题(每题2分)
1、(
(2))2、(
(1))3、(
(1))4、((3))
三、1、(8分)解:
解方程组
其中
解得:
所以,
2、(15分)解:
四、1、(15分)解:
(1),,故收敛;
(2),,故收敛;
(3),,故发散。
选择
(1):
,,,,,
,
Steffensen迭代:
计算结果:
,,有加速效果。
2、(8分)解:
Jacobi迭代法:
Gauss-Seidel迭代法:
,
SOR迭代法:
五、1、(15分)解:
改进的欧拉法:
所以;
经典的四阶龙格—库塔法:
,所以。
2、(8分)解:
设为满足条件的Hermite插值多项式,
则代入条件得:
六、(下列2题任选一题,4分)
1、解:
将分布代入公式得:
构造Hermite插值多项式满足其中
则有:
,
2、解:
所以
主项:
该方法是二阶的。
数值计算方法试题二答案
一、一、判断题:
(共10分,每小题2分)
1、( Ⅹ )2、( ∨ )3、(Ⅹ )4、( ∨ )5、(Ⅹ )6、(∨ )7、( Ⅹ )8、(Ⅹ )
二、二、填空题:
(共10分,每小题2分)
1、、02、__二___3、__二___4、_16、90__5、6、=
7、0
三、三、简答题:
(15分)
1、1、 解:
迭代函数为
2、2、 答:
Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使,则消元过程将无法进行;其次,即使主元素不为0,但若主元素的绝对值很小,用它作除数,将使该步消元的乘数绝对值很大,势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组解的精确程度受到严重影响,采用选主元的技术,可避免主元素=0或很小的情况发生,从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。
3、3、 解:
四、四、解:
显然精确成立;
时,;
时,;
时,;
时,;
所以,其代数精确度为3。
五、五、证明:
故对一切。
又所以,即序列是单调递减有下界,
从而迭代过程收敛。
六、六、解:
是。
因为在基点1、2处的插值多项式为
。
其代数精度为1。
七、七、证明:
由题意知:
又
所以。
八、解:
设
所以
由得:
所以
令,作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:
反复利用罗尔定理可得:
,
所以
九、九、证明:
形如的高斯(Gauss)型求积公式具有
最高代数精度2n+1次,它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
1)
2)因为是n次多项式,且有
所以()
3)取,代入求积公式:
因为是2n次多项式,
所以
故结论成立。
十、十、解:
数值计算方法试题三答案
一.(24分)
(1)(2分)
(2)(2分)10
(3)(2分)(4)(3分)3-31(5)(3分)477
(6)(6分)收敛
(7)(4分)991(8)(2分)h<
二.(64分)
(1)(6分),n=0,1,2,…
∴对任意的初值,迭代公式都收敛。
(2)(12分)用Newton插值方法:
差分表:
100
121
144
10
11
12
10+(115-100)(115-100)(115-121)
=
(3)(10分)设
,,,,,
,,
=+
(4)(10分)
或利用余项:
,,
(5)(10分)
(6)(8分),,
若用Householder变换,则:
最小二乘解:
,T.
(7)(8分)
,
三.(12分)
(1)差分表:
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1
其他方法:
设
令,,求出a和b
(2)取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:
,,
f(x)=x2时,公式左右=1/4;f(x)=x3时,公式左=1/5,公式右=5/24
∴公式的代数精度=2
(3)①,,
②,,,
③,,,
∴,
(4)局部截断误差=
令,得,,
计算公式为,i=0,1,2,…
(局部截断误差=)
(5)记,,,,,
i=0..N
i=1..N-1
即,i=1..N-1
(1)
与
(1)取i=1的方程联立消去y2得
(2)
,与
(1)取i=N-1的方程联立消去yN得
(3)
所求三对角方程组:
方程
(2),方程组
(1)(i=1..N-2),方程(3)