19.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=的图象上,作射线AB,交反
45°,交反比例函数图象于点C,
比例函数图象于另一点M,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转则CM的长度为(
A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小
21.如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的是()
23.如图,点A,C都在函数y=(x>0)的图象上,点B,D都在x轴上,且使得△OAB,△BCD
都是等边三角形,则点C的坐标是()
A.(+1,﹣)B.(+1,﹣1)C.(+1,﹣)D.(+1,﹣)
.填空题(共9小题)
24.如图,点M是函数图象上的一点,直线l:
y=x,过点M分别作MA⊥y轴,MB⊥l,A,
B为垂足,则MA?
MB=
25.如图将直线向左平移m个单位,与双曲线交于点A,与x轴交于点B,则OB2﹣
OA2+AB2=.
26.如果反比例函数y=(m﹣3)的图象在第二、四象限,那么m=.
27.已知双曲线y=(k≠0)上有一点P,PA⊥x轴于A,点O为坐标原点,且S△PAO=12,则此反比例函数的解析式为.
28.反比例函数的图象同时过A(﹣2,a)、B(﹣3,b)、C(1,c)三点,则a、b、c
的大小关系是.
29.函数y=(m2﹣m)xm2﹣3m+1是反比例函数,则m的值是,它的图象分布在象限,
在每一个象限内,y随x的增大而.
30.如图,A、B是反比例函数y=上两点,AC⊥y轴于C,BD⊥x轴于D,AC=BD=OC,S四边形ABDC=14,则k=.
31.如图,B为双曲线y=(x>0)上一点,直线AB平行于y轴交直线y=x于点A,若OB2﹣AB2=12,则k=.
32.如图,正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A,C两点,AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D,则四边形ABCD的面积为.
.解答题(共8小题)
33.如图1,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点C的坐标为(4,3),反比例函数y=(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上.
(1)求证:
△AOE与△BOF的面积相等;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)如图2,P点坐标为(2,﹣3),在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N(M在N的左侧),使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.
34.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A、C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2),M、N分别是AB、BC的中点.
(1)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB(包括边界)有公共点,请直接写出m的取值范35.如图,反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)观察图象,直接写出x为何值时,一次函数值大于反比例函数?
(3)求△AOB的面积.
36.如图,反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A(m,3),B(﹣3,n)、两点.
(1)求一次函数的解析式及△AOB的面积;
(2)根据图象直接写出不等式的解集;
37.如图,若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点,与双曲线在第二象限交于点
B,且OA=OB,△OAB的面积为
(1)求直线AB的解析式及双曲线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值.
38.已知反比例函数y=和一次函数y=2x﹣1,其中一次函数的图象经过(a,b),(a+k,b+k+2)两点.
1)求反比例函数的解析式?
39.如图,双曲线y=在第一象限的一支上有一点C(1,5),过点C的直线y=﹣kx+b(k>0)与x轴交于点A(a,0).
3)利用②的结果,请问:
在x轴上是否存在点
P,使△AOP为等腰三角形?
(1)求点A的横坐标a与k的函数关系式(不写自变量取值范围).
(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时,求△COA的面积.
40.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点.
(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OM、ON,求三角形OMN的面积.
(3)连接OM,在x轴的正半轴上是否存在点Q,使△MOQ是等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案
任意一点,点A在直线l:
y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于(B)
解:
如图,将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°,则得到双曲线C3,直线l与y轴重合.双曲线C3,的解析式为y=﹣过点P作PB⊥y轴于点B∵PA=PB∴B为OA中点.∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k的性质,S△POB=3∴△POA的面积是6
3.反比例函数y=的图象如图所示,点A是该函数图象上一点,AB垂直于x轴垂足是点B,如果
S△AOB=1,则k的值为(D)
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象经过点T.下列各点P(4,6),Q(3,
﹣8),M(2,﹣12),N(,48)中,在该函数图象上的点有(C)
A.﹣17.如图,双曲线y=与直线y=kx+b交于点M,N,并且点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为
﹣1.根据图象信息可得关于x不等式A.x<﹣3B.﹣31
8.点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数y=的图象上,若x1A.y1线交x轴于点C,若S△AOC=3.则k的值为(B)
A.2B.1.5C.4D.6解:
如图,分别过点A、B作AF⊥y轴于点F,AD⊥x轴于点D,BG⊥y轴于点G,BE⊥x轴于点E,∵k>0,点A是反比例函数图象上的点,∴S△AOD=S△AOF=|k|,∵A、B两点的横坐标分别是a、3a,
∴AD=3BE,∴点B是AC的三等分点,∴DE=2a,CE=a,∴S△AOC=S梯形ACOF﹣S△AOF=(OE+CE+AF)×OF﹣|k|=×5a×﹣|k|=3,解得k=1.5.
10.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上,若x1A.y1k≠0),连接OA,OB.若S△ABO=8,则k的值
11.如图,点A(m,1),
B(2,n)在双曲线y
设A(k,1),B(2,
k),则
AC=2﹣k,BC=1﹣k,∵S△ABO=8,∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC=8,
,
2﹣k)(1﹣k)
(2﹣k)
×1﹣(1﹣k)×2=8,解得k=±6,∵k<0,∴k=﹣6,
12.如图,反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C.的面积是8,则这个反比例函数的解析式是(C)
D.y=
若△ABC
A.y=
B.y=
C.y=
13.如图,在平面直角坐标系中,函数y=的图象与函数y=
AC,BC,若∠C=90°,则点C的坐标为(A)
x的图象相交于A,B两点,
点C是函
解:
函数y=的图象与函数
B.(3,6)C.(4,2)D.(
,)
解方程组
y=x的图象相交于A,B两点,
,
,可得
,∴B(4,2),A(﹣4,﹣2),∴OB=AO=2,又∵∠ACB=9°0,
∴OC=AB=2,设C(a,),则OC=
=2,解得a=2,或a=4(舍去),∴C(2,4),
14.如图,直线y
x﹣3与x轴交于点A,与双曲线y=(k≠0)在第一象限内交于点B,过点A
C,若AB=AC,则k的值是(D)
B.C.D.
解:
如图,过B作BD⊥OA于D,则∠ADB=∠AOE=9°0,由直线y=
x﹣3,可得A(4,0),E(0,
﹣3),∴AO=4,OE=3,AE=5,设点C的坐标为(4,
),则AC=AB=
,由△AOE∽△ADB,可
得
=
=
得
,即
=
=
,∴AD=,BD=
,∴B(4+
,),∵双曲线y=(k≠0)
经过点B,∴(4+)×k=k,解得k=
15.如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在第二象限和第一象限,AB与x轴平行,∠AOB=90°,
解:
∵AB与x轴平行,∴AB⊥y轴,即∠AHO=∠OHB=9°0,∵∠AOB=9°0,∴∠AOH+∠BOH=∠AOH+∠OAH=9°0,∴∠OAH=∠BOH,∴△AOH∽△OBH,
,又∵k1<0,∴
,即
16.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k≠0)经过?
ABCD的顶点B、D,点A的坐标为(0,﹣1),AB∥x轴,CD经过点(0,2),?
ABCD的面积是18,则点D的坐标是(C)
A.(﹣2,2)B.(3,2)C.(﹣3,2)D.(﹣6,1)
0,﹣1),AB∥x轴,反比例函数y=(k≠0)经过?
ABCD的顶点B,
∴点B的坐标为(﹣k,﹣1),即AB=﹣k,又∵点E(0,2),∴AE=2+1=3,
又∵平行四边形ABCD的面积是18,∴AB×AE=18,∴﹣k×3=18,∴k=﹣6,∴y=﹣
∵CD经过点(0,2),∴令y=2,可得x=﹣3,∴点D的坐标为(﹣3,2),
点C,过C的直线交双曲线于点D,交x轴正半轴于点E,且CD=DE,则线段CE长度的取值范围是(A)
A.4≤CE<4B.4≤CE<2C.2如图1,过D作DF⊥OA于F,∵点A(0,4),B(1,4),∴AB⊥y轴,AB=1,OA=4,∵CD=DE,∴AF=OF=2,∵点B在双曲线y=(k>0)上,∴k=1×4=4,∴反比例函数的解析式为:
y=,∵过点C的直线交双曲线于点D,∴D点的纵坐标为2,把y=2代入y=得,x=2,∴D(2,2),当O与E重合时,如图2,∵DF=2,∴AC=4,∵OA=4,∴CE=4,当CE⊥x轴时,
CE=OA=4,∴4≤CE<4,
19.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=的图象上,作射线AB,交反比例函数图象于另一点M,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则CM的长度为(D)
A.5B.6C.4D.5
解:
如图,过A作AD⊥y轴于D,将AB绕着点B顺时针旋转90°,得到A'B,过A'作A'H⊥y轴于
H,由AB=BA',∠ADB=∠BHA'=90°,∠BAD=∠A'BH,可得△ABD≌△BA'H,∴BH=AD=2,又∵OB=2,∴点H与点O重合,点A'在x轴上,∴A'(1,0),又∵等腰Rt△ABA'中,∠BAA'=45°,
而∠BAC=4°5,∴点A'在AC上,由A(2,3),A'(1,0),可得直线AC
CM==5,
的一个动点,PB⊥y轴于点B,当点
P的横坐标逐渐增大时,四边形OAPB的面积将会(C)
A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小
21.如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的是(C)
A.点A和点B关于原点对称
C.S△AOC=S△BOD
B.当x<1时,y1>y2
D.当x>0时,y1、y2都随x的增大而增大
代入①得:
y1=﹣1,y2=2,∴B(﹣2,﹣1),A(1,2),∴A、B不关于原点对称,故本选项错误;
B、当﹣21时,y1>y2,故本选项错误;
C、∵S△AOC=×1×2=1,S△BOD=×|﹣2|×|﹣1|=1,∴S△BOD=S△AOC,故本选项正确;
D、当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,故本选项错误;
22.函数y=k(x﹣1)与y=﹣在同一直角坐标系内的图象大致是(A)
∴A的横坐标是1,纵坐标是,∴OE=EB=1,OA=2OE=2,AE=,设BF=m,则C(2+m,m),代入y=,得:
m2+2m﹣1=0,解得:
m=﹣1±,∵m>0,∴m=﹣1+,∴点C的坐标为:
(1+,
).
二.填空题(共9小题)
24.如图,点M是函数图象上的一点,直线l:
y=x,过点M分别作MA⊥y轴,MB⊥l,A,
B为垂足,则MA?
MB=.
解:
延长AM,交直线y=x于点D,设M(x,x+)则△AOD是等腰直角三角形,即∠ADO=4°5,∴OA=AD=x+,AM=x,∴MD=AD﹣AM=,∵MB⊥l,∴MB=BD,∴△BDM是等腰直角三角形,
,∴MB=×=,∴MA?
MB=x?
=.
解:
由题意知:
平移后的直线解析式为:
y=(x+m);
设A(x,y),易知:
B(﹣m,0),则有:
整理得:
原式=﹣2x2﹣2mx;
由于直线y=(x+m)与交于点A,联立两个函数解析式得:
(x+m)=﹣,即x2+mx+2=0,得﹣x2﹣mx=2;故所求代数式=﹣2x2﹣2mx=4.
故答案为:
4.
26.如果反比例函数y=(m﹣3)的图象在第二、四象限,那么m=1
【解答】解:
根据题意m2﹣6m+4=﹣1,
解得m=1或5,
又m﹣3<0,
m<3,
所以m=1.
故答案为:
1.
27.已知双曲线y=(k≠0)上有一点P,PA⊥x轴于A,点O为坐标原点,且S△PAO=12,则此反比例函数的解析式为y=﹣或y=.
解答】解:
设点P的坐标为(x,y).
∵P(x,y)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象,
∴k=xy,
∵S△PAO=12,
∴|xy|=12,
∴|xy|=24,
∴xy=±24,
∴k=±24,
∴y=﹣或y=.
故答案为:
y=﹣或y=.
28.反比例函数的图象同时过A(﹣2,a)、B(﹣3,b)、C(1,c)三点,则a、b、c
的大小关系是a>b>c.
【解答】解:
∵k<0,∴此函数的图象在二、四象限,∵﹣2<0,﹣3<0,1>0,
∴A、B两点在第二象限,C点在第三象限,
∴a>0,b>0,c<0,
∵﹣2>﹣3,∴a>b>0,∴a>b>c.
故答案为a>b>c.
29.函数y=(m2﹣m)xm2﹣3m+1是反比例函数,则m的值是2,它的图象分布在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.
【解答】解:
由题意得:
m2﹣3m+1=﹣1,且m2﹣m≠0,解得:
m=2,
∵m2﹣m=4﹣2=2>0,∴图象分布在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小,故答案为:
2;第一、三;减小.
30.如图,A、B是反比例函数y=上两点,AC⊥y轴于C,BD⊥x轴于D,AC=BD=OC,S四边形
ABDC=14,则k=16
【解答】解:
如图,分别延长CA,DB交于点E,根据AC⊥y轴于C,BD⊥x轴于D,AC=BD=OC,知△CED为直角三角形,且点A与点B的纵横坐标正好相反,
设点A的坐标为(xA,yA),则点B的坐标为(yA,xA),点E的坐标为(yA,yA),四边形ACDB的面积为△CED的面积减去△AEB的面积.
CE=ED=yA,AE=BE=y﹣yA,
∵yA>0,∴yA=8,点A的坐标为(2,8),
∴k=2×8=16.
31.如图,B为双曲线y=(x>0)上一点,直线AB平行于y轴交直线y=x于点A,若OB2﹣AB2=12,
【解答】解:
如图,延长AB交x轴于点C,设点C的横坐标为a,则点B的纵坐标为,点A的纵坐标为a,
所以,AB=a﹣,
∵AB平行于y轴,∴AC⊥OC,
在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2=a2+()2,
∵OB2﹣AB2=12,
∴a2+()2﹣(a﹣)2=12,
整理得,2k=12,
解得k=6.
32.如图,正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A,C两点,AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D,则四边形ABCD的面积为2.
【解答】解:
根据反比例函数的对称性可知:
OB=OD,AB=CD,
∵四边形ABCD的面积等于S△ADB+S△BDC,∵A(1,1),B(1,0),C(﹣1,﹣1),D(﹣1,0)
∴S△ADB=(DO+OB)×AB=×2×1=1,
S△BDC=(DO+OB)×DC=×2×1=1,
∴四边形ABCD的面积=2.故答案为:
2.
三.解答题(共8小题)
33.如图1,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点C的坐标为(4,3),反比例函数y=(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上.
(1)求证:
△AOE与△BOF的面积相等;
(2)求反