最新微分中值定理及其在不等式的应用.docx
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最新微分中值定理及其在不等式的应用
微分中值定理及其在不等式的应用
安阳师范学院本科学生毕业论文
微分中值定理及其应用
作者
张在
系（院）
数学与统计学院
专业
数学与应用数学
年级
2008级
学号
06081090
指导老师
姚合军
论文成绩
日期
2010年6月
学生诚信承诺书
本人郑重承诺：
所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：
日期：
论文使用授权说明
本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：
学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：
导师签名：
日期
微分中值定理及其应用
张庆娜
（安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455002）
摘要：
介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.
关键词：
连续；可导；微分中值定理；应用
1引言
人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：
“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德（Archimedes）正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.
意大利卡瓦列里（Cavalieri）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：
曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.
人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马（Fermat）在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔（Rolle）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（Cauchy）,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》（1823年）、《微分计算教程》（1829年）,以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.
近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要.
2预备知识
由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.
定理2.1[1]（有界性定理）若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有界.即∃常数«SkipRecordIf...»,使得∀«SkipRecordIf...»∈«SkipRecordIf...»有«SkipRecordIf...».
定理2.2（最大、最小值定理）若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有最大值与最小值.
定理2.3（介值性定理）设函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,且«SkipRecordIf...».若«SkipRecordIf...»为介于«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间的任意实数（«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»）,则至少存在一点«SkipRecordIf...»使得
«SkipRecordIf...».
定理2.4（根的存在定理）若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,且«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»异号（即«SkipRecordIf...»）.则至少存在一点«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...»,
即方程«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»内至少有一个根.
定理2.5（一致连续性定理）若函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续,则«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上一致连续.
定理2.6设区间«SkipRecordIf...»的右端点为«SkipRecordIf...»；区间«SkipRecordIf...»的左端点也为«SkipRecordIf...»（其中«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»可分别为有限或无限区间）.若«SkipRecordIf...»分别在«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»上一致连续,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上也一致连续.
定理2.7（比较原则）设«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»是两个正项级数,如果存在某正数«SkipRecordIf...»,对一切«SkipRecordIf...»都有
«SkipRecordIf...»,
则
（1）若级数«SkipRecordIf...»收敛,则级数«SkipRecordIf...»也收敛；
（2）若级数«SkipRecordIf...»发散,则级数«SkipRecordIf...»也发散.
定理2.8绝对收敛的级数一定收敛.
3相关的几个重要定理
定理3.1（费马定理）设函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的某邻域内有定义,且在点«SkipRecordIf...»可导,若点«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的极值点,则必有
«SkipRecordIf...».
定理3.2（罗尔中值定理）若函数«SkipRecordIf...»满足如下条件：
（1）«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续；
（2）«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»内可导；
（3）«SkipRecordIf...»,
则在开区间«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...».
定理3.3（拉格朗日中值定理）若函数«SkipRecordIf...»满足如下条件：
（1）«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续；
（2）«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»内可导；
则在开区间«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...».
定理3.4（柯西中值定理）若函数«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»满足如下条件：
（1）在闭区间«SkipRecordIf...»上连续；
（2）在开区间«SkipRecordIf...»内可导；
（3）«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»不同时为零；
（4）«SkipRecordIf...»；
则在开区间«SkipRecordIf...»内存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...».
注上面各定理的条件是充分的,但不是必要的.
4微分中值定理的应用
4.1证明有关等式
在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.
例4.1.1[5]«SkipRecordIf...»是定义在实数集«SkipRecordIf...»上的函数,若对任意«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»是常数,则«SkipRecordIf...»是常值函数.
证明对任意«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的改变量为«SkipRecordIf...»,由条件有«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,
两边关于«SkipRecordIf...»取极限得
«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...».
由中值定理«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,
故在«SkipRecordIf...»上«SkipRecordIf...»是常值函数.
思路总结要想证明一个函数«SkipRecordIf...»在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数«SkipRecordIf...»在同一区间上恒为零即可.
例4.1.2[2]设«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,证明：
存在«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
证明由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».符合罗尔中值定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»
例4.1.3若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有三阶导数,且«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,设«SkipRecordIf...»,试证在«SkipRecordIf...»内至少存在一个«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».
证明由题设可知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上存在,又«SkipRecordIf...»,由罗尔中值定理,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...»,
又«SkipRecordIf...»可知«SkipRecordIf...»在上«SkipRecordIf...»满足罗尔中值定理,于是«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...»,
又«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».
例4.1.4[4]（达布定理的推论）若函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内有有限导数,且«SkipRecordIf...»,则至少存在«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
证明«SkipRecordIf...»,不妨设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
因为«SkipRecordIf...»由极限的局部保号性可知,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,
«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...».
同样«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,
«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...».
取«SkipRecordIf...»,于是在«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»中,分别有
«SkipRecordIf...»
和
«SkipRecordIf...».
故«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»均不是«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为«SkipRecordIf...»由费马定理可知,
«SkipRecordIf...».
小结证明导函数方程«SkipRecordIf...»的根的存在性的证明方法有如下几种：
①验证函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明«SkipRecordIf...».
②在大多数情况下,要构造辅助函数«SkipRecordIf...»,验证在«SkipRecordIf...»上满足罗尔中值定理的三个条件,证明«SkipRecordIf...»,进而达到证明问题的目的.
③验证«SkipRecordIf...»为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的.
例4.1.5设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,«SkipRecordIf...»,试证：
«SkipRecordIf...»使«SkipRecordIf...».
证明由于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足柯西中值定理,所以«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
由上面二式可得«SkipRecordIf...»使得：
«SkipRecordIf...».
例4.1.6设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...».试证：
对任意给定的正数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内不同的«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...».
证明由于«SkipRecordIf...»所以«SkipRecordIf...».
又由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续且«SkipRecordIf...».由介值性定理,«SkipRecordIf...»使得
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上分别用拉格朗日中值定理有
«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»
于是由上面两式有
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
将两式相加得
«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...».
小结大体上说,证明在某区间内存在«SkipRecordIf...»满足某种等式的方法是：
①用两次拉格朗日中值定理.
②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理.
③两次柯西中值定理.
④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.
4.2证明不等式
在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.
例4.2.1[3]设⑴«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续；
⑵«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内存在；
⑶«SkipRecordIf...»
⑷在«SkipRecordIf...»内存在点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»
求证在«SkipRecordIf...»内存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».
证明由题设知存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得最大值,且由⑷知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»也是极大值点,所以
«SkipRecordIf...».
由泰勒公式：
«SkipRecordIf...».
所以«SkipRecordIf...».
例4.2.2设«SkipRecordIf...»,证明«SkipRecordIf...».
证明显然等式当且仅当«SkipRecordIf...»时成立.
下证当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»①
作辅助函数«SkipRecordIf...»,
则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理,则«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...»②
由于«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...»③
由②③有«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...».
小结一般证明方法有两种
①利用泰勒定理把函数«SkipRecordIf...»在特殊点展开,结论即可得证.
②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：
第一步根据待证不等式构造一个合适的函数«SkipRecordIf...»,使不等式的一边是这个函数在区间«SkipRecordIf...»上的增量«SkipRecordIf...»；
第二步验证«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为«SkipRecordIf...»；
第三步把«SkipRecordIf...»适当放大或缩小.
4.3利用微分中值定理求极限及证明相关问题
例4.3.1设函数在«SkipRecordIf...»点的某一邻域内可导,且其导数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»连续,而«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
解设«SkipRecordIf...»,则由拉格朗日中值定理有
«SkipRecordIf...».
已知«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»连续,即«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...».
例4.3.2若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...».
分析由式«SkipRecordIf...»,引进辅助函数«SkipRecordIf...»,显然«SkipRecordIf...».
解由«SkipRecordIf...»,知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»,
令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»,在«SkipRecordIf...»上利用柯西中值定理有
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»,
亦有
«SkipRecordIf...»,
或
«SkipRecordIf...»
由于«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时有
«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»,
于是«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...»
即
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