10道经典高中数学题目解答.docx

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10道经典高中数学题目解答

10

道

经

典

高

中

数

学

题

目

解

答

1.设Sn是等差数列｛An｝的前n项和,又S6=36,Sn=324,S（n-6）=144,则n=?

①Sn是等差数列

S6=a1*6+6（6-1）/2*d=36，则2a1+5d=12......& 

最后六项的和S=an*6-6（6-1）/2*d=6an-15d 

S（n-6）=Sn-S=324-（6an-15d）=144,则2an-5d=60......@ 

&+@:

a1+an=36 

Sn=（a1+an）/2*n 

n=18

②解:

Sn-S（n-6）=a（n-5）+a（n-4）+......an=324-144=180

而S6=a1+a2+...a6=36

有

Sn-S（n-6）+S6=a1+a2+...a6+a（n-5）+a（n-4）+....an

=6（a1+an）=180+36=216

那么（a1+an）=36

Sn=n（a1+an）/2=324

即36n/2=324

所以n=18

2.已知f（x）=（x-1）^2,g（x）=4（x-1）,f（an）和g（an）满足，a1=2,且（an+1-an）g（an）+f（an）=0

（1）是否存在常数C，使得数列｛an+C｝为等比数列？

若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由。

（2）设bn=3f（an）-[g（an+1）]^2，求数列｛bn｝的前n项和Sn

（1）存在C=-1

证明如下（an+1-an）g（an）+f（an）=0将f（x）、g（x）带入并化简得4an+1-3an-1=0变形为4（an+1-1）=3（an-1）

所以an-1是以3/4为等比1为首项的等比数列

（2）an-1=（3/4）^n

bn=3f（an）-[g（an+1）]^2将f（an）g（an+1）带入

不要急着化简先将an+1-1换成3/4（an-1）

化简后bn=-6（an-1）^2=-6*（9/16）^n

bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列

Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=54/7（9/16）^n-54/7

已知函数f（x）=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf（x）+qf（y）>=f（px+qy）

pf（x）+qf（y）>=f（px+qy）

<=>px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=（px+qy）^2+apx+aqy+b

<=>px^2+qy^2>=（px+qy）^2

<=>px^2+qy^2>=p^2x^2+q^2y^2+2pqxy

<=>（p-p^2）x^2+（q-q^2）y^2>=2pqxy

将q=1-p代入，化简得

（p-p^2）（x^2+y^2）>=2（p-p^2）xy

∵x^2+y^2>=2xy

∴p-p^2>0

<=>p>p^2

<=>0<=p<=1

3.某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分

次进货，每次购买元件的数量均为

，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为

件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？

解：

设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，手续费为H．

则X=8000/n,E=2*1/2*8000/n,H=500n所以S＝E+H＝2*0.5x+500*8000/x=8000/n+500n=500（16/n+n）>=4000

当且仅当16/n=n即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．

4.已知f（x）=ax^2－2ax+1=0有两正根x1,x2,且1

（1）求x1的取值范围

（2）求a的取值范围

某公路段汽车的

车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为：

。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v是多少时，车流量最大，最大流量是多少（精确到0.1）

（2）要使在该时段内车流量超过10千米/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为：

5.已知正方形ABCD的边长是13,ABCD外一点P到正方形ABCD各顶点的距离是13。

M、N分别是PA、BD上的点。

PM：

MA=BN；ND=5；8，求MN

6.已知函数f（x）=4sinxsin^2（∏/4+x/2）+cox2x1）设w>0为常数,

（1）若y=f（wx）在区间[-∏/2，2∏/3]上是增函数，求w的取值范围

（2）设集合A={x∏/6<=x<=2∏/3},B={xf（x）-m<2}若,A属于B,求实数m的取值范围

解.f（x）=2sinx[1-cos（x+π/2）]+1-2sin²x=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1

（1）y=f（wx）=2sinwx+1

因在区间[-π/2，2π/3]上是增函数，所以最小正同期T=2π/w≥2（π/2+2π/3）

即0

而-π/2+2kπ≤wx≤π/2+2kπ时，f（x）单调递增

则必有k=0,即-π/2≤wx≤π/2时递增，

则必有2πw/3≤π/2,即w≤3/4

所以w的取值范围（0,3/4]

（2）|f（x）-m|=|2sinx+1-m|<2,则m-3<2sinx<1+m即（m-3）/2

而当π/6≤x≤2π/3时，有1/2≤sinx≤1

因为A属于B，必有

（m-3）/2<1/2且（1+m）/2>1

解得1

fn（x）=a1x+a2x^2+...anx^nfn（-1）=（-1）^n*n

7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C-AB-D的大小为@，则SIN@=？

由AO垂直于平面BCD,

CD在平面BCD内,知AO垂直于CD又CD垂直BC,

且AO交BC=O,故CD垂直于平面ABC又AB在平面ABC内,

故CD垂直于AB,又DA垂直于AB,且CD交DA=D,故AB垂直于平面ACD,

又AC在平面ACD内,故AB垂直于AC,

又AB垂直于AD故角CAD是二面角C-AB-D的平面角在三角形CAD中,

由CD垂直于平面ABC,AC在平面ABC内,

可知CD垂直于AC又CD=3,AD=4,

故sin角CAD=CD/AD=3/4

8.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，角ABC=90度，BC=2，AC=2√3，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。

（1）求侧棱AA1与底面ABC所成的角大小

（2）求侧面A1ABB1与地面ABC所成的二面角大小

（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离

解：

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角。

∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠A1AD＝45°为所求。

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。

又D是AC的中点，

BC＝2，AC＝2

，∴DE＝1，AD＝A1D＝

，

tgA1ED＝A1D/DE=

。

故∠A1ED＝60°为所求。

（Ⅲ）解法一：

由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。

又A1E⊥AB，

知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝

为所求。

解法二：

连结A1B。

根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。

 由V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，

即1/3×2

h=1/3×2

×

∴h=

为所求。

9.图2，直三棱柱ABC-A1B1C1体积为V，点Q,P分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，四棱锥B-APQC体积为（V/3）

连结A1C

设四棱锥B-APQC的高为h

易知梯形APQC的面积=（AP+CQ）*AC/2

=（C1Q+CQ）*AC/2=C1C*AC/2=△ACC1的面积

故四棱锥B-APQC体积

=梯形APQC的面积*h/3

=△ACC1的面积*h/3

=三棱锥B-ACC1的体积

=三棱锥C1-ABC的体积

=1/3棱柱ABC-A1B1C1体积

=V/3

10.已知a>0且a≠1,数列an的前项和为Sn，它满足条件（a的n-1次方）/Sn=1-1/a，数列bn中,bn=an×lga的n次方

（1）求数列bn的前n项和Tn

（2）若对一切n∈正整数，都有Bn

解：

（1）当n=1时，有（a-1）/a1=1-1/a，解得：

a1=a；

当n>1时：

因为（a^n-1）/Sn=1-1/a=（a-1）/a，所以Sn=a（a^n-1）/（a-1），

继而推得：

S（n-1）=a[a^（n-1）-1]/（a-1）.

所以an=Sn-S（n-1）=a（a^n-1）/（a-1）-a[a^（n-1）-1]/（a-1）=a^n.

而a1=a=a*1，符合上式，所以数列{an}的通向公式an=a^n.

则bn=n*a^n*lga.

设数列{bn}的前n项和是Tn，则

Tn=1*a^1*lga+2*a^2*lga+3*a^3*lga+…+n*a^n*lga

aTn=1*a^2*lga+2*a^3*lga+…+（n-1）*a^n*lga+n*a^（n+1）*lga

两式相减，得：

（1-a）Tn=lga*（a^1+a^2+a^3+…+a^n）-n*a^（n+1）*lga=（lga）*a（1-a^n）/（1-a）-n*a^（n+1）*lga

所以Tn=a（lga）（1-a^n）/（1-a）^2-n（lga）*a^（n+1）/（1-a）.

（2）由题意：

b（n+1）-bn=（n+1）*a^（n+1）*lga-n*a^n*lga=a^n*lg{a^[n（a-1）+a]}>0.

因为a^n>0，所以lg{a^[n（a-1）+a]}>0.

当a>1时，n（a-1）+a>0，所以a^[n（a-1）+a]>1，则不等式恒成立；

当0

而n/（n+1）的最小值是1/2，则a<1/2.

所以综上所述，a的取值范围是（0，1/2）∪（1，+∞）.