重庆巴蜀中学高级高一上期末数学试题及答案.docx
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重庆巴蜀中学高级高一上期末数学试题及答案
重庆市巴蜀中学2015-2016第一学期期末考试
高2018届（一上）数学试题卷
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求。
）
B、NMC、MplN—lQ?
D、MUN-「-3,-1,3]
1集合MA「1,1,35,集合N「-3,1,5?
，则以下选项正确的是（）
2、“x>3”是“x>3”成立的（
A、充分不必要条件
）
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3、sin585啲值为（
）
A、一注
B、
C、—逅D、
2
2
2
2
4、若B是第四象限角，
且
0cos—
0日口
=—cos—，贝U—是（）
A、NM
222
A、第一象限角B、第二象限角C、第二象限角D、第四象限角
5、f（3x）=X，贝Uf（10）=（）
310
A、Iog310B、Ig3C、103D、3
6、为了得到y=sin（2x--）的图像，可以将函数y=sin2x的图像（）
6
4^eX,x<0
7、下列函数中，与函数y=<1的奇偶性相同，且在（一V0）上单调性也相同的是
（―）x,x>0
l.e
A1f2小小3c
D、y=log」x
e
A、y=—B、y=x+2C、y=x—3
8tan70cos10（Jtan20-1）的值为（）
A、一1
C、一2
4…
=帀"I），且
9、定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）的对称轴为x=1,f（x+1）
f（cosB的大小关系是（）
第口卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数f（x）=.x（x-1）的定义域为。
14、函数y=x_2_x+1的值域为。
15、当t・〔0,2二时，函数f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值为。
16、f（x）是定义在D上的函数，若存在区间lm,n］uD（m1f（x）=3-4不可能是k型函数；
x
2若函数y=」x2+x是3型函数，贝Um=-4，n=0；
2
3设函数f（x）=3x-1是2型函数，贝Um+n=1;
4若函数尸（a2aWa"）是1型函数，转文n-m的最大值为垄。
ax3
正确的序号是。
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤
17、（本小题满分10分）
已知A—xx2•2x-8），B=「xx-a：
：
：
5?
，且AUB二R，求a的取值范围。
18、（本小题满分12分）
忘兀4
已知0，tan-：
：
23
2
（1）求sin2：
sin2：
的值；
（2）求sin©—）的值
cosa+cosX3
19、（本小题满分12分）
2
已知f（x）=X，为偶函数（t€Z），且在X€（O,址）单调递增。
（1）求f（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=logaajf（x）_x〕在区间［2,4］上单调递减函数（a>0且a^1），求实
数a的取值范围。
20、（本小题满分12分）
3
函数f（x）=J3cs（2cox）%0^劲涎申，灼X+二-——（灼＞00＜甲＜匚同时满足下
342
列两个条件：
①f（x）图像最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形
2
②（-,0）是f（x）的一个对称中心、
3
（1）当0,21时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）令g（x^f2（^5）-f（^-）m，若g（x）在x・-,—时有零点，求此时m的
64362
取值范围。
21、（本小题满分12分）
已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3。
（1）若函数在区间〔-1,1〕上最大值除以最小值为-2,求实数q的值；
（2）问是否存在常数t（t>0）,当xe［t,10］时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度
为12-1（视区间l.a,b］的长度为b-a）
22、（本小题满分12分）
已知集合A=ft丨使：
xlx22tx—4t-3=0}=R,
集合B=士使：
xlx2-2tx—2t=0l=[1,其中x,t均为实数。
（1）求anb；
M=:
mlg（：
）A"B;
（2）设m为实数，g（：
）--sin2二亠mcos：
-2m,：
丄三；,3二，求
四、附加题：
本题满分15分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤。
本题所得分数计入总分。
23、已知分数f（x）的定义域为1.0,11,且f（x）的图像连续不间断。
若函数f（x）满足：
对
于给定的m（m毛R且01
-4x+1,04
13
（1）已知函数f（x）」4x-Jcxv3，若f（X）具有性质P（m），求m最大值；
44
-4x+5,?
4
（2）若函数f（x）满足f（0）=f
（1），求证：
对任意kW且k>2，函数f（x）具有性
质P（-）
重庆市巴蜀中学2015-2016第一学期期末考试
高2018届（一上）数学试题卷答案
1、解：
集合M={-1,1,3,5}，集合N={-3，1,5},
N€M不正确，€是元素与集合之间的关系，故A不正确，
N?
M不正确，集合N中的元素不都是集合M中的元素，故B不正确，
对于C，MAN={-1，1，3，5}A-3，1，5}={1，5}，故C正确，
对于D，MUN={-1，1，3，5}U{-3，1，5}={-3，-1，1，3，5}，故D不正确.故选：
C.
2、解：
若x=3满足x>3但x>3不成立，
若x>3，则x>3成立，
即“x>是“X3”成立的必要不充分条件，故选：
B
故选A.
•••设3x=t，贝Ux=log3t，
•••f（t）=log3t，
故选：
B.
当x=0时，f（0）=1；
1当x>0时，-xv0,f（-x）=（-）-x=ex=f（x）,
e
当xv0时，-x>0,f（-x）=e-x=f（x）,
则有在R上,f（-x）=f（x）.
则f（x）为偶函数，且在xv0上递减.
对于A.f（-x）=-f（x），则为奇函数，贝UA不满足；
对于B.贝U函数为偶函数，在xv0上递减，则B满足；
对于C.f（-x）=（-x）3-3=-x3-3Mf（x），则不为偶函数，贝UC不满足；
1
对于D.f（-x）=f（x）,则为偶函数，当xv0时，y=log-（-x）递增，则D不满足.
e
故选B.
8、解：
tan70°?
cos10°.3tan20-1）
sin70sin20八
=?
cos10（J3?
-1）
cos70cos20
cos20cos103sin20-cos20
=?
sin20sin20
=cos10>2sin（20。
-30（sin20
故选C.
-sin20,
==-1.
sin20
9、解：
f（x-1）的对称轴为x=1,
可得y=f（x）的对称轴为x=0,
即有f（-x）=f（x）,又f（x）f（x+1）=4,
可得f（x+1）f（x+2）=4,即为f（x+2）=f（x）,函数f（x）为最小正周期为2的偶函数.
f（x）在区间（2015,2016）上单调递减，
可得f（x）在（-1,0）上递减，在（0,1）上递增，
TT
由aB是钝角三角形中两锐角，可得a+v—,
2
Hry.nn
即有0vav-阻,
22
则0vsinvsin（—-®v1,即为0vsinvcosv1,2
则f（sinavf（cos0.故选：
B.
10、解：
令2x=t（t>0）,可得t2+mt+m2-1=0有正根，
.■:
=m2-4（m2-1）》0_
2品
①有两个正根,
:
・一m0，…23
m-10
2
2一个正根，一个负数根，m-1v0,二-1vmv1；
3m=-1时，t2-t=0,t=0或1,符合题意，
综上所述，-W色3
11、解：
根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：
R,
又•••f（x）=2x,（x<0时，值域为（0,1];f（x）=log2x,（x>0）时，其值域为R,
•••可以看出f（x）的值域为（0,1]上有两个解，
要想f
即,a2b2‘2（k=0,取得最小），
所以，»：
2因此，当原函数f（x）没有零点时，a2+b2v二,
4
2所以，a2+b2的取值范围是：
［0，二）•
4
故答案为：
B。
13、解：
由题意得：
x（x-1）>0解得：
x>1或x<0
故函数f（x）的定义域是：
｛x|x>或x<0｝
故答案为：
：
｛x|x>或x<0｝
14、解：
当-1vxV2时，y=2-x-x-1=1-2x€（-3，3）;
当x<1时，y=2-x+（x+1）=3;
当x>2时，y=x-2-（x+1）=-3，
所以y的取值范围是［-3，3］.
故答案为：
［-3，3］.
15、解:
f（t）=（1+sint）（1+cost）=1+（sint+cost）+sintcost，令m=sint+cost=、.2sin（t+—）€［-2，2］，
4
2即有m2=1+2sintcost,即卩sintcost=，
2
22
则f（t）=1+m+3=止丄，
22
32、2
2
即有m=-1时，f（t）取得最小值0;
m=2，即t=—时，f（t）取得最大值，且为
4
3+2^2
故答案为：
322
2
=1，f（4）=3-—=2,
4
16、解：
①，f（x）的定义域是｛x|x丰0｝且f
（2）=3-4
2
1
•••f（x）在［2，4］上的值域是［1，2］，f（x）是型函数，.••①错误；
2
1212
2y=--x+x是3型函数，即-一x+x=3x，解得x=0，或x=-4，：
m=-4，n=0，二②正确;
22
3设函数f（x）=|3x-1|是2型函数，则当定义域为［m，n］时，函数值域为［2m，2n］，
若n<0则函数f（x）=|3x-1|=1-3x，为减函数,
则f（g，即1一2
f（n）=2m1-3n=2m
即2-（3m+3n）=2（m+n）
若m+n=1,则2-（3m+3n）=2,即3m+3n=0不成立,
若m>0,贝U函数f（x）=|3x-1|=3x-1为增函数，
则f（m）=3nm一仁2m，则（3m+3n）-2=2（m+n）,jf（n）=3_1=2n
若m+n=1，则（3m+3n）-2=2，即3m+3n=4,
当m=0,n=1时，等式成立，则③正确，
④，y=（a———1（a^0是1型函数，即（a2+a）x-1=a2x2,：
a2x2
ax
2
（a+a）x+1=0,
•••方程的两根之差X1-X2=（a21）-42=,1<2*3,
Va2a2Yaa23
即n-m的最大值为23，•④正确；
3
故答案为：
②③④
17、
解：
对于集合A:
由x2+2x-8>0,化为（x+4）
解得x>2或xv-4,
A=（_x,-4）U（2,+x）.
对于集合B:
由|x-a|v5,化为a-5vxva+5,
（x-2）>0,
--B=（a-5,a+5）.
•••AUB=R,
a5>2
•,
a-5<-4
•a的取值范围是[-3,
解得-3waWl
1].
兀4
18、解：
0vav,tana=
23
2
sin:
sin2：
2
cos：
cos2：
2
tang+2tan。
=
2一
2「tan:
1624
93
2-16
9
443
（2）OvaV一，tana二，可得sina二,COSa二,
2355
•/2兀、逅1.y/33144+3^3
sin（——-a）二上—COSa+_Sina=x_+_X_=—.
322252510
19、解：
（1）v在x€（0,+〜单调递增，
2
•••-t2+2t+3>0,
即t2-2t-3v0,得-1vtv3,
•-1€z,
•••t=0,1,2,
若t=0,则f（x）=x3为奇函数，不满足条件.
若t=1,则f（x）=x4为偶函数，满足条件.
若t=2,则f（x）=x3为奇函数，不满足条件.
故f（x）的表达式为f（x）=x4;
（2）vf（x）=x4,
二g（x）=loga［a•f（x）-x］=loga（ax2-x）
2
设t=ax-x，贝Uy=logat,
若g（x）=loga［af（x）-x］（a>0,且aD在区间［2,4］上是单调递减函数，
则t=ax2-x和y=logat的单调性相反，
2-11若a>1,则t=ax-x在区间［2,4］上是单调递减函数，则对称轴x=-一：
一>4,2a2a
1即a<'，此时不满足条件.
8
21
若0vav1,则t=ax-x在区间［2,4］上是单调递增函数，则对称轴x=<2,
2a
且当x=2时，t=4a-2>0,
广
0va<1
解得a>1，即1vav1.
42
1
a
L2
20、解：
（1）vf（x）=73cos2（3x+0-cos（3x+0?
sin（3x+©+王）-—
34
'3cos（2x2）133
=L-—sin（23x+2）-——-—cos（23x+2）-—
24444
1[迥cos（23x+2$-—sin（23x+2$]
222
1—
=—cos（23x+2©+）,
26
IT
6
2TT
•••函数周期T=2二,
2灼
•••令23x+2©+=0,可得函数的一个最大值点
6
令23x+2©+=-，可得函数的一个最大值点
-2
—込+2®
（-§,
2
令23x+2$+=
6
0）,
二，可得函数的一个最大值点
2
o的坐标为：
（-立,丄）,
22
O的左相邻的对称点A的坐标为:
O的右相邻的对称点B的坐标为:
一2
（才,0）
2
解得3=「,
4
ji
3=—
2
1…
•f（x）=2cos（nx+2$6），
••（2,
3
2■:
_
0）是f（x）的一个对称中心,
2©+=kn+,
3
k€Z,解得：
$
6
JI
•••由0v$<—，可得：
2
15兀
•f（x）=-cos（nx+—）,
26
Tx€[0,2]时，nx+^€[—,
66
即:
k二
1/2二
cos（+2$+）
236
ji
k€乙
6
=0，
•••当利用余弦函数的图象可得，当
5二「5■:
nx+€[n]
66
nX+5€[2
6
n]时单调递减,
即函数f（x）的单调递减区间为:
5
（2）v由
（1）可得：
f（x-5）=
6
1.
=-—sinn.x
2
2（5、
=f（x-）
6
在x€[5，
6
1—+m-—（sinnx+-4
（sinnx+）
4
•••x€L，3]，sin
-2
—（sinnx1）
44
17
--m€[…
64
•-g
（X）
17
64
（X）
4
1
二m=
4
一-5
+〔f（x-1）
4-
3
3]时有零点，即方程:
2
）2=0在x€[5，
6
5
6
1[_]，sin
2
+m=1cosnsin
48
nx+m^+m-1（sin
644
21、
解:
（1）
•••函数f
（x）
•••f（x）
2-17在x€[5，
64-
n&[-1,
3
3]时有解，
2
3
]时有解，
2
13
nx+€[——，
44
2€[0，64]，
•••二次函数f（x）=x2-16x+q+3的对称轴为x=8,
在区间［-1,1］上是减函数，
max=f（-1）=20+q,f（x）min=f
（1）=-12+q,
由题意得:
20q
-12q
4
=-2,解得：
q=-;
3
t<8
（2）当*8—t>10—8时，即0Wtw时，f（x）的值域为：
[f（8），f（t）
t>0
即[q-61，t2-16t+q+3].
22
•••t-16t+q+3-（q-61）=t-16t+64=12-t.
二t2-15t+52=0，At=15二17
2
经检验不合题意，舍去.
t：
：
8
当<8—t>10—8时，即6«8时，f（x）的值域为：
[f（8）,f（10）],[t>0
即[q-61，q-57].
•••q-57-（q-61）=4=12-t.
t=8
经检验t=8不合题意，舍去.
当t》8寸，f（x）的值域为：
[f（t）,f（10）],
即[t-16t+q+3,q-57]
•q-57-（t2-16t+q+3）=-t2+16t-60=12-t
•t-17t+72=0,.°.t=8或t=9.
经检验t=8或t=9满足题意，
所以存在常数t（tH0,当x€[t,10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t.
22、
解：
（1）v集合A={t|t使{x|x2+2tx-4t-3工0}=R},
1=（2t）2+4（4t+3）v0，
•A={t|-3vtv-1}，
•••集合B={t|t使{x|x2+2tx-2t=0}=?
}，
•△2=4t2-4（-2t）v0，
•B={t|-2vtv0}，
•AHB=（-2，-1）;
2n，
（2）vg（a）=-sin2a+mcos2m，a€[n
2
•g（a）=（COSa-m）2-^-2m，
令t=cosa则t€[-1，0]，
•h（m）=t2+mt-2m-1，
2
•-2vt+mt-2m-1v-1，
解得：
-Fvmv-^1
t—2t—2
1
所以函数f（x）具有性质P
（1）（3分）
2
11
假设存在—vmv1,使得函数f（x）具有性质P（m），则Ov1-mv—.
22
1
当xo=O时，xo+m€（_,1）,f（xo）=1,f（x°+m）>1,f（xo）Hf（x°+m）;
2
1
当xo€（O,1-m］时，xo+m€（-，1］,f（xo）v1,f（xo+m）>1f（xo）xo+m）;
2
所以不存在xo€（o,1-m］，使得f（xo）=f（xo+m）,
所以，m的最大值为1.…（7分）
2
（2）证明：
任取k€N*且k>2
1k_11
设g（x）=f（x+-）-f（x），其中x€［o,］，则有g（o）=f（-）-f（o）
kkk
121
g（）=f（）-f（）
kkk
tt1t
g（t）=f（t+）-f（t）
kkkk
k-1k-1
g（k'）=f
（1）-f（k'）
kk
以上各式相加得：
g（o）+g
（1）+…+g（-）+…+g（匚1）=f
（1）-f（o）=o
kkk
当g（o）、g（丄）、•••、g（J）中有一个为o时，
kk
不妨设为g（i）=o,i€{o,1,…，k-1},
k
ii1i1
即g
（一）=f（一+—）-f（—）=0,则函数f（x）具有性质P（—）;
kkkkk
1k-1
当g（o）、g（）、…、g（）均不为o时，由于其和为o,则必然存在正数和负数，
kk
不妨设g（丄）>o,g（j）vo,其中i,j€{o,1,…，k-1},
kk
由于g（x）是连续的，所以当j>i时，至少存在一个xo€（i,j）（当jvi时，至少存在一
kk
个xo€（i,j））
kk
使得g（xo）=o,
1
即g（xo）=f（xo+）-f（xo）=o
k
1
所以，函数f（x）具有性质P
（1）…（12分）
k
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