【经验总结:
见中线,延长加倍.】
例
2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
BE+CF>EF
证明：
延长FD到点G，使DG=DF，连接BG
∵BD=CD，FD=DG，∠BDG=∠CDF
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
∵ED⊥FG
∴EF=EG
在△ABG中，BE+BG>EG
∵BG=CF，EG=EF
∴BE+CF>EF
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC
∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
应用：
1、（09崇文二模）以
的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
和等腰Rt
，
连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当
为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，
线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt
绕点A沿逆时针方向旋转
（0<
<90）后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
二、截长补短
1、如图，
中，AB=2AC，AD平分
，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
证明：
过D作DM⊥AB，垂足为M,
所以∠AMD=∠BMD=90°
又因为AD=BD,DM是公共边
所以△ADM≌△BDM（HL）
所以AM=BM
因为AB=2AC,
所以AC=AM,
因为AD平分∠BAC，
所以∠1=∠2，
在△ADC和△ADM中,
AC=AM,
∠2=∠1,
AD为公共边，
所以△ADC≌△ADM,
所以∠ACD=∠ADM=90,
即:
CD⊥AC
2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
3、如图，已知在
内，
，
，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是
，
的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP（角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分
，
求证：
证明：
过点D分别作AB、BC边上的垂线，垂足分别是E、F
∵BC＜BA
∴点E在AB上，而点F在BC的延长线上
∵DB平分∠ABC
∴DE=DF
在Rt△AED和Rt△DCF中
DA=DC
DE=DF
∴Rt△AED≌Rt△DCF
∴∠ADE=∠CDF
∵∠A+∠BCD=∠A+（∠F+∠CDF）=∠A+∠ADF+90°=90°+90°=180°
∴∠A+∠C=180°
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
延长AC至E，使AE=AB，连结PE。
然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~）
△PCE中，EC>PE-PC
∵EC=AE-AC，AE=AB
∴EC=AB-AC
又PB=PE
∴PE-PC=PB-PC
∴AB-AC>PB-PC
应用：
三、平移变换
例
1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为
，△EBC周长记为
.求证
＞
.
设C1点为C的对称点，连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上（1/2∠BAC+1/2∠CAC1=90°，所以∠BAC+∠CAC1=180°），那么BEC1为三角形，BE+C1E＞BA+AC1（BC1）,因此BE+CE＞BA+AC,不等式两边同加BC得：
Pb＞Pa。
例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：
AB+AC>AD+AE.
我不懂其解答过程：
取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
∵BD=CE,
∴DM=EM,
∴△DMN≌△EMA（SAS）,
∴DN=AE,
同理BN=CA.
延长ND交AB于P,则（为什么要“延长ND交AB于P”？
‘又是怎样想到要这样做的？
）
BN+BP>PN,DP+PA>AD,
相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,
各减去DP,得BN+AB>DN+AD,
∴AB+AC>AD+AE。
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD
在AC上取点F，使AF=AE
∵AD是角A的平分线
∴角EAO＝角FAE
∵AO=AO
∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）
∴EO=FO，角AOE＝角AOF
∵CE是角C的平分线
∴角DCO＝角FCO
∵角B＝60°
∴角A+角C＝180－60＝120°
∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度
∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60°
∴角OCF＝角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等（两边夹角相等）
∴CF=CD
∴AC=AF+CF＝AE+CD
即：
AE+CD=AC
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=
，AC=
，求AE、BE的长.
（1）证明:
连接DB,DC.
DG垂直平分BC,则DB=DC;
DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF.
故Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC（HL）,得:
BE=CF.
（2）解:
DE=DF（已证）;AD=AD.
则Rt⊿AED≌Rt⊿AFD（HL）,AE=AF.
故AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=（a+b）/2;
AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=（AE+BE）-（AE-CF）=2BE,a-b=2BE,BE=（a-b）/2.
应用：
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
解：
图略.画图正确得1分.
（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD.……2分
（2）答：
（1）中的结论FE=FD仍然成立.
证法一：
如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG.……3分
因为∠1=∠2，AF为公共边，
可证△AEF≌△AGF.
所以∠AFE=∠AFG，FE=FG.……4分
由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°.
所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.
所以∠CFG=60°.……5分
由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD.
所以FG=FD.
所以FE=FD.……6分
证法二：
如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.……3分
因为∠B=60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
所以可得∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心.……4分
所以∠GEF=60°+∠1，FG=FH.
又因为∠HDF=∠B+∠1，
所以∠GEF=∠HDF.……5分
因此可证△EGF≌△DHF.
所以FE=FD.……6分
五、旋转
例
1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG
则GE=GB+BE=DF+BE=EF
又AE=AE，AF=AG，
所以三角形AEF全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF
又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
例2D为等腰
斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1）
当
绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q
∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC
∴DP=DQ=½BC=½AC
又∵∠FDQ=∠PDE（旋转）∠DQF=∠DPE=90°
∴△DQF≌△DPE
∴S△DQF=S△DPE
又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE
∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）
∴四边形DECF面积不会改变
例3如图，
是边长为3的等边三角形，
是等腰三角形，且
，以D为顶点做一个
角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则
的周长为；
解：
三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
所以∠BCD=∠DBC=30°
三角形ABC是边长为3的等边三角形，
∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∠DBA=∠DCA=90°
顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合，
在△DMN和△DNM`中
DM=DM`
∠MDN=∠NDM`=60°
DN=DN
所以△DMN和△DNM全等
MN=NM`=NC+BM
所以AM+AN+MN=NC+BM+AM+AN=AB+AC=6
所以△AMN的周长为6
赞同
应用：
1、已知四边形
中，
，
，
，
，
，
绕
点旋转，它的两边分别交
（或它们的延长线）于
．
当
绕
点旋转到
时（如图1），易证
．
当
绕
点旋转到
时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段
，
又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
解：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
∴△ABE≌CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，△BEF为等边三角形；
∴AE=BE，CF=BF；
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；
图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，
则△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．
3、在等边
的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为
外一点，且
BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及
的周长Q与等边
的周长L的关系．
图1图2图3
（
）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时
；
（
）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM
DN时，猜想（
）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（
）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=
，则Q=（用
、L表示）．
1.将△NDC逆时针旋转120°，点N落在P处
∴PD=ND，∠PDB=∠NDC，BP=NC，∠DNC=∠P
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°
∴∠BDM+∠NDC=60°
∴∠PDB+∠BDM=60°
即∠MDP=60°
∵MD=ND
∴MD=PD
∴△MDP是等边△
∵BD=CD,∠BDC=120°
∴∠CBD=（180°-120°）/2=30°
∵△ABC为等边△
∴∠ABC=60°
∴∠MBD=90°
即DB⊥DM
∴MB=BP
∴MB=NC
∵Q=AM+AN+MN=AM+MB+AN+NC=4AM
又∵L=6AM
∴Q/L=2/3
又∵∠DNC=∠P，PD=ND，∠MDP=∠MDN
∴△PDM全等于△MDN
∴PM=MN
∵PM=PB+MB
∴MN=MB+NC
2.成立.将△NDC逆时针旋转120°，点N落在P处。
∴∠DNC=∠P，PD=ND，∠PDB=∠NDC，PB=NC
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°
∴∠BDM+∠NDC=60°
∴∠PDB+∠BDM=60°
即∠MDP=60°=∠MDN
∴△PDM全等于△MDN
∴PM=MN
∵PM=PB+MB
∴MN=MB+NC
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